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重庆市育才中学2016届高三下学期第一次月考数学(理)试题


重庆育才中学高三第一次月考
数学试题卷(理科)
数学试题卷(理科)共 4 页,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5

毫米的黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并收回。 特别提醒: 14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x ?2 ? x ? 3} , B ? { y y ? 2 x ?1 , x ? 0} ,则 A ? ? UB ? A. x ?2 ? x ? 0

?

?

B. ? x ?2 ? x ?

? ?

1? ? 2?

C. ? x 0 ? x ?

? ?

1? ? 2?

D. ? x | 0 ? x ? 3?

? 2. 由观测的样本数据算得变量 x 与 y 满足线性回归方程 y ? 0.6 x ? 0.5 ,已知样本平均数 x ? 5 ,
则样本平均数 y 的值为 B. 1.5 C. 2.5 D. 3.5 ? ? ? ? ? ? 3.已知向量 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) ,且向量 ka ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 k 的值为 1 1 A. ? B. C. ?2 D. 2 2 2
2 2 2 4.已知命题 p :若 a ? b ,则 a ? b ; q : “ x ? 1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分 条件.

A. 0.5

则下列命题是真命题的是 A. p ? q C. p ? q
? ?

B. p ? q D. p ? q
2 正视图 4 2 侧视图

?

?

4

5 . 已 知 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 a2 ? 7 ,

a6 ? a8 ? ?6 ,则 Sn 取最大值时, n 的值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
俯视图

2 3

6 题图

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 A. 16 ? 8 3 B. 16 ? 4 3
1

C. 48 ? 8 3

D. 48 ? 4 3

7.阅读如图所示的程序框图,若输出的数据为 58 ,则判断框中应填入的条件为 A. k ? 3 C. k ? 5 B. k ? 4 D. k ? 6
S ? 0, k ? 1

8.某天连续有 7 节课,其中语文、英语、物理、化学、 生物 5 科各 1 节,数学 2 节.在排课时,要求生物课 不排第 1 节,数学课要相邻,英语课与数学课不相邻, 则不同排法的种数是 A. 408 C. 552
9.设 F 是双曲线

S ? 2S ? k 2

B. 480 D. 816

k ? k ?1

7 题图

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, O 为坐标原点,点 A, B 分别在双曲线的两 a 2 b2

条渐近线上, AF ? x 轴, BF ∥ OA , AB ? OB ? 0 ,则该双曲线的离心率为

??? ? ??? ?

2 3 3 1 10 .在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c .已知 sin A ? sin B ? sin C , 3b ? 2a , 3
A. 2 B. 3 C. D.

3 2 2

2 ? a 2 ? ac ? 18 ,设 ?ABC 的面积为 S , p ? 2a ? S ,则 p 的最小值是
A.

5 2 9

B.

7 2 9

C. 2

D.

9 2 8

二、填空题:本大题 6 个小题,考生作答 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填写在答题卡相 应的位置上. 11.复数

4 ? 2i 的虚部为 ? 1 ? 2i

. .

12.圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 5 上的点到直线 2 x ? y ? 9 ? 0 的最大距离为

13.设常数 a ? 1 ,实数 x , y 满足 loga x ? 2logx a ? logx y ? ? 3 ,若 y 的最大值为 2 ,则 x 的值 为 .

考生注意:14、15、16 三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 14.如图,已知切线 PA 切圆于点 A ,割线 PBC 分别交圆于 点 B, C , 点 D 在 线 段 BC 上 , 且 D C? 2 B D ,
P B D C

?BAD ? ?PAB ,PA ? 2 10 ,PB ? 4 , 则线段 AB 的
长为__________.
A

14 题图

2

15.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C

的方程为 ?

?x ? t 2 , ? y ? 2t

( t 为参数),直线 l 的方程为 k ? cos ? ? ? sin ? ? k ? 0 ( k 为实数) ,若直

线 l 交曲线 C 于 A , B 两点, F 为曲线 C 的焦点,则

1 1 的值为_________. ? AF BF
1 2 a ? 1对 x ? R 恒 成 立 , 则 实 4

16 .设函数 f ( x) ? x ?1 ? 2x ? a ,若 关 于 x 的 不 等 式 f ( x) ? 数 a 的 取 值 范 围 是 ____________.

