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2013年湖北省高三理科数学分类汇编6:不等式


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湖北省 2013 届高三最新理科数学 (精选试题 16 套+2008-2012 五年湖北高考理科试题)分 类汇编 6:不等式
一、选择题 1 . (湖北省八市 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题)不等式组 ?

?( x ? y ? 3)( x ? y ) ≥ 0, 表示的平面区域是 ?0 ≤ x ≤ 4
( ) D.等腰梯形

A.矩形
【答案】D

B.三角形

C.直角梯形

2 . (2009 高考(湖北理))在“家电下乡”活动中,某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇,现有 4 辆甲型货

车和 8 辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400 元,可装洗衣机 20 台;每辆乙型货车运输费用 300 元,可装洗衣机 10 台.若每辆车至多只运一次,则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A.2000 元 B.2200 元 C.2400 元 D.2800 元 【答案】 B. 3 . (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月供题训练数学理试题 (三) (word 版) ) 已知 a,b 是实数,若|a+b| = |a|+|b|, 则 ( ) A.ab≥0 B.ab >0 C.ab<0 D.ab≤O 【答案】A

1 1.2 4 . (湖北省武汉市 2013 届高三第二次(4 月)调研考试数学(理)试题)已知 a =2 ,b =( 2 - )
则 a,b,c 的大小关系为 A.c< b < a B. c < a < b
5

-0.8

,c =21og52,


C, b < a <
C.



D. b < C.< a

【答案】A .( 湖 北 省 八 校 2013 届 高 三 第 二 次 联 考 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若 2 x ? 3 y ? 5 z ? 29 , 则 函 数

? ? 2 x ? 1 ? 3 y ? 4 ? 5z ? 6 的最大值为

( C. 2 30 D. 30



A. 5
6 【答案】C .( 2012

B.2 15

年 湖 北 高 考 试 题 ( 理 数 , word

解 析 版 )) 设 a, b, c, x, y, z 是 正 数 , 且

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 10 , x 2 ? y 2 ? z 2 ? 40 , ax ? by ? cz ? 20 ,则

a?b?c ? x? y?z


3 4



A.

1 4

B.

1 3
2

C.

1 2

D.

【答案】C【解析】已知 a

? b 2 ? c 2 ? 10, x 2 ? y 2 ? z 2 ? 40, ax ? by ? cz ? 20 ,
2

则 a ?b ?c
2 2

?

2

?? x ?

2

? y 2 ? z 2 ? ? ? ax ? by ? cz ? .
2 2

由柯西不等式得 a ? b ? c
2

?? x

2

? y 2 ? z 2 ? ? ? ax ? by ? cz ? ,
2

所以上述不等式取等号,一定有 a ? kx, b ? ky, c ? kz , 此时 a 2 ? b 2 ? c 2 ? k 2 x 2 ? y 2 ? z 2 ,即 10 ? 40k 2 ,解得 k ?

?

?

1 (舍去负值). 2

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所以由等比性质得

a +b ? c a 1 ? ?k? . x? y?z x 2

【点评】本题考查柯西不等式的应用.柯西不等式是考纲中的了解内容,考查一般难度并不大,但如果不 了解柯西不等式的结构,求解也有一定的困难.来年需注意绝对值不等式的求解与应用
7 . (湖北省浠水一中 2013 届高三理科数学模拟测试 ) 已知偶函数 y ? f ( x) ( x ? R ) 在区间 [0,3] 上单调递增,

在区间 [3, ??) 上单调递减,且满足 f (?4) ? f (1) ? 0 ,则不等式 x f ( x) ? 0 的解集是
3





A. (?4, ?1) C. (??, ?4)
【答案】

(1, 4) (?1, 0) (1, 4)
3

B. (??, ?4) D. (?4, ?1)

(?1,1) (3, ??) (0,1) (4, ??)

D . 解析 : x f ? x ? ? 0可知 : x ? 0时f ? x ? ? 0或x ? 0时f ? x ? ? 0 , 由偶函数 f ? x ?

