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3.2对数与对数函数讲义


3.2 对数与对数函数
知识点归纳
1.对数 (1)对数的定义: 如果 ,那么数 x 叫做以 a 为底N的对数(logarithm),记作 x=_______.其中 a

叫做对数的________,N 叫做________. (2)指数式与对数式的关系:

(a>0,a≠1,N>0). 两个式子表示的 a、x、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质: 如果 a>0,且 a 1,b>0,且 b≠1,M>0,N>0,那么: ① loga M ? loga N ? __________ _

② log a (

M ) ? __________ ______ N

③ loga M n ? __________ ___ ④对数换底公式: logN M ? __________ ___
loga M

⑤a

? __________

⑥ loga 1 ? __________ , loga a ? __________ __ ⑦ loga b ? logb a ? __________ _ ⑧ loga m

bn ? _________
1

2.对数函数

(1)定义:一般地,我们把函数 其中 x 是自变量,函数的定义域是_________. (2)对数函数与指数函数的区别
名称 一般形式 定义域 值域 当 a>1 时 指数函数

叫做对数函数(logarithmic function),

对数函数

当 a>1 时

函数值变化情况 当 0<a<1 时, 当 0<a<1 时,

当 a>1 时, 单调性 当 0<a<1 时,

是__________

当 a>1 时,

是_________

是________

当 0<a<1 时,

是_______

图象

的图象与

的图象关于__________对称

3.幂函数
2

一般地,函数

叫做幂函数(power function),其中 x 是自变量,

是常数..

对于幂函数,只需研究 y=x,

,

,

,

五个函数即可.

图象

定义域 奇偶性

R _________

R __________

R

___________ ___________

___________ ___________ ___________

在第 1 象限单 在第 1 象限单 在第 1 象限单 在第 1 象限单 在第 1 象限单 在第 1 象限单 调增减性 调递增 调递增 调________ 调递增 调________

典型例题

例 1.对于 a>0,a≠1,下列说法中,正确的是(



①若 M=N,则



②若

,则 M=N;

③若

,则 M=N;

④若 M=N, A.①③ C.②

. B.②④ D.①②③④
3

例 2.已知函数 f(x)=

则 f(2+

)的值为(



A.

B.

C. 例 3.计算:

D.

(1)若



,求 lg5.

(2)

.

例 4.已知 x 满足不等式

,求函数 f(x)=

的最大值和最小值.

例 5.若 f(x)=

-x+b,且 f(

)=b,

=2(a≠1).

(1)求 f(

)的最小值及对应的 x 值;
4

(2)x 取何值时,f(

)>f(1)且

<f(1).

5


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