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高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)6.3 等比数列及其前n项和文档专练 文 新人教A版


§ 6.3 等比数列及其前 n 项和

1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数 列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q__表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1· qn 1.


3.等比中项 若 G2=a· b_(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· qn
-m

,(n,m∈N*).

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N*),则 ak· al=am· an.
?1? ?an? (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),?a ?,{a2 bn},?b ?仍是等比 n},{an· ? n? ? n?

数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq 当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其 公比为__qn__.

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足 an+1=qan(n∈N*,q 为常数)的数列{an}为等比数列. (2)G 为 a,b 的等比中项?G2=ab. (3)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列. ( × ( × ( × ) ) )
1

(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.

( ×

) )

(5)若{an}是等比数列,则 S1· S2· ?· Sk=0(k≥2,k∈N)的充要条件是 an+an+1=0. ( √

(6)设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则 Y(Y -X)=X(Z-X)恒成立. 2.(2013· 江西)等比数列 x,3x+3,6x+6,?的第四项等于 A.-24 答案 A 解析 由 x,3x+3,6x+6 成等比数列得,(3x+3)2=x(6x+6). 解得 x1=-3 或 x2=-1(不合题意,舍去). 故数列的第四项为-24. 3.(2012· 课标全国)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10 等于 A.7 答案 D
?a4+a7=a1q3+a1q6=2, ? 解析 方法一 由题意得? 4 5 2 9 ? ?a5a6=a1q ×a1q =a1q =-8,

( √ (

) )

B.0

C.12

D.24

(

)

B.5

C.-5

D.-7

? ?q3=-2, ?q3=-2, ? ∴? 或? ?a1=1 ? ?

1

?a1=-8,

∴a1+a10=a1(1+q9)=-7.

?a4+a7=2, ?a4=-2, ?a4=4, ? ? ? 方法二 由? 解得? 或? ?a5a6=a4a7=-8 ?a7=4 ?a7=-2. ? ? ?

? ?q3=-2, ?q3=-2, ? ∴? 或? ?a1=1 ? ?
∴a1+a10=a1(1+q9)=-7.

1

?a1=-8,

4.(2013· 北京)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=________;前 n 项和 Sn=________. 答案 2 2n 1-2


解析 设等比数列的公比为 q,由 a2+a4=20,a3+a5=40. 得 20q=40,且 a1q+a1q3=20,解之得 q=2,且 a1=2. a1?1-qn? n+1 因此 Sn= =2 -2. 1-q 5.(2012· 辽宁)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2 2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通 5=a10, 项公式 an=________. 答案 2n 解析 先判断数列的项是正数,再求出公比和首项.
2

?1 ? a2 5=a10>0,根据已知条件得 2 q+q =5,解得 q=2. ? ?
8 9 n 所以 a2 1q =a1q ,所以 a1=2,所以 an=2 .

题型一 等比数列的基本运算 例1 15 A. 2 (1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5 等于 ( 31 B. 4 33 C. 4 17 D. 2 )

(2)在等比数列{an}中,若 a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3=________. 思维启迪 利用等比数列的通项公式与前 n 项和公式列方程(组)计算. 答案 (1)B (2)4 或-4 a q· a q =1 ? ? 1 1 3 解析 (1)显然公比 q≠1,由题意得?a1?1-q ? , =7 ? 1 - q ? a =4 a =9 ? ? ? 1 ? 1 解得? 1 或? 1 (舍去), ? ? ?q=2 ?q=-3 1 4?1- 5? 2 a1?1-q5? 31 ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2
?a1q3-a1q=6 ? q 2 2 (2)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),则? 4 ,两式相除,得 2= ,即 2q 1+q 5 ?a1q -a1=15 ?
3

1 -5q+2=0,解得 q=2 或 q= . 2

? ? ? 1 ?a1=1 所以? 或? 1 ?q=2 ? ?q= ?
2

a =-16 .故 a3=4 或 a3=-4.

思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n, q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解. (1)在等比数列{an}中,a1=1,公比为 q,且|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于 ( A.9 B.10 C.11 D.12 ) (2)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q 等于( A.3 B.4 C.5 D.6
3

)

1 (3)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列{ }的前 5 an 项和为 15 A. 或 5 8 31 B. 或 5 16 31 C. 16 15 D. 8 ( )

答案 (1)C (2)B (3)C 解析 (1)∵a1=1, ∴am=a1a2a3a4a5=q· q2· q3· q4=q10, 即 am=a1· q10,∴m=11.故选 C.
?3S3=a4-2, ? (2)因为? ? ?3S2=a3-2

