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2015年江苏省数学奥林匹克夏令营测试参考解答PDF版


2015 年江苏省数学奥林匹克夏令营测试卷 参考解答 一.填空题.本大题共 8 小题,每题 10 分,共 80 分. 1.函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2x 的最大值为 ▲ . 2.斜率为 2 的直线过抛物线 y 2 ? 4x 的焦点 F ,且与抛物线交于 A, B 两点,则线段 AB 的 长为 ▲ . x 3.设正实数 x, y, z 满足 xyz ? 1 ,

若 1 ? y ? 5 , 1 ? z ? 29 ,则 1 ? x ? y z ▲ . 4.用一定的方法来选择不超过 100 的正整数 n : 若 n ≤ 50 ,则选择 n 的概率为 p ;若 n ? 50 ,则选择 n 的概率为 4 p . 则选择到一个完全平方数 n 的概率为 ▲ . ▲ . 5. 设正实数 x, y, z 满足 x 2 ? xy ? y 2 ? y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? x 2 ? 3 , 则 x 的最大值为 6.设 an ? ? n ?1 ? n ?? 1 n ?1 ? n ?1 ?? n ? n ?1 ? ,则 ? ak ? k ?1 2015 ▲ . 7.以 O 为球心的球面上有四个点 P, A, B, C ,且直线 PA, PB, PC 两两垂直,PA ? 1 ,PB ? 2 , PC ? 3 .则球心 O 到平面 ABC 的距离为 ▲ . , an 都是非负整数. 已知 f ?1? ? 4 , 8. 多项式 f ? x ? ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? f ? 5 ? ? 152 ,则 f ? 6 ? ? ? an x n , 其系数 a0, a1, a2, ▲ . 4 【1】 6 3 . 【5】 2 . 【2】 5 . 2 【3】 1 . 【4】 0.076 . 2 7 【6】 1 ? 2016 ? 2015 ? 1 ? 2015 ? 2 126 . 【7】 3 . 【8】 254 . 二.解答题.本大题共 4 小题,每小题 30 分,共 120 分. 9. 四边形 ABCD 内接于圆 ? ,I1, I 2 分别为 △ABC, △ABD 的内心, 直线 I1I 2 交圆 ? 于 E, F . 求 证: ?I1BE ? ?I 2 AF . 【析】如图,取 AB 中点 M ,则 MA ? MB ? MI1 ? MI 2 . 所以 A, B, I1, I 2 四点共圆. 设 P, Q 分别是 BI1, AI 2 与 ⊙O 的交点. 则 ?AQP ? ?ABP ? ?AI 2 F .于是 PQ∥EF . 所以 EQP ? QPF ,从而 ?I1BE ? ?I 2 AF . 10.设函数 f ? x ? ? sin x . 2 ? cos x (1)求 f ? x ? 的单调区间; (2)如果对任意 x ? 0 ,都有 f ? x ? ? ax ,求 a 的取值范围. 11. 已知 a, b, c 是△ ABC 的三边长, 且满足: x, y, z ? R , bz ? cy ? a , ay ? bx ? c , cx ? az ? b , x2 ? y2 ? z 2 ? 3 ,试判断△ ABC 的形状. 4 【解】由 bz ? cy ? a , cx ? az ? b , ay ? bx ? c 解得: x? b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c2 ? b2 ,y? ,z ? . 2bc

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