三、解答题:本大题 6 个小题,共 75 分 ,解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程, 并答在答题卡相应的位置上. 17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 7 分, (Ⅱ)小问 6 分) 设函数 f ( x) ? cos(

?

1 ? x) cos x ? sin 2 (? ? x) ? 。 2 2

(Ⅰ) 求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ) 若 f (? ) ?

? 3? ? 3 2 ? 1 ,且 ? ? ( , ) ,求 f (? ? ) 的值。 8 8 8 10

18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 某居民小区有 A, B, C 三个相互独立的消防通道,通道 A, B, C 在任意时刻畅通的概率分 别为

4 9 5 , , 。 5 10 6

(Ⅰ) 求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率; (Ⅱ) 在对消防通道 A 的三次相互独立的检查中,记畅通的次数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列和 数学期望 E? 。

P

19. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AC ? AB ,
E C D

AD ? DC , ?DAC ? 60? , PA ? AC ? 2 , AB ? 1 ,点 E 在棱
PC 上,且 DE ? PB 。
(Ⅰ) 求 CE 的长; (Ⅱ) 求二面角 A ? PB ? C 的正弦值。
A

B

19 题图

3

20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ln( ? 1) ? (Ⅰ) 讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ) 当函数 f ( x) 存在极值时,设所有极值之和为 g (a ) ,求 g (a ) 的取值范围.

x a

1 a ? . x 2

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 如图所示,已知椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 , F1 , F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点,直线 2

AB : y ? kx? m ( k? 0)与椭圆 C 交于不同的 A, B 两点.
(Ⅰ) 若 k ? ?1 , m ? 2 ,点 P 在直线 AB 上, 求 PF 1 ? PF 2 的最小值; (Ⅱ) 若以线段 AB 为直径的圆经过点 F2 ,且原点 O 到 直线 AB 的距离为

2 5 . 5

21 题图

(1)求直线 AB 的方程; (2)在椭圆 C 上求点 Q 的坐标,使得 ?ABQ 的面积最大.

22. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 2 , lg[(n ? 1)an?1 ] ? lg[(n ? 2)an ] ? lg 2 ? 0 ( n ? N ). (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 设 Pn ?
?

Sn 1 ? Pn , Tn ? ,求证: P 1?P 3 ?P 5 ??? P 2n?1 ? Tn ? 2 sin Tn . 2 an 1 ? Pn

4

数学(理科)参考答案及评分意见
一、选择题: 1-5 BCABC ; 6-10 CBADB. 二、填空题: 11、 ?2 ; 12、 3 5 ;13、 三、解答题: 17、解:(Ⅰ) ? f ( x) ? sin x cos x ? sin x ?
2

1 ; 14、 2 3 ;15、 1 ;16、 [?2, 0] . 8

1 2

???????? 2 分

?

1 2 ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? sin(2 x ? ) ? 1 , ???????? 4 分 2 2 4 2? ?? . 2
???????? 5 分

? f ( x) 的最小正周期为 T ?
由 2 k? ?

?
2

2 3? ? , k? ? ](k ? Z ) . ? f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? 8 8
(Ⅱ)? f (? ) ? 由? ? (

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?

,得 k? ?

3? ? ? x ? k? ? , 8 8
??????? 7 分

? 3 2 ? 3 2 sin(2? ? ) ? 1 ? ? 1 ,? sin(2? ? ) ? . ????? 8 分 4 5 2 4 10
, 8 ) 知 2? ?

? 3?
8

?

? ? 4 ? ( , ? ) ,? cos(2? ? ) ? ? . 4 2 4 5

?????10 分

? 2 ? ? 2 ? ? ? f (? ? ) ? sin[2(? ? ) ? ] ? 1 ? sin[(2? ? ) ? )] ? 1 8 2 8 4 2 4 4
? 2 ? ? ? ? [sin(2? ? ) cos ? cos(2? ? )sin ] ? 1 2 4 4 4 4
3 2 3 2 4 2 ?( ? ? ? ) ?1 ? ? . 10 2 5 2 5 2
????? 12 分

?