① ②

a4 ①-②得 3a3=a4-a3,即 4a3=a4,则 q= =4. a3 (3)若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1, 则 a1=0,不满足题意,故 q≠1. a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S3=S6 得 9× = ,解得 q=2. 1-q 1-q 1 1 - - - 故 an=a1qn 1=2n 1, =( )n 1. an 2 1 1 所以数列{ }是以 1 为首项,以 为公比的等比数列, an 2 1 1×[1-? ?5] 2 31 其前 5 项和为 S5= = . 1 16 1- 2 题型二 等比数列的性质及应用 例 2 (1)在等比数列 {an}中,各项均为正值,且 a6a10 + a3a5 =41, a4a8 =5,则 a4 +a8 =

________. S10 31 (2)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 = ,则公比 q=________. S5 32 思维启迪 利用等比数列的项的性质和前 n 项和的性质求解. 答案 (1) 51 1 (2)- 2

2 解析 (1)由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=a2 8,a3a5=a4, 2 得 a2 4+a8=41.因为 a4a8=5, 2 所以(a4+a8)2=a2 4+2a4a8+a8=41+2×5=51.

又 an>0,所以 a4+a8= 51. (2)由 S10-S5 S10 31 1 = ,a =-1 知公比 q≠1, =- . S5 32 1 S5 32
4

由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10-S5,S15-S10 成等比数列,且公比为 q5, 1 1 故 q5=- ,q=- . 32 2 思维升华 (1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性 质“若 m+n=p+q,则 am· an=ap· aq”,可以减少运算量,提高解题速度. (2)在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解 题时注意设而不求思想的运用. (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于 ( A.5 2 B.7 C.6 D.4 2 )

(2)记等比数列{an}的前 n 项积为 Tn(n∈N*),已知 am-1· am+1-2am=0,且 T2m-1=128,则 m 的值为 A.4 B.7 C.10 D.12 ( )

(3)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,且 S3=8,S6=7,则 a4+a5+?+a9=________. 答案 (1)A (2)A 7 (3)- 8

解析 (1)把 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 看成一个整体,则由题意,知它们分别是一个等比数列 的第 1 项, 第 4 项和第 7 项, 这里的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项.因为数列{an} 的各项均为正数,所以 a4a5a6= ?a1a2a3?· ?a7a8a9?= 5×10=5 2. (2)因为{an}是等比数列,所以 am-1am+1=a2 m, 又由题中 am-1am+1-2am=0,可知 am=2.
m 1 由等比数列的性质可知前(2m-1)项积为 T2m-1=a2 , m


即 22m 1=128,故 m=4.


(3)根据等比数列的性质,知 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列,即 8,7-8,S9-7 成等比数列, 1 1 7 所以(-1)2=8(S9-7).解得 S9=7 .所以 a4+a5+?+a9=S9-S3=7 -8=- . 8 8 8 题型三 等比数列的判定 例3 =n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式. 思维启迪 (1)由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1=n+1 转化成 an 与 an+1 的递推关系,再构造数列 {an-1}. (2)由 cn 求 an 再求 bn. (1)证明 ∵an+Sn=n, ① 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn

5

∴an+1+Sn+1=n+1. ②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, an+1-1 1 ∴ = ,∴{an-1}是等比数列. an-1 2 1 又 a1+a1=1,∴a1= , 2 1 1 ∵首项 c1=a1-1,∴c1=- ,公比 q= . 2 2 又 cn=an-1, 1 1 ∴{cn}是以- 为首项,以 为公比的等比数列. 2 2 (2)解 1? ?1?n-1 ?1?n 由(1)可知 cn=? ?-2?· ?2? =-?2? ,



1?n ∴an=cn+1=1-? ?2? . 1?n ? ?1?n-1? ∴当 n≥2 时,bn=an-an-1=1-? ?2? -?1-?2? ? 1?n-1 ?1?n ?1?n =? ?2? -?2? =?2? . 1?n 1 又 b1=a1= 代入上式也符合,∴bn=? ?2? . 2 思维升华 注意判断一个数列是等比数列的方法,另外第(2)问中要注意验证 n=1 时是否 符合 n≥2 时的通项公式,能合并的必须合并. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由 a1=1 及 Sn+1=4an+2,有 a1+a2=S2=4a1+2. ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
? ?Sn+1=4an+2, 又? ? ?Sn=4an-1+2,

① ②

①-②,得 an+1=4an-4an-1, 所以 an+1-2an=2(an-2an-1). ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1, 故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列. (2)解 由(1)知 bn=an+1-2an=3· 2n 1,


an+1 an 3 所以 n+1- n= , 2 4 2
6

an 1 3 故{ n}是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2 4 an 1 3 3n-1 - 所以 n= +(n-1)· = ,得 an=(3n-1)· 2n 2. 2 2 4 4

