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第1章1.2.1同步训练及解析


人教 A 高中数学必修 5 同步训练
1.某次测量中,若 A 在 B 的南偏东 40° ,则 B 在 A 的( ) A.北偏西 40° B.北偏东 50° C.北偏西 50° D.南偏西 50° 答案:A 2.已知 A、B 两地间的距离为 10 km,B、C 两地间的距离为 20 km,现测得∠ABC= 120° ,则 A、C 两地间的距离为( ) A.10 km B.10 3 km C.10 5 km D.10 7 km 解析:选 D.由余弦定理可知: AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos∠ABC. 又∵AB=10,BC=20,∠ABC=120° , 2 2 2 ∴AC =10 +20 -2×10×20×cos 120° =700. ∴AC=10 7. 3.在一座 20 m 高的观测台测得对面一水塔塔顶的仰角为 60° ,塔底的俯角为 45° ,观 测台底部与塔底在同一地平面,那么这座水塔的高度是________m. 解析:h=20+20tan 60° =20(1+ 3) m. 答案:20(1+ 3)

4. 如图, 一船以每小时 15 km 的速度向东航行, 船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60° , 行驶 4 h 后,船到达 C 处,看到这个灯塔在北偏东 15° .求此时船与灯塔间的距离. BC AC 解: = , sin∠BAC sin∠ABC 且∠BAC=30° ,AC=60, ∠ABC=180° -30° -105° =45° . ∴BC=30 2. 即船与灯塔间的距离为 30 2 km. 一、选择题 1.在某次测量中,在 A 处测得同一方向的 B 点的仰角为 60° ,C 点的俯角为 70° ,则∠ BAC 等于( ) A.10° B.50° C.120° D.130°

解析:选 D.如图,∠BAC 等于 A 观察 B 点的仰角与观察 C 点的俯角和,即 60° +70° =130° . 2.一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120° 夹角的方向航行,已知河水流速为 2 km/h,则经过 3 h,该船的实际航程为( )
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A.2 15 km C.2 21 km

B.6 km D.8 km

解析:选 B.v 实= 22+42-2×4×2×cos 60° =2 3. ∴实际航程=2 3× 3=6(km).故选 B. 3.

如图所示,D,C,B 在同一地平面的同一直线上,DC=10 m,从 D,C 两地测得 A 点 的仰角分别为 30° 和 45° ,则 A 点离地面的高度 AB 等于( ) A.10 m B.5 3 m C.5( 3-1) m D.5( 3+1) m 解析:选 D.在△ADC 中, 10· sin 135° AD= =10( 3+1)(m). sin 15° 在 Rt△ABD 中,AB=AD· sin 30° =5( 3+1)(m). 4.我舰在敌岛 A 处南偏西 50° 的 B 处,且 AB 距离为 12 海里,发现敌舰正离开岛沿北 偏西 10° 的方向以每小时 10 海里的速度航行,若我舰要用 2 小时追上敌舰,则速度大小为 ( ) A.28 海里/小时 B.14 海里/小时 C.14 2 海里/小时 D.20 海里/小时

解析: 选 B.如图, 设我舰在 C 处追上敌舰, 速度为 v, 则在△ABC 中, AC=10×2=20(海 里),AB=12 海里,∠BAC=120° , ∴BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos 120° =784, ∴BC=28 海里, ∴v=14 海里/小时. 5.台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动,离台风中心 30 千米内的 地区为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,则 B 城市处于危险区内的持续时间为( ) A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 解析:选 B.设 t 小时后,B 市处于危险区内, 则由余弦定理得: (20t)2+402-2×20t×40cos 45° ≤302. 化简得:4t2-8 2t+7≤0, 7 ∴t1+t2=2 2,t1· t2= . 4 2 从而|t1-t2|= ?t1+t2? -4t1t2=1.
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6.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点, 在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45° 、30° ,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙 两地连线所成的角为 120° ,甲、乙两地相距 500 米,则电视塔在这次测量中的高度是( ) A.100 2米 B.400 米 C.200 3米 D.500 米

解析:选 D.由题意画出示意图,设高 AB=h,在 Rt△ABC 中,由已知 BC=h,在 Rt △ABD 中,由已知 BD= 3h,在△BCD 中,由余弦定理 BD2=BC2+CD2-2BC· CD· cos∠ BCD,得 3h2=h2+5002+h· 500, 解之得 h=500(米),故选 D. 二、填空题 7.一树干被台风吹断,折断部分与残存树干成 30° 角,树干底部与树尖着地处相距 5 米,则树干原来的高度为________米. 答案:10+5 3 8.

