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2016年j江苏南通市高考模拟试卷(7)含答案


2016 年高考模拟试卷(7)
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 已知集合 A = 0 ,2a ,B = ?a ,b? ,且 A ? B = ?3? ,则 b 的值为 ▲ . 2. 若复数 z = 1 ? mi ( i 为虚数单位)的模等于 1,则实数 m 的值

为 ▲ . 2?i 3.对某种花卉的开放花期追踪调查,调查情况如下: 花期(天) 个数 11~13 20 14~16 40 17~19 30 20~22 10 I ?1 While I < 5 I? I ? 2 S ? 2I ? 3 End While Print S
(第 5 题)

?

?

则这种花卉的平均花期为____▲____天. 4. 将编号为 1,2,3 的三个小球随机放入编号为 1,2,3 的三个盒子(每个 盒子中均有球) ,则编号为 2 的球不在编号为 2 的盒子中的概率为 ▲ . 5. 右图是某算法的伪代码,则输出的S的值是 ▲ . 6. 将函数 f ( x) ? 2sin 2 x ? π 的图象至少向右平移 ▲ 个单位,所得图象 6 恰关于坐标原点对称. 7. 已知正数 a,b 满足 a2 ? ab ?1 ? 0 ,则 8 a ? b 的最小值为 ▲ . 8. 如图,在 2 ? 4 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量 a , b , 则向量 a + b , a ? b 的夹角余弦值是 ▲ .
a

?

?

b
(第 8 题)

9. 已知各项均为正数的等比数列 {an } 中, 2a7 ? a8 = a9 .数列 {bn } 满足 bn = log 2 an ,且其前 10 项 为 45,则数列 {an } 的通项公式为 ▲ . 10.在棱长为 2 的正四面体 P ? ABC 中,M,N 分别为 PA,BC 的中点,点 D 是线段 PN 上一点,且
P D? 2 D N ,则三棱锥 P ? MBD 的体积为

▲ .

11.在等腰直角三角形 ABC 中,点 B 为直角顶点,点 E,F 在边 BC 上(E 在 F 的左侧) ,且 AB ? 3 , EF ? 1, tan ?EAF = 1 ,则线段 BE 长为 4 ▲ .

???? ??? ? 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A( ? t ,0)(t ? 0) , B (t ,0) ,点 C 满足 AC ? BC ? 8 ,且点 C 到
直线 l: 3x ? 4 y ? 24 ? 0 的最小距离为 9 ,则实数 t 的值是 5 13. 若存在 x ? R ,使得 a3 x ? 4≥2 x
2



. ▲ .

?x

( a ? 0 且 a ? 1 )成立,则实数 a 的取值范围是

14.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) ? 1 x ? m ? x ? 2m ? m (m ? 0) ,若对任意 2 3 3 的实数 x,都有 f ( x ? 1) ≤ f ( x) 成立,则 m 的最大值是 第 1 页,共 12 页 ▲ .

?

?

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时写出文字说明、证明过 ....... 程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin( A ? B) ? sin C ? 1 . (1)求 sin A cos B 的值; (2)若 a ? 2b ,求 sin A 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD, 底面 ABCD 为直角梯形, 且 AD∥BC ,
?BAD ? 90 ° , PA ? AB ,M,N 分别为 PC,PB 的中点, .

P

(1)求证: MN ∥ 平面 PAD ; (2)求证: PB ? 平面 ADMN . N A B C
(第 16 题)

M D

?ABC ? 120 ° 17. (本小题满分 14 分) 下图是一块平行四边形园地 ABCD, 经测量, AB ? 20 m, BC ? 10 m, . 拟

过线段 AB 上一点 E 设计一条直路 EF(点 F 在四边形 ABCD 的边上,不计路的宽度) ,将该园地分为面 积之比为 3:1 的左、右两部分分别种植不同花卉.设 EB ? x ,EF ? y (单位:m) . (1)当点 F 与点 C 重合时,试确定点 E 的位置; (2)求 y 关于 x 的函数关系式; (3)请确定点 E,F 的位置, A E ·
(第 17 题)
2 y2 18. (本小题满分 16 分) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 E :x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 , 2 a b

D

C

B

2 在椭圆 E 上,射线 AO 与椭圆 E 的另一交点为 B ,点 P (?4t , t ) 在椭圆 E 内部,射线 AP , BP 与 点 A 1,
椭圆 E 的另一交点分别为 C , D . (1)求椭圆 E 的方程; (2)求证:直线 CD 的斜率为定值. O B 第 2 页,共 12 页 P C y A D x

?3 3?