???????? 13 分

18、解:(Ⅰ)由已知通道 A, B, C 畅通的概率分别为 P ( A) ? 设“至少有两个消防通道畅通”为事件 D ,

4 9 5 , P( B) ? , P(C ) ? , 5 10 6
??????? 4 分

? P(D) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC)

4 9 1 4 1 5 1 9 5 4 9 5 281 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ???? 6 分 5 10 6 5 10 6 5 10 6 5 10 6 300
(Ⅱ) ? ? 的所有可能为 0,1, 2,3 ,

1 1 1 2 12 1 4 ? P(? ? 0) ? C30 ( )3 ? , P (? ? 1) ? C3 ? ( ) ? , 5 125 5 5 125
5

4 1 48 64 3 4 3 P(? ? 2) ? C32 ( )2 ? ? , P(? ? 3) ? C3 ( ) ? . 5 5 125 5 125

???? 10 分

? ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 125

12 125

48 125

64 125
?????? 11 分

1 12 48 64 12 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ?????13 分 125 125 125 125 5 ??? ? ??? ? ??? ? 19 、 解: (Ⅰ) 如图,以 AB, AC, AP 分别为 x, y , z 轴的正半轴方向,建立空间直角坐标系,则
数学期望 E? ? 0 ?

P(0,0, 2), A(0,0,0), B(1,0,0), C (0, 2, 0), D(?

3 1 , , 0) . ? 2 分 2 2

z P

过 E 作 EF ? AC 于 F ,由已知,得 EF ∥ PA , 设 EF ? h ,则 E (0, 2 ? h, h) . ???? 3 分
E C y

???? ??? ? 3 3 ? DE ? ( , ? h, h), PB ? (1, 0, ?2) . 2 2 ???? ??? ? 3 3 ? DE ? PB ,? DE ? PB ? , ??? 5 分 ? 2h ? 0 , h ? 2 4 ? CE ? 2h ? 6 . 4
?????????????? 6 分

D

F

A

B

x

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 PC ? (0, 2, ?2), PB ? (1,0, ?2) ,设平面 PBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

??? ?

??? ?

?

? ??? ? ? ? ?2 y ? 2 z ? 0, ?n ? PC ? 0, 则 ? ? ??? .? ? ,取 z ? 1 ,得 n ? (2,1,1) . ???????? 9 分 ? ?x ? 2z ? 0 ? ?n ? PB ? 0 ??? ? 易知 AC ? (0, 2,0) 是平面 PAB 的法向量, ???????? 10 分 ? ???? ? ???? n ? AC 6 ? cos n, AC ? ? ???? ? , ???????? 12 分 6 n ? AC
则二面角 A ? PB ? C 的正弦值为 sin n, AC ?

? ????

30 . 6

????????13 分

1 1 x2 ? x ? a / 20、解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (a, ??) , f ( x) ? a ? 2 ? 2 . ????? 2 分 x x x ( x ? a ) ?1 a
方程 x ? x ? a ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 4a .
2

6

(1)若 ? ? 0 ,即 a ?

1 时,在 f ( x) 的定义域 (a, ??) 内,有 f / ( x) ? 0 , 4
??????? 3 分

? f ( x) 在定义域 (a, ??) 上为增函数;
(2)若 ? ? 0 ,即 0 ? a ?

1 2 时,方程 x ? x ? a ? 0 有两个不同的实数根为: 4

x1 ?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ,且 a ? x1 ? x2 . , x2 ? 2 2 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ) 和( , ??) 上为增函数; ?????? 5 分 2 2
??????? 6 分

? f ( x ) 在 ( a,

在(

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a , ) 上为减函数. 2 2
1 , 4

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,当函数 f ( x) 存在极值时, 0 ? a ? 且 f ( x) 在 x ? x1 , x ? x2 处取得极值.

