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河北省定州中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)


河北定州中学高二期中考试 数学(理)试题
评卷人 得分 一、选择题:共 12 题 每题 5 分 共 60 分 1.已知 f(sinx+cosx)=tanx(x ? [0,π ]) ,则 f ( A .-

7 )等于 13
D. -

12 5

B. -

5 12

C. ±

12 5

12 5 或- 5 12


2.已知 a ? 1, b ? 6, a? (b ? a) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
( )

3.如图,在菱形 ABCD 中,下列式子成立的是

??? ? ??? ? A. AB ? CD
D A B

??? ? ??? ? B. AB ? BC
C

???? ??? ? C. AD ? CB

???? ??? ? D. AD ? BC

4.将函数 y ? 2 sin 2 x 的图像向右平移 A. x ?
π 3

π 个单位后,其图像的一条 对称轴方程为 ( 6

)

B. x ?

π 6

C. x ?

5π 12

D. x ?

7π 12

5.将函数

的图象向左平移

个单位得到 y=g(x)的图 ,则 φ 的值是( )

象,若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2 的 x1、x2,|x1﹣ x2|min= A. B. C. D.

6.函数 f(x)=Asin(ω x+ ? ) (其中 A>0,| ? |< 的图象,则只需将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin2x

A.向右平移 B.向右平移

个长度单位 个长度单位

1

C.向左平移 D.向左平移

个长度单位 个长度单位

7. 函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (其中 A>0,|φ |< 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

? )的图象如图所示,为了得到 g(x)=cos2x 2

? 个单位长度 6 ? C. 向左平移 个单位长度 6
A.向右平移

B.向右平移

? 个单位长度 12 ? D.向左平移 个单位长度 12

8.已知α 、β 都是第二象限角,且 cosα >cosβ ,则( ) A.α <β B.sinα >sinβ C.tanα >tanβ D.cotα <cotβ 9. f ( x) ? A sin(?x ? ? )(A>0, ω >0) 在 x=1 处取最大值, 则 A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 C. f ( x ? 1) 一定是奇函数 D. f ( x ? 1) 一定是偶函数 10.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 4 且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的 夹角为( A. 30
0





?

?

?

?

? ?

?

?



B. 45

0

C. 60

0

D. 90

0

11.已知 O 为 ?ABC 所在平面上一点,若 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,则 O 为 ?ABC 的( A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

)

12. D 点是斜边 AB 的中点, 点 P 在 CD 上, 且 CP ? 已 知 ?A B C是腰长为 2 等腰直角三角形, 则 PA ? PB ? ( A. ?

??? ?

? 1 ??? PD , 2

??? ? ??? ?

) B. ?

3 4

10 9

C. 0

D. 4

2

评卷人

得分 二、填空题:共 4 题 每题 5 分 共 20 分

17? 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式: 18 ① MP ? OM ? 0 ;② OM ? 0 ? MP ; ③ OM ? MP ? 0 ;④ MP ? 0 ? OM ,
13.设 MP 和 OM 分别是角 其中正确的是________________________ _____。 14.已知△ABC 的重心为 G,若 =m, =n,则 = . .

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? 15.如图,在 ?ABC 中,若 BE ? 2 EA , AD ? 2DC , DE ? ? (CA ? BC) ,则实数 ? =

16.已知

?
6

?? ?

2? ? ? 2? ? , cos( ? ? ) ? m(m ? 0) ,则 tan? ? ? ? ? ________. 3 3 ? 3 ?

评卷人

得分 三、解答题:共 8 题 共 70 分

17.求函数 f ( x) ?

1 2 3 sin x ? cos 2 x ? sin 2 x . 2 4

(1) 求 f ( x) 的周期与值域; (2)求 f ( x) 在 ?0, ? ?上的单调递减区间.

18.如图,在平面直角坐标系? m ? ?2 中,以? f ( x) max ? 1 ? 两个锐角 2 x ?

?
6

?

?
2

、x?

?
6

1 1 ? 2 ? ? 轴的非负半轴为始边作 2 2

,它们的终边分别与单位圆相交于 A , B 两点,已知 A , B 的横坐

3

标分别为

2 2 5 , . 10 5

(1) cos ? , cos ? 的值 (2)求 cos(? ? ? ) 的值

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 5 x ? 4 ln x 2

(1)求 y ? f '( x) (2)求函数 f ( x ) 的单调区间

4

20.设函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ? a2 ? a ?1 , (a?R ) (I)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? ?0,

? ?? 时,求 f ? x ? 的最大值. ? 3? ?

21. (本小题满分 12 分)设向量 a ? (1)若向量 a / / b ,求 x 的值;

?

? ?? 3 sin x,sin x , b ? ? cos x,sin x ? , 其中x ? ? 0, ? . ? 2?