(第 18 题)

19. (本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? 1 , a ? R . x (1)若 f ( x) 有极值,求 a 的取值范围; (2)若 f ( x) 有经过原点的切线,求 a 的取值范围及切线的条数,并说明理由.

20 . (本 小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的 各项 均为正 数,且对 任意不 小于 2 的正整数 n ,都 有

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ?an?1 ? kan ? tan 2 ? 1 (k,t 为常数)成立.
(1)若 k ? 1 , t ? 1 ,问:数列 {an } 是否为等差数列?并说明理由; 2 4 (2)若数列 {an } 是等比数列,求证:t ? 0,且 k ? 0 .

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 共 4 小题,请选定其中两小题 ,并在相应的答题区域内作答 .若多 ........ ............ 做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. (选修4-1:几何证明选讲)如图,C,D 是直径为 AB 的半圆上的两个不同的点, AC 与 BD 交于点

E ,点 F 在弦 BD 上,且△ACD∽△BCF,证明:△ABC∽△DFC.
D E A

C

F (第 21 题 A) F

B

B. (选修4-2:矩阵与变换)

? 1 2? 已知矩阵 A ? ? ? .求矩阵 A 的特征值和特征向量. ? ?1 4?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程)

在极坐标系中,两条曲线的极坐标方程分别为 ? ? 1 ,

? ? 2sin ? ? ? ,它们相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

?6 ?

D. (选修4-5:不等式选讲)

设 a1 , a 2 , a3 均为正数,且 a1 ? a2 ? a3 ? 1 ,求 1 ? 1 ? 1 的最小值. a1 a2 a3

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答 ,解答时应写出文字 .......... 说明、证明过程或演算步骤.

第 3 页,共 12 页

22.(本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,AB∥CD.若棱 AB,AD,

??? ? ???? 15 AP 两两垂直,长度分别为 1,2,2,且向量 PC 与 BD 夹角的余弦值为 . 15
(1)求 CD 的长度; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

P

A B
C

D

第 22 题图

23. (本小题满分 10 分)已知抛物线 C1 的方程为 y ? ax2 (a ? 0) ,F 是其焦点.圆 C 2 的方程为

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ,直线 l1 : y ? 2 x ? m ( m ? 0 )是 C1 、 C 2 的公切线.
(1)求 m 与 a 的值; (2)设 A 是 C1 上的一动点,以 A 为切点的 C1 的切线 l 交 y 轴于点 B,设 FM ? FA ? FB , 证明:点 M 在一定直线上.

第 23 题图 2016

年高考模拟试卷(7) 参考答案

南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题 1.3. 2. ? 2. 3.16. 4. 2 . 3 5.13. 6. π . 12 7.6. 8. ? 4 65 . 65

9. an ? 2n?1 . 【解析】设数列 {an } 的公比为 q ? q ? 0 ? ,由已知得 2a7 ? a 7q = a 7q2 ,解得 q ? 2 ,所 以 第 4 页,共 12 页

bn = log 2 a1 ? 2n ?1 ? log 2 a1 ? n ? 1 ,则其前 10 项和为 10 ? log2 a1 ? 1? ? ?1 ? 2 ? ? ? 10? ? 45 ,故 log2 a1 ? 0 ,

?

?

所以 an ? 2n?1 . 10. 2 【 . 解析】 正四面体 P ? ABC 的体积 V ? 1 ? 3 ? 2 6 ? 2 2 , 三棱锥 P ? MBD a1 ? 1 , 9 3 3 3 的体积为正四面体体积的 1 ,所以 VP ? MBD ? 2 . 11. 13 ? 1 . 【解析】设 BE ? x ,则 tan ?BAE = x , 6 3 2 9
x ?1 ? x x ? 1 3 ? 1 ,解得 x ? 13 ? 1 . 12.1. 【解析】设 C ( x , y) , 则 ,所以 tan ?EAF = 3 tan ?BAF = x ? 1 3 2 1? ?x 4 3 3 ???? ???? 2 2 AC ? BC ? x ? y ?2 t ? 8 ,所以点 C 的轨迹为以原点为圆心, 8 ? t 2 为半径的圆,故圆心到直线的距离

d ? 24 ? 9 ? 8 ? t 2 ,解得 t ? 1 (负舍) . 13. 0 , 29 ? ? ? 2 , ? ? ? . 【解析】两边取 2 为底的对数,则 ? 5 5 ?