??????? 8 分

? x1 ? x2 ? 1, x1 x2 ? a ,? f ( x) 的所有极值之和为: g (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln(
? ln( x1 x 1 a 1 a ? 1) ? ? ? ln( 2 ? 1) ? ? a x1 2 a x2 2

1 a 1 1 x1 x2 x1 ? x2 x ?x ? ? 1) ? 1 2 ? a ? ln( 2 ? ? 1) ? ? a ? ? a . ?? 1 0 分 2 a a a a a a x1 x2

当0 ? a ?

1 1 17 时, g ( a ) ? ? a 为减函数,? g (a ) 的取值范围是 ( , ?? ) . ? 12 分 4 a 4
???? 1 分 ?????2 分 ?????3 分

21、解:(Ⅰ) 由椭圆方程可得,焦点坐标为 F1 (?1,0) , F2 (1, 0) . 当 k ? ?1 , m ? 2 时,直线 AB 的方程为 y ? ? x ? 2 . 则可得 F2 (1, 0) 关于直线 AB 的对称点为 F2/ ( 2, 2 ?1) .

? PF1 ? PF2 的最小值为: F1F2 / ? ( 2 ? 1)2 ? ( 2 ? 1)2 ? 6 . ???? 4 分
(Ⅱ)(1)设点 A, B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由原点 O 到直线 AB 的距离为

m 4 2 5 2 5 2 2 ,得 ,即 m ? (1 ? k ) .① ? 5 分 ? 2 5 5 5 1? k

将 y ? kx ? m 代入

x2 ? y 2 ? 1,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 , 2
7

?? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 8(2k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,
? x1 ? x2 ? ? 4km 2m 2 ? 2 , x x ? . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
??????? 6 分

由已知,得 AF2 ? BF2 ? 0 ,即 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? 0 .

???? ? ???? ?

??????? 7 分

?( x1 ?1)( x2 ?1) ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,即 (1 ? k 2 ) x1x2 ? (km ?1)( x1 ? x2 ) ? m2 ?1 ? 0 ,
2m 2 ? 2 ?4km ? (1 ? k ) ? ? (km ? 1) ? ? m2 ? 1 ? 0 , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
2

化简,得 3m ? 4km ? 1 ? 0 .②
2

??????? 8 分

由①②,得 m ?
2

4 1 ? 3m2 2 [1 ? ( ) ] ,即 11m4 ? 10m2 ? 1 ? 0 ,? m2 ? 1 .? k ? 0 , 5 4m

? m ? 1, 1 ? 2 2 ?? 1 ,满足 ? ? 8(2k ? m ? 1) ? 0 .? AB 的方程为 y ? ? x ? 1 . ???? 9 分 2 k ?? ? ? 2
(2) 由 (1) 可知, AB 是定值, 当椭圆 C 上的点 Q 使得 ?ABQ 的面积最大时, 点 Q 到直线 AB 的距离为最大,即点 Q 为在直线 AB 的下方平行于 AB 且与椭圆 C 相切的切点.设平行于 AB

1 ? y ? ? x ? n, ? 1 ? 2 且与椭圆 C 相切的切线方程为 y ? ? x ? n(n ? 0) ,由 ? 2 得 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?2
3 2 6 6 x ? 2nx ? 2n 2 ? 2 ? 0 ,?? ? ?8n2 ? 12 ? 0 ,? n ? ? , (n ? 舍去) ,?? 11 分 2 2 2
从而,可得 Q 的坐标为 Q(?

6 6 ,? ). 3 3

????????? 12 分

22、解:(Ⅰ) ? a1 ? 2 , lg[(n ? 1)an?1 ] ? lg[(n ? 2)an ] ? lg 2 ? 0 ,

a a (n ? 1)an ?1 ? 1,即 n ?1 ? 2 ? n , n?2 n ?1 2(n ? 2)an a ? a ? ? ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公比为 2 的等比数列. 2 ? n ? 1? a ? n ? 2n ?1 ,即 an ? (n ? 1) ? 2n?1 . n ?1 n?1 (Ⅱ) ? an ? (n ? 1) ? 2 ,

?