?

(2)设函数 f ? x ? ? ? a ? b? ? b, 求f ? x ? 的最大值.

5

22.已知 cos?? ? 求 cos

? ?

??

? ? 1 ?? ? 2 ? ? ? , sin ? ? ? ? ? ;且 ? ? ? ? , 0 ? ? ? 2 2 2? 9 ?2 ? 3

? ??
2

23.(本小题满分 12 分) 已知 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 . 3

(Ⅰ)求 cos? 的值; (Ⅱ)若 sin(? ? ? ) ? ?

3 ? , ? ? (0, ) ,求 sin ? 的值. 5 2

6

?A ? 60? , 24. 在边长为 1 的菱形 ABCD 中, E 是线段 CD 上一点, 满足

CE ? 2 DE

, 如图.设 AB ? a ,

AD ? b .
(1)用 a 、 b 表示 BE ; (2)在线段 BC 上是否存在一点 F 满足 AF ? BE ?若存在,判定 F 点的位置,并求 在,请说明理由 D E C

AF

;若不存

A

B

7

参考答案 1.A 【解析】略 2.C 【解析】

? ? ?2 ?? 试题分析:根据已知可得: a.b ? a ? 2 ? a.b ? 3 ,所以

?? ? ? a.b 1 cos a, b ? ? ? ? a.b 2

? ,所以夹角为 3 ,

故选择 C 考点:向量的运算 3.D 【解析】解:利用菱形的性质可知,第一问中方向不同,错误;选项 B 中显然不共线,因此错误。

???? ??? ? AD ? BC ,因此 C 不对;只有 D 正确。
4.C
π y ? 2 sin 2 x 【解析】将函数 的图像向右平移 6 个单位后所得函数为

y ? 2 sin 2( x ? ) ? 2 sin(2 x ? ) 2 x ? ? k? ? ( k ? Z ) 6 3 ,令 3 2 ,所以 x? k? 5? 5? ? (k ? Z ); k ? 0, x ? ; 2 12 12 故选 C

?

?

?

?

5.B 【解析】 试题分析:先求得 g(x)的解析式,根据题意可得两个函数的最大值与最小值的差为 2 时,|x1﹣ x2|min= 解: 将函数 (x+φ )+ ]=sin(2x+2φ + .不妨设 x1= ,此时 x2 = ± .检验求得 φ 的值. 个单位得到 y=g (x) =sin[2

的图象向左平移 )的图象, , .

对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2 的 x1、x2,|x1﹣x2|min= 即两个函数的最大值与最小值的差为 2 时,|x1﹣x2|min= 不妨设 x1= 若 x1= ,此时 x2 = + = ± .

,x2 =

,则 g(x2)=﹣1,sin2φ =1,φ =

. ,不合题意,

若 x1= ,x2 = ﹣ =﹣ ,则 g(x2)=﹣1,sin2φ =﹣1,φ = 故选:B. 考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换.

8

6.A 【解析】 试题分析:由函数图像可知 A ? 1, T ?

1 4

7 ? ? ? ? ? ?T ? ? , ? ? 2 12 3 4

? ? ?? ?? ? ? 需将 f ? x ? 向右平移 个单 ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? f ? ? ? 0 ?? ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? , 6 3 3? ?3? ?
位 考点:1.三角函数图像与解析式;2.图像平移 7.D 【解析】由题意,得 A ? 1, 代入 ?

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,? ? ? , ? ? 2 ,即 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ; 4 12 3 4 ?

7? 3? ? ? ? 7? ? ?? ? ,即 ? ? ,所以 f ( x ) ? sin( 2 x ? ) ; ,?1? ,得 6 2 3 3 ? 12 ?

而 g ( x) ? cos 2 x ? sin(2 x ?

?

? ?? ? ) ? sin ?2( x ? ) ? ? ; 2 12 3 ? ?
? 个单位长度. 12

所以为了得到 g(x)=cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象向左平移

考点:三角函数的图像与性质、三角函数的图像变换. 8.B 【解析】在第二象限角内通过余弦函数线 cosα >cosβ 找出α 、β 的终边位置关系,再作出判断, 得 B。 9.D 【解析】∵ f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值 ∴ f ( x ? 1) 在 x=0 处取最大值, 即 y 轴是函数 f ( x ? 1) 的对称轴 ∴函数 f ( x ? 1) 是偶函数 10.C 【解析】

?? ab 2 1 ? ,所以夹角是 600 试题分析:根据夹角公式 cos? ? ? ? ? a b 1? 4 2
考点:向量数列积的性质 11.C 【解析】 试题分析:因为 OA ? OB ? OB ? OC 所以移项可得:OB ? (OC ? OA) ? OB ? AC 所以 OB ? AC ;同 理可 知 OC ? AB , OA ? BC .

