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等差数列知识点+基础练习题


等差数列知识点
1.等差数列的定义: an ? an?1 ? d (d为常数) ( n ? 2) ; 2.等差数列通项公式:

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * )
推广: an ? am ? (n ? m)d . 3.等差中项

, 首项: a1 ,公差:d,末项: an



从而 d ?

an ? am ; n?m
a?b 或 2

(1)如果 a , A , b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ?

2A ? a ? b
( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列

?an ?











? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2
4.等差数列的前 n 项和公式:

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n ? An2 ? Bn 2 2 2 2

(其中A、B是常数,所以当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数 2n ? 1 时, an ?1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项

S2 n?1 ?

? 2n ? 1?? a1 ? a2n?1 ? ?
2

? 2n ? 1? an?1 (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数

乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ? ( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列
?

?an ?

?an ?是等差数列.
等 差 数 列



? 2an ? an-1 ? an?1 (n ? 2) ? 2an?1 ? an ? an?2 . ⑶数列 ?an ? 是等差数列 ? an ? kn ? b (其中 k , b 是常数)。

(4)数列 ?an ? 是等差数列 ? Sn ? An2 ? Bn ,(其中A、B是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若 an ? an?1 ? d 或 an?1 ? an ? d (常数 n ? N ) ?
?

?an ?是等差数列.

7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn , 其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即 知 3 求 2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项 an ? a1 ? (n ?1)d ②奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ; ③偶数个数成等差,可设为?, a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(注意;公差为 2 d ) 8..等差数列的性质:

(1)当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数,且斜 率为公差 d ; 前 n 和 S n ? na1 ? 为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 ( 3 )当 m ? n ? p ? q 时 , 则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的二次函数且常数项 2 2 2

am ? an ? 2ap .
注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? , (4)若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ??an ? b?, ??1an ? ?2bn? 都为等差数列 (5) 若{ an }是等差数列,则 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列 (6) 数列 {an } 为等差数列,每隔 k(k ? N )项取出一项( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等差数
*

列 (7)设数列 ?an ? 是等差数列,d 为公差, S 奇 是奇数项的和, S 偶 是偶数项项的和, S n 是 前 n 项的和 1.当项数为偶数 2n 时,

S奇 ? a1 ? a3 ? a5 ? ??? ? a2 n?1 ?

n ? a1 ? a2 n?1 ? ? nan 2 n ? a2 ? a2 n ? S偶 ? a2 ? a4 ? a6 ? ??? ? a2 n ? ? nan ?1 2 S偶 ? S奇 ? nan?1 ? nan ? n ? an?1 ? an ?

S奇 nan a ? ? n S偶 nan?1 an?1
2、当项数为奇数 2n ? 1 时,则

? S n ?1 ? S2 n?1 ? S奇 ? S偶 ? (2n ? 1) an+1 ? ?S奇 ? (n ? 1)an+1 ?? ? 奇? ? S奇 ? S偶 ? an+1 S偶 n ? ? ? S偶 ? nan+1 ? (其中 an+1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) .
(8) 、 {bn } 的前 n 和分别为 An 、 Bn ,且 则

An ? f ( n) , Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) . bn (2n ? 1)bn B2 n ?1

(9) 等差数列 {an } 的前 n 项和 Sm ? n , 前 m 项和 Sn ? m , 则前 m+n 项和 Sm?n ? ? ? m ? n ? (10)求 Sn 的最值 法一:因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注 意数列的特殊性 n ? N 。 法二: (1) “首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和
*

即当 a1 ? 0,d ? 0,由 ?

?an ? 0 可得 Sn 达到最大值时的 n 值. ?an?1 ? 0
?a n ? 0 可得 Sn 达到最小值时的 n 值. ?a n ?1 ? 0

(2) “首负”的递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当 a1 ? 0,d ? 0,由 ? 或求 ?an ?中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数, 故n取离二次函数对称轴最近的整数时, S n 取最大值(或最小值) 。若S p = S q则其对称轴 为n ?

p?q 2

注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程; ②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

等差数列·基础练习题 一、填空题 1. 等差数列 8,5,2,?的第 20 项为___________. 2. 在等差数列中已知 a1=12, a6=27,则 d=___________ 3. 在等差数列中已知
d ?? 1 3 ,a7=8,则 a1=_______________

2 2 4. (a ? b) 与 (a ? b) 的等差中项是________________-

5. 等差数列-10,-6,-2,2,?前___项的和是 54 6. 正整数前 n 个数的和是___________ 7. 数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn=3n ? n ,则 an =___________.
2

8. 在等差数列中已知 a1=12, a6=27,则 d=___________ 9. 在等差数列中已知
d ?? 1 3 ,a7=8,则 a1=_______________

10.

在等差数列{an}中,an=m,an+m=0,则 am= ______。

11 在等差数列{an}中,a4+a7+a10+a13=20,则 S16= ______ 。 12 在等差数列{an}中,a1+a2+a3+a4=68,a6+a7+a8+a9+a10=30,则 从 a15 到 a30 的和是 ______ 。 13 已知等差数列 110, 116, 122,??,则大于 450 而不大于 602 的各项之和为 ______ 。 14 若 是方程 的解,则 是关于 的方程 =________。 的两个根, 则

15 若公差 , 且 =________。

二、选择题
x x 1 若 lg 2,lg(2 ?1),lg(2 ? 3) 成等差数列,则 x 的值等于( )

A.0

B. log2 5

C. 32

D.0 或 32

2、等差数列中连续四项为 a,x,b,2x,那么 a :b 等于 ( )

A、

B、

C、 或 1

D、

3. 在等差数列 ?an ? 中 a3 ? a11 ? 40 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10的值为 ( )

A.84 C.60 .

B.72 D.48

4. 在等差数列 ?an ? 中,前 15 项的和 S15 ? 90 , a8 为( ) A.6 C.12 B.3 D.4

5. 等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 下 项的和等于 A.160 C.200 B.180 D.220

6. 在等差数列 ?an ? 中 , 若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 的值等于 ( ) A.45 C.180 B.75 D.300
2

7. 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项的和,且 Sn ? n ,则 ?an ? 是( ) A.等比数列,但不是等差数列 C.等差数列,且是等比数列 数列 8. 数列 3,7,13,21,31,?的通项公式是( ) A. an ? 4n ?1
2 C. an ? n ? n ? 1 3 2 B. an ? n ? n ? n ? 2

B.等差数列,但不是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比

D.不存在

9、设数列{an}和{bn}都是等差数列,其中 a1=25, b1=75,且 a100+b100=100,则数列{an+bn}的前 100 项和为()

A、 0

B、 100

C、10000

D、505000

10. 等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? ?24, a18 ? a19 ? a20 ? 78 ,则此数列前 20 下项的和等于 A.160 C.200 B.180 D.220

11 一个项数为偶数的等差数列,它的奇数项的和与偶数项的和分别 是 24 与 30,若此数列的最后一项比第-10 项为 10,则这个数列共有 ( ) A、 6 项 B、8 项 C、10 项 D、12 项

三、计算题 1.求集合 M ? ?m | m ? 2n ?1, n ? N *,且m ? 60? 中元素的个数, 并求这些元 素的和

2 2.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式是 Sn ? 5n ? 3n ,求它的前 3 项,并

求它的通项公式

3.如果等差数列 ?an ? 的前 4 项的和是 2,前 9 项的和是-6,求其前 n 项和的公式。

4.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列 ?an ? 的有关未知数:
5 1 a1 ? , d ? ? , S n ? ?5, 6 6 (1) 求 n 及 an ; (2)d ? 2, n ? 15, an ? ?10, 求a1及Sn


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