???????? 2 分 ??????? 3 分 ??????? 4 分

?Sn ? 2 ? 3? 2 ? 4 ? 22 ???? ? (n ? 1) ? 2n?1 ,
8

2Sn ? 2 ? 2 ? 3? 22 ? 4 ? 23 ???? ? n2n?1 ? (n ?1) ? 2n .
两式相减,得

?Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 23 ???? ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n
2(2n ?1 ? 1) ? (n ? 1) ? 2n 2 ?1 n ? ?n ? 2 , ? Sn ? n ? 2n . ? 2?

??????? 6 分

? Pn ?

Sn 1 ? Pn , Tn ? , 2an 1 ? Pn

n 1? 1 n ? 2n n n ?1 ? , Tn ? . ? Pn ? ? n ?1 n 2 n ? 1 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?1 1? n ?1 ① 先证明: P 1?P 3 ?P 5 ??? P 2 n?1 ? Tn .
方法一:

1 3 5 2n ? 1 ?P ? ? ????? , 1?P 3 ?P 5 ??? P 2 n ?1 ? 2 4 6 2n 1 2 3 2 5 2 2n ? 1 2 2 ?(P ) 1?P 3 ?P 5 ??? P 2 n ?1 ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) ????? ( 2 4 6 2n 1 9 25 (2n ? 1)2 ? ? ? ????? 4 16 36 (2n)2 1 3 5 2n ? 1 1 ? ? ? ????? ? , ??????? 8 分 3 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 ,即 P ?P 1?P 3?P 5 ??? P 2 n ?1 ? 1?P 3 ?P 5 ??? P 2 n?1 ? Tn . ?????? 9 分 2n ? 1
方法二:用数学归纳法证明如下: (1)当 n ? 1 时,左边 ? P 1 ?

1 1 1 ,右边 ? T1 ? , ? 2 3 3
??????? 7 分

1 1 ? ? ,? 左边 ? 右边,即不等式成立. 2 3
(2)假设当 n ? k 时,不等式成立,即 P 1?P 3 ?P 5 ??? P 2 k ?1 ? 那么,当 n ? k ? 1 时, 左边 ? P 1?P 3 ?P 5 ??? P 2 k ?1 ? P 2 k ?1 ? P 1?P 3 ?P 5 ??? P 2 k ?1 ?

1 , 2k ? 1

2k ? 1 2k ? 2

?

1 2k ? 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 2

1 (2k ? 1) 2 2k ? 1 ? ? 2 2k ? 1 (2k ? 2) (2k ? 2) 2

(2 k ? 1) k (2 ? 1) 1 1 ? ? ? 2 (2 k ? 2 )? 1 k(? 2 3 k? )(2 1k )? 2 k 3 ? ?2 ( 1) 1 ? Tk ?1 ? 右边,? 左边 ? 右边. ??????? 9 分 ? 当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. ? ?P 1?P 3 ?P 5 ??? P 2 n ?1 ? Tn 对 n ? N 都成立. ?
9

② 再证明: Tn ? 2 sin Tn ,即证明

1 1 . ? 2 sin 2n ? 1 2n ? 1 设函数 f ( x) ? x ? 2 sin x ,则导函数 f / ( x) ? 1 ? 2 cos x .
令 f / ( x) ? 0 ,得 cos x ?

? ? ? 在 (0, ) 上有 f / ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 (0, ) 上单调递减. 4 4 ? ? f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 x ? 2 sin x 在 (0, ) 上恒成立. ?????? 11 分 4 1 1 ? 又? 0 ? ? ? , 2n ? 1 3 4 1 1 ,即 Tn ? 2 sin Tn . ??????? 12 分 ? ? 2 sin 2n ? 1 2n ? 1 综上可得: P 1?P 3 ?P 5 ??? P 2n?1 ? Tn ? 2 sin Tn .

2 , 2

10


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【全国百强校】重庆市育才中学2016届九年级下学期入学考试数学试题

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