等比数列求和忽视公比 q 的范围致误

典例:(5 分)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3,?).则 q 的取值范围为 ________. 易错分析 本题易忽视 q 的范围,由于等比数列求和公式中分两种情况 q=1 和 q≠1,而 a1?1-qn? 本题未说明 q 的范围,求解时应分类讨论,而不能直接利用公式 Sn= . 1-q 解析 因为{an}为等比数列,Sn>0, 可以得到 a1=S1>0,q≠0, 当 q=1 时,Sn=na1>0; a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= >0, 1-q
? ?1-q<0, 1-qn 即 >0(n=1,2,3,?),上式等价于不等式组? (n=1,2,3,?), n 1-q ?1-q <0, ? ? ?1-q>0, 或? (n=1,2,3,?). n ?1-q >0, ?





解①式得 q>1,解②式,由于 n 可为奇数,可为偶数, 得-1<q<1. 综上,q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 答案 (-1,0)∪(0,+∞) 温馨提醒 在应用公式 Sn = a1?1-qn? a1-anq 或 Sn = 求和时,应注意公式的使用条件为 1-q 1-q

q≠1,而当 q=1 时,应按常数列求和,即 Sn=na1.因此,对含有字母参数的等比数列求和 时,应分 q=1 和 q≠1 两种情况进行讨论,体现了分类讨论思想.

方法与技巧 1.已知等比数列{an} 1 2 (1)数列{c· an}(c≠0),{|an|},{an },{ }也是等比数列. an
7

(2)a1an=a2an-1=?=aman-m+1. 2.判断数列为等比数列的方法 an+1 an (1)定义法: =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N*)?数列{an}是等比数列;也可用 =q(q an an-1 是不等于 0 的常数,n∈N*,n≥2)?数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只 是 n 的初始值不同.
* (2)等比中项法:a2 n+1=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N )?数列{an}是等比数列.

失误与防范 1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况. 2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊情形而导致解题失误.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1.(2012· 安徽)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a10 等于( A.4 答案 B 解析 利用等比数列的性质和通项公式求解. ∵a3· a11=16,∴a2 7=16. 又∵等比数列{an}的各项都是正数, ∴a7=4. 又∵a10=a7q3=4×23=25, ∴log2a10=5.故选 B. 2.等比数列{an}中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,则 an 等于 A.(-2) C.(-2)
n-1

)

B.5

C.6

D.7

(

)

B.-(-2)

n-1

n

D.-(-2)n

答案 A 解析 ∵|a1|=1,∴a1=1 或 a1=-1. ∵a5=-8a2=a2· q3,∴q3=-8,∴q=-2. 又 a5>a2,即 a2q3>a2,∴a2<0.

8

而 a2=a1q=a1· (-2)<0,∴a1=1. 故 an=a1· (-2)n 1=(-2)n 1.
- -

3.(2013· 课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S3=a2+10a1, a5=9, 则 a1 等于( 1 A. 3 答案 C 解析 设等比数列{an}的公比为 q, 由 S3=a2+10a1 得 a1+a2+a3=a2+10a1, 即 a3=9a1,q2=9, 1 又 a5=a1q4=9,所以 a1= . 9 1 B.- 3 1 C. 9 1 D.- 9

)

4.一个等比数列的前三项的积为 3,最后三项的积为 9,且所有项的积为 729,则该数列的项 数是 A.13 答案 B 解析 设该等比数列为{an},其前 n 项积为 Tn, 则由已知得 a1· a2· a3=3,an-2· an-1· an=9, (a1· an)3=3×9=33, ∴a1· an=3,又 Tn=a1· a2· ?· an-1· an, Tn=an· an-1· ?· a2· a1, ∴T2 an)n,即 7292=3n,∴n=12. n=(a1·
2 3 2 5.数列{an}中,已知对任意 n∈N*,a1+a2+a3+?+an=3n-1,则 a1 +a2 2+a3+?+an等于

( B.12 C.11 D.10

)

( A.(3n-1)2 C.9n-1 答案 B 解析 ∵a1+a2+?+an=3n-1,n∈N*, n≥2 时,a1+a2+?+an-1=3n 1-1,


)