?

1

?3x ? 4? log2 a≥x2 ? x , 即 x2 ? ?1 ? 3log2 a ? x ? 4log2 a≤0 , 所 以 ? ? ?1 ? 3log2 a ?2 ? 16log2 a≥0 , 整 理 得
2 9 ? log2 a ? ? 10log2 a ? 1 ≥0 ,即 log2 a≤ 1 或 log2 a≥1 ,则 0 ? a≤29 或 a≥2 .14. 1 . 【解析】当 x ≥ 0 时, 2 9

1

? x ? m,x≥ 2m ? 3 ? ? m 1 m 2 m m f (x) ? x? ? x? ? m ? ?? , ≤x ? 2m 在平面直角坐标系中画出 f (x)的图象,其至少向右平 2 3 3 3 3, ? 3 ?? x, 0≤x ? m ? 3 ?

?

?

移 2m 个单位可以满足恒小于或等于 f (x),又因为 f (x-1) ≤f (x),所以 2m≤1,得解. 二、解答题 15. (1)因为 A ? B ? C ? π , 所以 sin( A ? B) ? sin C , 从而 1 ? sin( A ? B) ? sin C
? sin( A ? B) ? sin( A ? B)

…… 2 分

? ? sin A cos B ? cos Asin B ? ? ?sin A cos B ? cos A sin B ?
? 2 sin A cos B ,

…… 4 分

故 sin A cos B ? 1 ; 2 (2)由 a ? 2b 及正弦定理得, sin A ? 2 sin B , 故 sin A cos B ? 2sin B cos B ? sin 2 B ? 1 , 2 且 sin A ? 2sin B≤1 ,所以 sin B≤ 1 , 2 又易得 a ? b ,从而 A ? B ,故 B ? 0 ,π ? ,即 2B ? 0 ,π ? , 6? 3? ? ? 所以 2 B ? π ,即 B ? π , 12 6 第 5 页,共 12 页

…… 6 分 …… 8 分

?

?

…… 12 分

此时 sin A ? 2sin π ? 2sin π ? π ? 2 ? sin π cos π ? cos π sin π ? 6 ? 2 .…… 14 分 12 4 6 4 6 4 6 2 16.(1)由 M,N 分别为 PC,PB 的中点,得 MN∥BC , 因为 BC∥AD ,故 MN∥AD , …… 2 分

?

? ?

?

又因为 MN ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 MN ∥ 平面 PAD ; (2)因为 N 是 PB 的中点, PA ? AB , 所以 AN ? PB . 因为 PA ? 底面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AD , 因为 ?BAD ? 90 ° ,即 BA ? AD , 又 PA ? AB ? A , PA ,AB ? 平面 PAB , 所以 AD ? 平面 PAB , 又 PB ? 平面 PAB ,故 PB ? AD ,
A N? A D ? A AN,AD ? 平面 ADMN , ,

…… 6 分

…… 8 分

…… 11 分

PB ? 平面 ADMN .
17. (1)当点 F 与点 C 重合时, 由题设知,S△BEC ? 1 S□ABCD, 4 于是 1 EB ? h ? 1 AB ? h ,其中 h 为平行四边形 AB 边上的高, 2 4 得 EB ? 1 AB ,即点 E 是 AB 的中点. 2 (2)因为点 E 在线段 AB 上,所以 0 ≤ x ≤ 20 . 当 10 ≤ x ≤ 20 时,由(1)知,点 F 在线段 BC 上, 因为 AB ? 20 m,BC ? 10 m, ?ABC ? 120 ° , 所以 S□ABCD ? AB ? BC ? sin ?ABC ? 20 ? 10 ? 3 ? 100 3 . 2 由S
△EBF

…… 14 分

……4 分

? 1 x ? BF ? sin120 ° ? 25 3 得 BF ? 100 , 2 x
? cos120 ? ? ? 2x ? 100 x
2 o

所以由余弦定理得 y ? EF ? x 2 ? 100 x 当 0 ≤ x ? 10 时,点 F 在线段 CD 上, 由S
四边形 EBCF

? x2 ?

