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全国新课标卷文理科数学2012-2015试题分类汇编14解三角形


14 解三角形
1. (2012 新课标文科 17) (本小题满分 12 分) 已知 a ,b ,c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边, c ? 3a sin C ? c sin A . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a =2, ?ABC 的面积为 3 ,求 b , c . 【命题意图】本题主要考查正余弦定理应用,是简单题. 【解析】(Ⅰ)由 c ? 3a sin C ? c sin A 及正弦定理得

sA in C s ?i n Cs i n ? 1 由于 sin C ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? , 6 2 ? 又 0 ? A ? ? ,故 A ? . 3 1 (Ⅱ) ?ABC 的面积 S = bc sin A = 3 ,故 bc =4, 2 2 2 2 2 2 而 a ? b ? c ? 2bc cos A 故 c ? b =8,解得 b ? c =2.
1.(2012 新课标理科 17) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A , (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

3 sin A si C n ?

【解析】 (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2 。

2. ( 2013 新课标Ⅰ卷文科 10 )已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

23cos 2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 , c ? 6 ,则 b ? ( D )
(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 5

3. (2013新课标Ⅰ卷理科17) (本小题满分12分) 如图, 在△ABC中, ∠ABC=90° , AB= 3 , BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150° ,求 tan∠PBA 2

解. ( Ⅰ ) 由 已 知 得 , ∠ PBC=

60o , ∴ ∠ PBA=30o , 在 △ PBA 中 , 由 余 弦 定 理 得

1 1 7 7 ; PA2 = 3 ? ? 2 ? 3 ? cos 30o = ,∴PA= 4 2 4 2
( Ⅱ ) 设 ∠ PBA=

?

, 由 已 知 得 , PB= sin ? , 在 △ PBA 中 , 由 正 弦 定 理 得 ,

3 sin ? ? ,化简得, 3 cos ? ? 4sin ? , o sin150 sin(30o ? ? )
∴ tan ? =

3 3 ,∴ tan ?PBA = . 4 4

4. (2013 新课标卷Ⅱ文科 4) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=2, B= , C= , 则△ABC 的面积为(B) (A)2 +2 (B) +1 (C)2 -2 (D) -1

5. (2013 新课标卷Ⅱ理科 17) (本小题满分 12 分) △ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (Ⅰ )求 B ; (Ⅱ )若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

6. (2014 新课标卷Ⅰ理科 16)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2, 且 (2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为 7.(2014 新课标卷Ⅱ文科 17) (本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1, BC ? 3, CD ? DA ? 2 . (1)求 C 和 BD ; (2)求四边形 ABCD 的面积. .

3

7 解: (I)由题设及余弦定理得
2 2 2 BD ? BC ? CD ? 2

B ?C c C oD s

C

=13 ?12 cos C


A?B cD oA s


A

2 2 BD ? AB ? D 2A ? 2

? 5? 4 c o C s. ② 1 由①,②得 cos C ? ,故 C ? 600 , BD ? 7 。 2 (Ⅱ)四边形 ABCD 的面积 1 1 S ? AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C 2 2

1 1 ? ( ? 1? 2 ? ? 3 ? 2) sin 600 2 2

?2 3
8. (2014 新课标卷Ⅱ理科 4) 钝角三角形 ABC 的面积是 1 , AB=1, BC= 2 , 则 AC=( B

2

)

A. 5

B.

5

C. 2

D. 1

9. (2015 新课标 1 卷文科 17) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的 对边, sin B ? 2sin A sin C .
2

(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.

10. (2015 新课标 1 卷理科 16)在平面四边行 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=750, BC=2,则 AB 的取值范围是_________.

11、 (2015 新课标 II 卷文科 17) (本小题满分 12 分) ΔABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC. (I)求
sin ?B ; sin ?C

(II)若∠BAC=60° ,求∠B.
11 解: (Ⅰ)由正弦定理得

AD BD AD DC ? , ? . sin ?B sin ?BAD sin ?C sin ?CAD

因为 AD 平分 ?BAC , DB ? 2DC , 所以

sin ?B DC 1 ? ? . sin ?C BD 2

(Ⅱ)因为 ?C ? 1800 ? ? ?BAC ? ?B? , ?BAC ? 600 , 所以

sin ?C ? sin ? ?BAC ? ?B ? ?

3 1 cos ?B ? sin ?B. 2 2 3 , 即 ?B ? 300 。 3

由(Ⅰ)知 2sin ?B ? sin ?C, 所以 tan ?B ?

12.(2015 新课标Ⅱ卷理科 17)(本小题满分 12 分)
?ABC 中,D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC ,?ABD 是 ?ADC 面积的 2 倍。

(Ⅰ) 求

sin ?B sin ?C

(Ⅱ) 若 AD ? 1, DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长。 2



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