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3.1.5空间向量运算的坐标表示1


第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算

3.1.5空间向量运算的 坐标表示

复习巩固 1.空间向量基本定理:

若三个向量a,b,c不共面,则对空间 任一向量p,存在有序实数组{x,y,z}, 使得p=xa+yb+zc.

其中{a,b,c}叫做空间的一个基底,a b,c

都叫做基向量.

2.空间向量的坐标表示: 若p=xe1+ye2+ze3,则把x,y,z称 为向量p在单位正交基底e1,e2,e3下 的坐标,记作p=(x,y,z).
z p
e1 x e3 O

e2

y

练习:如图,在空间四边形OABC中,OA =8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC= 45°,∠OAB=60°,求OA与BC的夹角的 O 余弦值.
8

A
6

4 5

C

B ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? BC 24 ? 16 2 3 ? 2 2 ? ? cos ? OA, BC ?? ??? ??? ? ? 8? 5 5 | OA | ? | BC |

探究(一):向量运算的坐标表示

设{i,j,k}为单位正交基底,向量 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2). a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) a - b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

设{i,j,k}为单位正交基底,向量 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).

λa=(λ x1,λ y1,λ z1)
a· 1x2+y1y2+z1z2 b=x

设向量 a=(x1,y1,z1), b= (x2,y2,z2). r r r r a// b ? a lb ? x 1 l x 2, y 1 = l y 2, z 1 = l z 2 r r r r a ^ b圩 a b = 0 ? x1x2+y1y2+z1z2 =0

r r r r a ×b cos < a, b > = r ur | a || b | x 1x 2 + y 1y 2 + z 1z 2 = 2 2 2 2 2 2 x 1 + y1 + z 1 x 2 + y 2 + z 2

r 若a =(x 1,y1,z1) r 2 2 2 | a |= x 1 + y 1 + z 1

若点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2) uuu r A B =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
dA B = (x 2 - x 1 ) + (y 2 - y1 ) + (z 2 - z 1 )
2 2 2

uuu r uuu r 若A P = l PB,
x 1 + l x 2 y1 + l y 2 z1 + l z 2 P( , , ) 1+ l 1+ l 1+ l

已知A(x 1,y1,z 1),

(1)则点A(x 1,y 1,z 1)关于xoy平面的

对称点A1(x 1,y 1,-z 1 ); (2)则点A(x 1,y 1,z 1)关于yoz平面的 对称点A1(-x 1,y 1,z 1 ); 对称点A1(x 1,-y 1,z 1 );

(3)则点A(x 1,y 1,z 1)关于xoz平面的

已知A(x 1,y1,z 1),
(4)则点A(x 1,y 1,z 1)关于x轴的 对称点A 4(x 1,-y 1,-z 1 ); (5)则点A(x 1,y 1,z 1)关于y轴的 对称点A5(-x 1,y 1,-z 1 ); (6)则点A(x 1,y 1,z 1)关于z轴的 对称点A6(-x 1,-y 1,z 1 )。

例题讲解

例1 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E、F分别是A1B1,C1D1的一个四 等分点,求异面直线BE与DF所成角的 余弦值. z
D1 F C1

uuu uuu r r 15 cos BE , DF = 17

A1 D

E

B1 C B y

A x

例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 点E、F分别是BB1,B1D1的中点, 求证: EF⊥A1D.
z D1 A1
D A x

F
B1 E B

C1

C

y

小结作业

1.空间向量的坐标运算是在空间向量基 本定理和空间向量的坐标表示的基础上 建立起来的理论,它与平面向量的坐标 运算的算法原理是一致的,其不同点体 现在空间向量是三维坐标运算,平面向 量是二维坐标运算.

2.求空间向量的坐标有几何法、差向量 法、待定系数法等,若向量的起点在原 点,一般用几何法;若向量的起点和终 点是一些特殊点,一般用差向量法,即 终点坐标减起点坐标;若向量的具体位 置不确定,一般用待定系数法.

3.对立体几何中的某些证明或计算问题, 如果图形中有三条互相垂直的直线,可 以建立空间直角坐标系,利用 向量的 坐标运算求解.

作业:
P97练习:1,2,3. P98:6-10.

《学海》第5课时


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