10 000 ? 100 . x2

? 1 ? x ? CF ? ? 10 ? sin 60 ° ? 25 3 得 CF ? 10 ? x , 2

第 6 页,共 12 页

当 BE≥CF 时, EF ? 102 ? ? 2 x ? 10 ? ? 2 ? 10 ? ? 2 x ? 10 ? ? cos120o ,
2

当 BE ? CF 时, EF ? 102 ? ?10 ? 2 x ? ? 2 ? 10 ? ?10 ? 2 x ? ? cos 60o ,
2

化简均为 y ? EF ? 2 x2 ? 5x ? 25 .
?2 x 2 ? 5 x ? 25 , 0≤x ? 10 , ? 综上, y ? ? 10 000 2 ? 100 ,10 ≤ x ≤ 20 . ? x ? x2 ?

…… 10 分

(3)当 0 ≤ x ? 10 时, y ? 2 x2 ? 5x ? 25 ? 2

, ? ? ? 75 4
x?5 2
2

于是当 x ? 5 时, ymin ? 5 3 ,此时 CF ? 10 ? x ? 15 ; 2 2 当 10 ≤ x ≤ 20 时, y ? x 2 ? 10 000 ? 100 ≥ 2 x 2 ? 10000 ? 100 =10 3 ? 5 3 , x2 x2 故当 E 距 B 点 2.5m,F 距 C 点 7.5m 时,EF 最短,其长度为 5 3 m.
1 2 3 ? 3 ?1 b2 ? 2 , 1 ? 18. (1)易得 2 ,且 2 a2 a b2

…… 14 分

?? ??
2

2

解得 a 2 ? 1 , b2 ? 1 , 2
所以椭圆 E 的方程为 x 2 ? 2 y 2 ? 1 ;

……… 6 分

(2)设 P( x0,y0 ) , A( x1, y1 ) , B( x2, y2 ) , C ( x3, y3 ) , D( x4, y4 ) , 则 x0 ? 4 y0 ? 0 , x12 ? 2 y12 ? 1 , x22 ? 2 y22 ? 1 , ……… 8 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 又设 AP ? ?1 PC , BP ? ?2 PD ,其中 ?1,?2 ? R ,
(? ? 1) x0 ? x1 ? x3 ? 1 , ? ?1 ? 则? 代入椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 1 并整理得, ( ? ? 1) y ? y 0 1 ?y ? 1 , 3 ? ?1 ?

(?1 ? 1)2 ( x02 ? 2 y02 ) ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 2(?1 ? 1)( x0 x1 ? 2 y0 y1 ) ? ?12 ,
从而有 (?1 ? 1)( x02 ? 2 y02 ) ? 2( x0 x1 ? 2 y0 y1 ) ? ?1 ? 1 , ① ……… 12 分

同理可得, (?2 ?1)( x02 ? 2 y02 ) ? 2( x0 x2 ? 2 y0 y2 ) ? ?2 ?1, ② ①-②得, (?1 ? ?2 )( x02 ? 2 y02 ? 1) ? 0 , 因为 x02 ? 2 y02 ? 1 ,所以 ?1 ? ?2 , 第 7 页,共 12 页 ……… 14 分

从而 AB // CD ,故 kCD ? k AB ? 2 . 19. (1)易得 f ?( x) ? a ? 1 ? ax ? 1 ( x ? 0) , x x2 x2 若 a≤0 ,则 f ?( x) ? 0 ,从而 f ( x) 无极值;

……… 16 分 …… 2 分

若 a > 0,则当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 有极小值 f 1 . a a a 综上,a 的取值范围是 (0 ,? ?) . (2)设 P(x0,y0) 是经过原点的切线与函数 f ( x) 图象的切点, 则切线方程为 y ? a ln x0 ? 1 ? a ? 12 ( x ? x0 ) , x0 x0 x0 因为切线过点(0,0),于是 ?a ln x0 ? 1 ? ?a ? 1 ,即 2 ? a ?1 ? ln x0 ? , x0 x0 x0 因为 a ? 0 ,所以 2 ? x0 ? x0 ln x0 , a 设 g ( x) ? x ? x ln x ,则 g ?( x) ? 1 ? ln x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 , …… 8 分 …… 4 分

??