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ???? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

9

考点:向量的运算,向量的垂直. 12.B 【解析】 试 题 分 析 :

PA ? CA? CP

?

?

?

,

PB ? CB ? CP
2

?

?

?

,


2



? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? PA? PB ? ? CA? CP ?? CB ? CP ? ? CA? CB ? ? CA? CB ? ? CP ? CP ? 0 ? 2 CD? CP ? CP , 又 因 ? ?? ? ? ?
? ? 2

1 1 5 ? 2 10 1 为 CP ? CD ,所以代入后得到 PA? PB ? ?2 CD? CD ? CD ? ? CD ? ? . 3 3 9 9 9
? ?

?

?

?

考点:1.向量数列积的计算;2.向量的四则运算;3.共线向量. 13.② 【解析】 sin 14. m- n 【解析】延长 CG 交 AB 于 D,则
1 3 【解析】

17? 17? ? MP ? 0, cos ? OM ? 0 18 18

=

= (

+

)= m- n.

15.



















? ? D = E =

?

? ??? ? 1 ??? 1 CA - BC ,所以 ? = 3 3

2 ? +D 3

A=

?1 3

? A

?2 +E 3

(

?

)

1? = C 3

A

?

+

?ABC 中 , ? ? ? ? 1 1 A B + C= 3 3

A

?

-

?

(

)

考点:向量的加减运算;

1 ? m2 16. ? . m
【解析】 试 题 分 析 : ?

?
6

?? ?

2? 3

, ?

?
2

?? ?

?
3

??

, 由 c o ? ?s?

? ?

??

? ? m?m ? 0? , 3?

?? ? sin ? ? ? ? ?? 1 ? m2 ?? ?? 3? ? ? ? ? ?? , ? sin ?? ? ? ? ? 1 ? cos2 ?? ? ? ? ? 1 ? m2 ,? tan? ? ? ? ? ?? 3? m ? 3? 3? ? ? ? cos? ? ? ? 3? ?
? ? 2? ?? 1 ? m2 ? 2? ? ?? ? . ? tan? ? ? ? ? tan?? ? ? ? ? ?? ? tan?? ? ? ? ? 3? m ? 3 ? ?? ? ? ? 3
考点:1、同角三角函数的基本关系;2、三角函数的诱导公式.

10

【方法点睛】本题考查的是三角函数公式中的变换,属于中档题,当已知角有两个时,一般把所求 角表示为两个已知角的和或差的形式;当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差 的形式,然后应用诱导公式把所求角变成已知角,常见的互余关系有

?
3

?? 与

?
6

?? ;

?
4

?? 与

?
4

? ? ,常见的互补关系有

?
3

?? 与

2? ? 3? ? ? , ?? 与 ?? . 3 4 4

17. 1) f ( x) ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 (1 ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x) ? 3 ? 1 sin(2 x ? ? ) 2 4 2 2 2 4 2 6

1 5 ? 2? ?T ? ? , 值域为[ , ],(2)[0,? ]上减区间为[ , ] 4 4 6 3
【解析】略 18. (1) cos ? ? 【解析】 试题分析:解: (1)由已知得 cos ? ? (2)∵ ? , ? 为锐角, ∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , cos ? ? , cos ? ?

10

2 5 , (2) ?3 5

10

2 5 , 5

4分

5 7 2 , sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , 5 10
9分

7分

∴ tan ? ?

sin ? 1 sin ? ? 7 , tan ? ? ? . cos ? cos ? 2

1 7? tan ? ? tan ? 2 ? ?3 ∴ tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2

12 分

考点:任意角的三角函数 点评:解决的关键是根据任意角的三角函数的定义来得到三角函数值,进而化简求解,属于基础题。 19. (1)因为 f '( x) ? x ?

4 ? 5 . (2 分) x

(2)要使 f ( x ) 有意义,则 x 的取值范围是 (0, ?? ) . (4 分) 由 f '( x) ? 0 得 x ?

4 ? 5 ? 0 . (5 分) x
(7 分)

2 因为 x ? 0 ,所以 x ? 5x ? 4 ? 0 ,即 x ? 1 ,或 x ? 4 .

由 f '( x) ? 0 得 x ?

4 ?5? 0 x

(8 分)]

2 因为 x ? 0 ,所以 x ? 5x ? 4 ? 0 ,即 1 ? x ? 4 . (10 分)

11

所以 f ( x ) 的单调增区间为 (0,1),(4, ??) ;单调减区间为 (1, 4) .

(12 分)

【解析】略 20.解: (I) f ? x ? 的最小正周期 T ? 函数的单调递增区间 是 [k? ? (Ⅱ) x ?

?
3

, k? ?

?

2? ?? . 2 6 ](k ? Z ) .

