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2013全国高中数学联竞赛安徽赛区初赛试卷


2013 全国高中数学联竞赛安徽赛区初赛试卷
一、填空 1.函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 1| ? 4 ? x 的值域
2

2.方程 sin(2013?x) ? x
0 0

2013

的实根的个数
0

3.求值 sin12 sin 48 sin 54 = 4.设数列{ an }满足 a1 ? a2 ? 1, an ?

3an ?1 ? an ? 2 (n ? 3) ,则 a2013 =

5.设?ABC 的外接圆圆心P满足 AP ? 6.设复数 z=x+yi 满足 7.设 (1 ? x ? x )
2 150

z ?1 y 的实部与虚部之比为 3 ,其中 i 为虚数单位,a,b?R,则 最大值为 z?2 x
300 100

2 ( AB ? AC) ,则 cos?BAC= 5

? ? ck x k ,其中 c0 , c1 ,..., c300 为常数,则 ? c3k =
k ?0 k ?0

8.随机选取正 11 边形的 3 个不同顶点,它们构成锐角三角形的概率为 二、解答题 9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径. 10.求所有函数 f:R?R,使得对任意 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy 且 x 2 ? | x | ? f ( x) ? x 2 ? | x | 11.设 a,b,c 是不全为 0 的实数,求 F ?

ab ? bc ? c 2 的取值范围,a,b,c 满足什么条件时,F 取最大值与最小值. a 2 ? 2b 2 ? 3c 2

(1 ? an ?1 ) 2 (n ? 3) 12.设数列{ an }满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ? an ? 2
(1)求数列{ an }通项公式 (2)求证:对任意正整数 k, a2 k ?1 和

a2 k 都是整数. 2


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