?

?

…… 6 分

x
g ?( x)

(0,1) + ↗

1 0 极大值 1

(1, ?? ) ↘

g(x)

故当 2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时,不存在切线; a 当 2 ? 1 或 2 ? 0 ,即 a ? 2 或 a<0 时,有且仅有一条切线, a a 当 0 ? 2 ? 1 ,即 a ? 2 时,存在两条切线, a …… 12 分

1) , x ? x ln x ? m 在(0,1)内一定有一解,其中 m ? 2 . 下证:对任意的 m ? (0 , a

? 证明 1 ? ln 1 ? m 在(0,1) 内有一解, x x ? 证明 1 ? ln t ? mt 在 t ? (1 ,? ?) 内有一解.
令 h(t ) ? mt ? 1 ? ln t , 则 h(1) ? m – 1 ? 0,
n(n ? 1) ? ? h(2n ) ? m ? 2n ? 1 ? n ? ln 2 ? m ? 2n ? 1 ? n ? m ? (1 ? 1) n ? 1 ? n ? m ?1 ? n ? ?1? n , 2 ? ? ?

这是关于 n 的二次函数,所以当 n 充分大时,一定取正值, 由介值定理知, h (t ) 在 (1,? ?) 内有一解,即证. …… 16 分

第 8 页,共 12 页

20. (1)当 k ? 1 , t ? 1 时, 2 4
a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ?1 ? 1 an ? 1 an 2 ? 1 2 4

? n≥2? , ? n≥3? ,

① ②

所以 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ?2 ? 1 an ?1 ? 1 an ?1 2 ? 1 2 4

① ? ②得, an ?1 ? 1 an ? 1 an ?1 ? 1 an 2 ? 1 an ?12 ? n≥3? , 2 2 4 4 即 ? an ? an?1 ?? an ? an?1 ? 2? ? 0 ? n≥3? , 因为数列 {an } 是正项数列,所以 an ? an ?1 ? 0 , 从而 an ? an ?1 ? 2 ? n≥3? , ①中,令 n ? 2 得, a1 ? 1 a2 ? 1 a2 2 ? 1 , 2 4 ③ …… 5 分 …… 3 分

若数列 {an } 是等差数列,则必有 a2 ? a1 ? 2 ,④ 由③④得, a1 ? 1 ? 5 (负值已舍) , 所以,当且仅当 a1 ? 1 ? 5 时,数列 {an } 是公差为 2 的等差数列; 否则,数列 {an } 不是等差数列; (2)因为 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an?1 ? kan ? tan2 ? 1 …… 7 分

? n≥2? , ? n≥3? ,

⑤ ⑥ ⑦

所以 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an?2 ? kan?1 ? tan?12 ? 1

⑤ ? ⑥得, an?1 ? kan ? kan?1 ? tan 2 ? tan?12 ? n≥3? ,

q ? 0? , 依题意,设 an ? a1qn?1 ? a1,
代入⑦得, t ? a1 q2 ? 1 qn?2 ? ?k (q ? 1) ? 1? ? 0 ? n≥3? , 若 q ? 1 ,则 1 ? 0 (矛盾) ,
2 ? ?t ? a1 ? q ? 1? q ? k (q ? 1) ? 1, 若 q ? 1 ,⑧中,令 n ? 3 ,4 得, ? 2 2 ? ?t ? a1 (q ? 1)q ? k (q ? 1) ? 1,

?

?