?
6

, f ? x ? 的最大值是 a 2 ? a ? 2 .

【解析】本试题主要是考查了三角函数的图形和性质的运用。 (1) 结合二倍角公式将函数式化为单一函数, 然后利用周期公式求解得到, 并结合单调性得到区间。 (2)根据定义域先求解相位的范围,然后结正弦函数的 性质得到最值 21. (1) x ? 【解析】 试题分析: (1)面向量平行的条件得到关于 sin x, cos x 的关系式,再利用同角本关系式求出 tan x , 进而求角; ( 2 ) 利 用 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 得 出 f ( x) 的 解 析 式 , 再 进 行 三 角 恒 等 变 换 画 出

?
6

; (2)

5 . 2

y ? A sin(?x ? ? ) ? k 的形式,再结合三角函数的图像与性质进行求最值.
2 试题解析: (1)? a ? ( 3 sin x, sin x),b ? (cosx, sin x) ,且 a // b ,? 3 sin x ? sin x cos x ? 0

x ? (0, ) 2 ,? sin x ? 0, cos x ? 0 . 又

?

? 3 sin x ? cos x ? 0 ,即

tan x ?

? 3 x? 6. 3 ,所以
3 1 ? cos2 x sin 2 x ? ?1 2 2

f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 2 sin 2 x ?
(2)由题意,得

?

3 1 3 ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 6 2

? ? ? 5? ? x ? (0, ) ? 2 x ? ? (? , ) 2 , 6 6 6 ,
2x ?
所以当

?
6

?

?
2 ,即

x?

?
3 时,

sin( 2 x ?

?

5 f ( x ) 6 取得最大值 1,即 取得最大值 2 . )

考点:1.平面向量的坐标运算;2.三角恒等变换;3.三角函数的图像与性质

12

22.∵ ∴

?
2

? ? ? ? ,0 ? ? ?

?
2 ?? ?

?
4

?? ?

?
2

? ? ,?

?
4

?

?
2
2

?
2

…………………………………… ………………4 分
2

?? 4 5 5 ? ? 1? ?? ? ?2? ∴ sin ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , cos? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ……………8 分 2? 9 3 ? ? 9? ?2 ? ?3?
∴ cos

? ??
2

?? ? ? ?? ?? ? cos??? ? ? ? ? ? ? ?? 2? ?2 ?? ??

?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? cos? ? ? ? cos? ? ? ? + sin ? ? ? ? sin? ? ? ? 2? 2? ?2 ? ? ?2 ? ?
=?

1 5 4 5 2 ? ? ? 9 3 9 3

=

7 5 27

【解析】略 23. (Ⅰ) ? 【解析】 试题分析: (Ⅰ)将已知等式两边平方,利用二倍角公式可得 sin ? ,结合角的范围进而求得 cos ? ; (Ⅱ)将所求角 ? 用已知角 ? , ? ? ? 相减表示 sin ? ? sin ?(? ? ? ) ? ? ? ,转化为两角差的正弦,代 入公式展开化简即可 试题解析: (Ⅰ)因为 sin 所以 1 ? 2sin 因为 ? ? (

2 2 6 2 ?4 (Ⅱ) 3 15

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 3

?
2

cos

?
2

?

?
2

4 1 , sin ? ? . 3 3

,? ) ,
2

所以 cos ? ? ? 1 ? sin (Ⅱ)因为 ? ? (

? ? ? 1?

1 2 2 ?? . 9 3

? ? 3? , ? ), ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? ? ( , ) 2 2 2 2 3 4 又 sin(? ? ? ) ? ? ,得 cos(? ? ? ) ? ? . 5 5 ?

sin ? ? sin ?(? ? ? ) ? ? ?

13

? sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ?

3 3 2 4 1 ? (? ) ? (? ) ? (? ) ? 5 3 5 3 ? 6 2?4 . 15

考点:1.同角间三角函数基本公式;2.三角函数求值 24.解: (1)由题有 BE ? AE ? AB ? ( AD ? DE) ? AB

1 2 ?b? a?a?b? a 3 3

………4 分

(2)假设存在满足条件的点 F,不妨设 BF ? ? b , 则 AF ? AB ? BF ? a ? ?b , 由 AF ? BE 有 (a ? ? b) ? (b ? ………6 分

2 a ) ? 0 ,即 3 2 2 2 2 1 2 2 1 (1 ? ? )a ? b ? a ? ? b ? 0 ,即 (1 ? ? ) ? ? ? ? 0 ,∴ ? ? ………8 分 3 3 2 3 3 4 1 即 BF ? BC ,点 F 在靠近点 B 的四等分点处, 4
此时 AF ? a ?
2 1 1 2 21 1 b ? a ? a ?b ? b ? 2 16 4 4

………10 分

【解析】略

14



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