图像可得 x 范围.
8 .( 湖 北 省 荆 州 市 2013 届 高 三 3 月 质 量 检 测 ( Ⅱ ) 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 平 面 点 集

A={(x,y)│(y-x)(y-1/x)≥0},B={(x,y)│0≤y≤

}, 则 A∩B 所 表 示 的 平 面 图 形 的 面 积 为 ( )

A.π /2
【答案】A

B.

C.

D.

9 ( .湖北省武汉市 2013 届高三 5 月模拟考试数学 (理) 试题) 已知 2 x

2

? 3 y 2 ? 6 z 2 ? a ? 0, x ? y ? z ? 2 ? a ? 0 ,
( C . )

则实数 a 的取值范围为 A. [1, 4] B. (??,1] ? [4, ??) D. (??,1) ? (4, ??)
【答案】A 10. (湖北省黄冈市 2013 届高三数学(理科)综合训练题 ) ( x ?

(1, 4)

a 8 ) ( a ? 0 )展开式中,中间项的系数为 70. x
( )

0 ? x ? y ? 1… 若实数 x、y 满足 ? 则 z=x+2y 的最小值是 x ? y … 0 ? ? x? a ?

A.-1
【答案】A 二、填空题

B.

1 2

C.5

D.1

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11. (2009 高考(湖北理))已知关于 x 的不等式 【答案】-2

ax ? 1 1 <0 的解集是 (??, ?1) (? , ??) .则 a ? __________. x ?1 2 1 a

【解析】由不等式判断可得 a≠0 且不等式等价于 a ( x ? 1)( x ? ) ? 0 由解集特点可得 a ? 0且

1 1 ? ? ? a ? ?2 a 2

?x ? 0 ? 12. (湖北省武汉市 2013 届高三 5 月供题训练数学理试题 (二) (word 版) ) 设 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 , ?x ? y ? 1 ?
并设满足该条件的点(x,y)所成的区域为 Ω ,则 (I)z=2x +y 的最大值是_______; (II)包含 Ω 的最小圆的方程为_______.
【答案】(1)5;(2) ( x ? 1)
2

? y2 ? 2
2

13 . ( 2008 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 理 科 数 学 试 题 及 答 案 - 湖 北 卷 ) 已 知函数 f(x)=x +2x+a,

f(bx)=9x2-6x+2,其中 x∈R,a,b 为常数,则方程 f(ax+b)=0 的解集为_____________.
【答案】 ?

? y ? x, ? 14 . ( 2010 年高考(湖北理) ) 已知 z ? 2 x ? y ,式中变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z 的最大值为 ? x ? 2, ?
__________. 【答案】 【答案】5 【解析】依题意,画出可行域(如图示),则对于目标函数 y=2x-z,当直线经过 A(2,-1)时,z 取到最大 值, Z max ? 5 .

?x ? 0 ? 15. (湖北省七市 2013 届高三 4 月联考数学(理)试题)点 P(x, y)在不等式组 ? x ? y ? 3 表示的平面区域 ?y ? x ?1 ?
内,若点 P(x,y)到直线 y=kx-1(k>0)的最大距离为 2 2 ,则 k=____.
【答案】 1 16 . ( 湖 北 省 黄 冈 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 x、、 y z ? (0, ??) , 且
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x2 1 ln 2 x ? ln 2 y ? ln 2 z ? ,则 的最大值为_________ . yz 3
【答案】答案: e
2 2 2

解析: (ln x ? ln y ? ln z )[2 ? (?1) ? (?1) ] ? (2ln x ? ln y ? ln z )
2 2 2 2

2

? x, y ? 0 ? 17. (湖北省黄冈市 2013 届高三 3 月份质量检测数学(理)试题)设 P 是不等式组 ? x ? y ? ?1 表示的平面区 ? x? y ?3 ?
域内的任意一点 , 向量 m ? (1,1) , n ? (2,1) , 若 OP ? ? m ? ? n ( ? , ? 为实数 ), 则 2? ? ? 的最大值为 ____.
【答案】

