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专题八:指数 指数函数


指数, 指数,指数函数 本周重点: 本周重点:1,分数指数幂的掌握;2,指数函数的图象与性质. 本周难点: 本周难点:分数指数幂的运算及幂函数的简单性质. 本周内容: 本周内容: 一,基本概念 1.根式: 若 xn=a,则称 x 是 a 的 n 次方根, (1)当 n 为奇数时, (2)当 n 为偶数时, 又有: (1)当 n 为奇数时, (2)当 n 为偶数时,

2.分式指数幂:

(a>0, m,n∈N*, n>1)

(a>0, m,n∈N*, n>1) 3.指数运算法则: (1)aman=am+n 4.幂函数的图象: 幂函数不作为课本要求,但幂函数中很多个已经是我们学过的.而对于 ab=N 中,固定一个 数,另外两个数可以构成函数关系,而形如 y=xn 称为幂函数,而其中 y=x,y=x2,y=x3,y=x-1 (2)(am)n=amn (3)(ab)m=ambm 其中(a>0, b>0, m,n∈Q)

都是我们已经研究过的,而我们只再研究

, y=x0,

即可.这些函数的图象如下:

由图知:幂函数在第一象限都有图象,图象恒过(1,1)点,当 n>0 时图象是上升的(函数为增 函数),当 n<0 时,图象是下降的(函数是减函数)对于幂函数的研究就到这里. 5.指数函数: 函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数.对于底数 a,当 a≤0 时,指数 x 要受到很大限制,但这 些限制又很难确定,当 a=1 时,因为 1x=1,没有变化,没有太大的价值,所以限定 a>0 且 a≠1. 定义域:R 值域:(0,+∞) 单调性:a>1,在 R 上为增函数;0<a<1,在 R 上为减函数. 奇偶性:非奇非偶函数

图象: 指数函数我们高中阶段研究的第一个具体函数, 应该在我们研究函数一般要素和性质的基础 上对这些具体函数加以研究, 即研究一个函数从哪些方面进行研究, 以及如何与其他函数综合考 虑. 二,例题选讲 例 1.化简下列各式:

(1) (2)

(3)

解:(1)

.

(2) .

(3)

例 2.已知:

,求:

的值.

解:∵

,



,即 x+x-1=7,



,

∴ ∵ x2+x-2=(x+x-1)2-2=47,

,

∴ 原式=

.

例 3.已知:

,求:

的值.

解:选求定义域,即:

.





,



.

例 4.求函数 解:由 ,即

的定义域. ,

得 x2-4x+3≥0,即 x≥3 或 x≤1, ∴ 定义域:{x|x≤1 或 x≥3}. 例 5.已知:y=4x-32x+3 的值域为[1,7],求:x 的取值范围. 解:∵ 函数的值域为[1,7],∴ 1≤4x-32x+3≤7,



, ∴ x≤0 或 1≤x≤2.

例 6.判断函数: 解:∵ ax-1≠0, ∴ x≠0, 定义域:(-∞,0)∪(0,+∞),

的奇偶性.

, ∴ f(x)为奇函数. 又解:定义域:(-∞,0)∪(0,+∞),

, ∴ f(-x)=-f(x), ∴ f(x)为奇函数.

例 7.求证:y=2x 在 R 上是增函数. 证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,y1-y2= ∵ x1<x2,∴ x2-x1>0, ∵ 幂函数 y=xn(n>0)在(0,+∞)上为增函数, ∴ ∴ ∵ , , ,

∴ y1-y2<0,即 y1<y2, ∴ y=2x 在 R 上是增函数.

例 8.求函数

的单调区间.

解:本题中函数是由指数函数与二次函数复合而成,可由下列办法判断单调区间:

令 定义域为 R,二次函数的单调区间为(-∞,1],[1,+∞),则有:

由此得到

的单调增区间为(-∞,1], 单调减区间为[1,+∞).

三,课后练习

1.

( ).

A,

B,

C,

D,

2.若 a>1,b>0,且

,则 ab-a-b=( ).

A,

B,2 或-2

C,-2

D,2

3.a,b∈R,下列各式恒成立的是( ). A, C, B, D,

4.若函数 y=(a2-1)x 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( ). A, B,1<|a|<2 C, D,

5.已知:0<a<1,求:b=aa, c=ba, d=ab 的大小关系. 6.求函数 y=-4x+2x+2+1 的值域. 四,练习答案: 练习答案: 1. C 2.D 3.B 4.C

5. 解:b=aa

∵ 0<a<1, ∴ aa>a1>a2, ∴

, ∴ d<b<c.

6.解:y=-(2x)2+42x-4+5=-(2x-2)2+5 当 2x=2 即 x=1 时,ymax=5,∴ 值域:(-∞,5].


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