…… 10 分 …… 12 分

两式相减得, a1q ? q ? 1? (q ? 1)2 t ? 0 ,
q ? 0, 且q ? 1 , 因为 a1,

所以 t ? 0 , 此时 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an?1 ? kan ? ?1 ? 0 (n≥2) , 又因为数列 {an } 是正项数列,所以 k ? 0 ,即证. 第 9 页,共 12 页

…… 14 分

…… 16 分

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21A.因为△ACD∽△BCF, 所以 ? ACD ? ? BCF, 故 ? ACD ??ACF ? ? BCF ??ACF , 即 ? DCF ? ? BCE, 又 ? BDC ? ? BAC, 所以△ABC∽△DFC. B.矩阵 A 的特征多项式为 f ? ? ? ? ………10 分

? ?1
1

?2 ? ? ? ? 1?? ? ? 4 ? ? 2 ? ? 2 ? 5? ? 6 , ? ?4

令 f ? ? ? ? 0 ,则 ?1 ? 2 , ?2 ? 3 .
?2? 所以属于 ?1 ? 2 的一个特征向量为 ? ? , ?1 ? ?1? 属于 ?2 ? 3 的一个特征向量为 ? ? . ?1?

………5 分

………10 分

C.由 ? ? 1 得 x2 ? y 2 ? 1 , 又 ? ? 2sin ? ? ? ? 2 sin ? cos? ? cos ? sin ? ? cos? ? 3 sin ? , 6 6 6 即 x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 , 所以 AB 的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,原点 O 到 AB 的距离为 d ? 1 , 2 故 AB ? 2 1 ? 1 2 ………5 分

?

? ?

?

??

2

? 3.

………10 分

1 1 ? 1 ? a ? a ? a ≥3 3 a ? a ? a ? 3 3 1 ? 1 ? 1 ? 9 ,当且仅当 D.因为 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ?? 2 3? 1 2 3 a1 a2 a3 ? a1 a2 a3 ? 1 a1 a2 a3

a1 ? a2 ? a3 ? 1 时取得等号,即 1 ? 1 ? 1 的最小值为 9. 3 a1 a2 a3

………10 分

22.依题意,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz,
???? ??? ? 则 B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 设 DC =λ AB ,所以 C(λ,2,0), ??? ? ???? (1)从而 PC =(λ,2,-2), BD =(-1,2,0),

→ → ??? ? ???? PC · BD 4-λ 15 则 cos< PC , BD >= = 2 = , → → 15 λ + 8× 5 | PC |·| BD | 解得 λ=2,即 CD=2; 第 10 页,共 12 页 ………5 分

??? ? ???? (2)易得 PC =(2,2,-2), PD =(0,2,-2),

设平面 PCD 的法向量 n=(x,y,z),
??? ? ???? 则 n· PC =0,且 n· PD =0,

即 x+y-z=0,且 y-z=0, 所以 x=0,不妨取 y=z=1, 则平面 PCD 的一个法向量 n=(0,1,1),
??? ? 又易得 PB =(1,0,-2),

→ ??? ? PB ·n -2 10 故 cos< PB ,n>= = =- , → 5 2× 5 | PB |·|n| 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 10 . 5 ………10 分

23. (1)由已知,圆 C 2 : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 的圆心为 C 2 (0,?1) ,半径 r ? 由题设圆心到直线 l1 : y ? 2 x ? m 的距离 d ?

5,

|1? m | 2 2 ? (?1) 2





|1? m | 2 ? (?1)
2 2

. ? 5 ,解得 m ? ?6 ( m ? 4 舍去)

设 l1 与抛物线的切点为 A0 ( x0 , y0 ) ,又 y ' ? 2ax ,

1 1 , y0 ? , a a 1 1 2 代入直线方程得 ? ? 6 ,解得 a ? , 6 a a 1 所以 m ? ?6 , a ? . ……5 分 6 1 2 3 (2) 由(1)知抛物线 C1 方程为 y ? x ,焦点 F (0, ) . 2 6 1 2 1 1 2 设 A( x1 , x1 ) ,由(1)知以 A 为切点的切线 l 的方程为 y ? x1 ( x ? x1 ) ? x1 . 6 3 6 1 2 令 x ? 0 ,得切线 l 交 y 轴的 B 点坐标为 (0,? x1 ) , 6
得 2ax 0 ? 2 ? x 0 ?

??? ? ??? ? 1 3 1 3 所以 FA ? ( x1, x12 ? ) , FB ? (0, ? x12 ? ) , 6 2 6 2 ???? ? ??? ? ??? ? 所以 FM ? FA ? FB ? ( x1, ? 3) ,
因为 F 是定点,所以点 M 在定直线 y ? ?

3 上. 2

……10 分

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