如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站 C 的北 偏东 40° ,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的__________. 解析:由题意可知∠ACB=180° -40° -60° =80° .∵AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=50° , 从而所求为北偏西 10° . 答案:北偏西 10° 9.海上一观测站测得方位角 240° 的方向上有一艘停止待修的商船,在商船的正东方有 一艘海盗船正向它靠近,速度为每小时 90 海里.此时海盗船距观测站 10 7 海里,20 分钟 后测得海盗船距观测站 20 海里,再过________分钟,海盗船即可到达商船.

解析:如图,设开始时观测站、商船、海盗船分别位于 A、B、C 处,20 分钟后,海盗 船到达 D 处,在△ADC 中,AC=10 7,AD=20,CD=30,由余弦定理得 AD2+CD2-AC2 cos∠ADC= 2AD· CD 400+900-700 1 = = . 2 2×20×30 ∴∠ACD=60° ,在△ABD 中由已知得∠ABD=30° . ∠BAD=60° -30° =30° , 20 40 ∴BD=AD=20, ×60= (分钟). 90 3 40 答案: 3 三、解答题
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10.如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达),在河岸边选定两点 C、D,测得 CD= 1000 米,∠ACB=30° ,∠BCD=30° ,∠BDA=30° ,∠ADC=60° ,求 AB 的长. 解:由题意知△ACD 为正三角形, 所以 AC=CD=1000 米. 在△BCD 中,∠BDC=90° , CD 1000 2000 3 所以 BC= = = 米. 3 cos∠BCD cos 30° 在△ACB 中,AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos 30° 2 2000 2000 3 3 =10002+ -2×1000× × 3 3 2 1 =10002× , 3 1000 3 所以 AB= 米. 3

11.如图,地面上有一旗杆 OP,为了测得它的高度,在地面上选一基线 AB,测得 AB =20 m,在 A 处测得点 P 的仰角为 30° ,在 B 处测得点 P 的仰角为 45° ,同时可测得∠AOB =60° ,求旗杆的高度(结果保留 1 位小数). 解:设旗杆的高度为 h, 由题意,知∠OAP=30° ,∠OBP=45° . OP 在 Rt△AOP 中,OA= = 3h. tan 30° OP 在 Rt△BOP 中,OB= =h. tan 45° 在△AOB 中,由余弦定理, 得 AB2=OA2+OB2-2OA· OBcos 60° , 1 即 202=( 3h)2+h2-2 3h×h× . 2 400 解得 h2= ≈176.4. 4- 3 ∴h≈13(m). ∴旗杆的高度约为 13 m. 12.一商船行至索马里海域时,遭到海盗的追击,随即发出求救信号.正在该海域执行 护航任务的海军“黄山”舰在 A 处获悉后,即测出该商船在方位角为 45° 距离 10 海里的 C 处,并沿方位角为 105° 的方向,以 9 海里/时的速度航行.“黄山”舰立即以 21 海里/时的 速度前去营救.求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程.

解:如图所示,若“黄山”舰以最少时间在 B 处追上商船,则 A,B,C 构成一个三角 形. 设所需时间为 t 小时,
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则 AB=21t,BC=9t. 又已知 AC=10,依题意知,∠ACB=120° , 根据余弦定理,AB2=AC2+BC2-2· AC· BCcos∠ACB. ∴(21t)2=102+(9t)2-2×10×9tcos 120° , 2 2 ∴(21t) =100+81t +90t, 即 360t2-90t-100=0. 2 5 ∴t= 或 t=- (舍). 3 12 2 ∴AB=21× =14(海里). 3 2 即“黄山”舰需要用 小时靠近商船,共航行 14 海里. 3

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