5

18. (2010 年高考(湖北理) )设 a ? 0, b ? 0, 称

2ab 为 a、b 的调和平均数,如图,C 为线段 AB 上的点,且 a?b

AC=a,CB=b,O 为 AB 的中点,以 AB 为直径作半圆,过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D,连结 OD,AD,BD,过点 C 做 OD 的垂线,垂足为 E,则图中线段 OD 的长度是 a,b 的算术平均数,线段__________的长度是 a,b 的几 何平均数,线段___________的长度是 a,b 的调和平均数.

【答案】 【答案】CD

CE

【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高,则由射影定理可得 CD 2 ? AC ? CB ,故 CD ? ab ,即 CD 长度为 a,b 的几 何平均数,将 OC= a ?
a?b a?b a?b a?b 代入 OD ? CE ? OC ? CD 可得 CE ? ? , CD ? ab , OD ? ab 2 2 2 a?b

故 OE ? OC 2 ? CE 2 ?
三、解答题

( a ? b) 2 2ab ,所以 ED=OD-OE= ,故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. 2(a ? b) a?b

19. (2010 年高考(湖北理) )为了在夏季降温和冬天了供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔

热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源 消耗费用 C(单位:万元)与隔热厚度 x(单位:cm)满足关系: C ( x) ?

k (0 ? x ? 10) ,若不建隔热层, 3x ? 5

每年能源消耗费用为 8 万元,设 f ( x) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (I)求 k 的值及 f ( x) 的表达式; (II)隔热层修建多厚时,总费用 f ( x) 达到最小,并求最小值.
【答案】本小题主要考查函数、导数等基础知识 ,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力 ,解:(I)

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设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x) ? 再由 C (0) ? 8, 得k ? 40,因此C ( x) ? 而建造费用为 C1 ( x) ? 6 x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为

k , 3x ? 5

40 , 3x ? 5

f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?
(II) f ' ( x) ? 6 ? 解得 x ? 5, x ? ?

40 800 ? 6x ? ? 6 x(0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5

2400 2400 , 令f ' ( x) ? 0, 即 ? 6, 2 (3 x ? 5) (3 x ? 5) 2
25 (舍去) 3
当 5 ? x ? 10时, f ' ( x) ? 0.

当 0 ? x ? 5 时, f ' ( x) ? 0,

故 x=5 是 f ( x) 的最小值点,对应的最小值为 f (5) ? 6 ? 5 ?

800 ? 70. 15 ? 5

当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元. 情况下,大桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/ 小时,研究表明;当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ? x ? 的表达式; (Ⅱ) 当 车 流 密 度 x 为 多 大 时 , 车 流 量 ( 单 位 时 间 内 通 过 桥 上 某 观 点 的 车 辆 数 , 单 位 : 辆 / 每 小 时) f ? x ? ? x.v ? x ? 可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时)
【答案】本小题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.解:(Ⅰ)

由题意:当 0 ? x ? 20时, v( x) ? 60 ;当 20 ? x ? 200时, 设v( x) ? ax ? b

1 ? a?? , ? ?200a ? b ? 0, ? 3 再由已知得 ? 解得 ? ?20a ? b ? 60, ?b ? 200 . ? 3 ?
0 ? x ? 20, ?60, ? 故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3 0 ? x ? 20, ?60 x, ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x) ? ? 1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3
当 0 ? x ? 20时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60×20=1200;
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1 1 x ? (200 ? x) 2 10000 x(200 ? x) ? [ ] ? 3 3 2 3 当且仅当 x ? 200 ? x ,即 x ? 100 时,等号成立. 10000 所以,当 x ? 100时, f ( x) 在区间 [20,200]上取得最大值 . 3 10000 综上,当 x ? 100 时, f ( x) 在区间[0,200]上取得最大值 ? 3333 . 3
当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

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