1 B. (9n-1) 2 1 D. (3n-1) 4

∴当 n≥2 时,an=3n-3n 1=2· 3n 1,
- -

又 n=1 时,a1=2 适合上式,∴an=2· 3n 1,


故数列{a2 n}是首项为 4,公比为 9 的等比数列. 因此 4?1-9 2 2 a2 1+a2+?+an= 1-9
n

? 1 n = (9 -1). 2

9

二、填空题 6.等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比 q 为________. 答案 3 解析 由 a3=2S2+1,a4=2S3+1 得 a4-a3=2(S3-S2)=2a3, a4 ∴a4=3a3,∴q= =3. a3 7.(2012· 江西)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,则对任意的 n∈N*,都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=________. 答案 11 解析 利用“特殊值”法,确定公比. 由题意知 a3+a2-2a1=0,设公比为 q,则 a1(q2+q-2)=0. 由 q2+q-2=0 解得 q=-2 或 q=1(舍去), a1?1-q5? 1-?-2?5 则 S5= = =11. 3 1-q 8.设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和为 Sn, 若 Sn+1, Sn, Sn+2 成等差数列, 则 q 的值为________. 答案 -2 解析 由已知条件得 2Sn=Sn+1+Sn+2, an+2 即 2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即 =-2. an+1 三、解答题 9.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中,b1=1,b2+b3=a4,求{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
?a1+d=2 ? 则由已知得? .∴a1=0,d=2. ? ?a1+4d=8

∴an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q2=a4, ∵a4=6,∴q=2 或 q=-3. ∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. b1?1-qn? 1×?1-2n? n ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2 -1. 1-q 1-2 10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上,n∈N*. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列;

10

(2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn}的前 n 项和,求 Tn. 解 (1)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且 n∈N*), an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an,n>1, a2=3S1+1=3a1+1=3t+1, ∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列. (2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n, bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n 1+n,


Tn=c1+c2+?+cn=(40+1)+(41+2)+?+(4n 1+n)


=(1+4+42+?+4n 1)+(1+2+3+?+n)


4n-1 n?n+1? = + . 3 2 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟)
?1? 1.已知{an}是首项为 1 的等比数列,若 Sn 是{an}的前 n 项和,且 28S3=S6,则数列?a ?的前 4 ? n?

项和为 15 40 40 A. 或 4 B. 或 4 C. 8 27 27 答案 C 解析 设数列{an}的公比为 q. 当 q=1 时,由 a1=1,得 28S3=28×3=84. 而 S6=6,两者不相等,因此不合题意. 15 D. 8

(

)

28?1-q3? 1-q6 当 q≠1 时,由 28S3=S6 及首项为 1,得 = .解得 q=3.所以数列{an}的通项公 1-q 1-q 式为 an=3n 1.


?1? 1 1 1 40 所以数列?a ?的前 4 项和为 1+ + + = . 3 9 27 27 ? n?

2.(2013· 福建)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+?+am(n-1)+m,cn= am(n-1)+1· am(n-1)+2· ?· am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是 A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm 答案 C 解析 ∵bn=am(n-1)(q+q2+?+qm)
11

(

)

bn+1 amn?q+q2+?+qm? amn ∴ = = =qm(常数). bn am?n-1??q+q2+?+qm? am?n-1? bn+1-bn 不是常数. 又∵cn=(am(n-1))mq1
+2+?+m

=(am(n-1)q

m+1 2

)m,

cn+1 amn m ∴ =( ) =(qm)m=qm2(常数). cn am?n-1? cn+1-cn 不是常数. ∴选 C. 3.在数列{an}中,已知 a1=1,an=2(an-1+an-2+?+a2+a1) (n≥2,n∈N*),这个数列的通 项公式是______________________________________________________.
?1, n=1 ? 答案 an=? n-2 ?2×3 , n≥2 ?

解析 由已知 n≥2 时,an=2Sn-1 当 n≥3 时,an-1=2Sn-2 an ①-②整理得 =3 (n≥3), an-1
? n=1, ?1, ∴an=? n-2 ?2×3 , n≥2. ?

① ②

4.已知在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 y2-x2=1 上,数列{bn}中,点 1 (bn,Tn)在直线 y=- x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列. (1)解 由已知点 An 在 y2-x2=1 上知,an+1-an=1,

∴数列{an}是一个以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列, ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. 1 (2)证明 ∵点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上, 2 1 ∴Tn=- bn+1, 2 1 ∴Tn-1=- bn-1+1(n≥2), 2 1 1 ①②两式相减得 bn=- bn+ bn-1(n≥2), 2 2 3 1 1 ∴ bn= bn-1,∴bn= bn-1(n≥2). 2 2 3 1 2 令 n=1,得 b1=- b1+1,∴b1= , 2 3
12

① ②

2 1 ∴{bn}是一个以 为首项,以 为公比的等比数列. 3 3 3 5.(2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}不是 递减数列, 其前 n 项和为 Sn(n∈N*), 且 S3+a3, .. 2 S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn- (n∈N*),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. Sn 解 (1)设等比数列{an}的公比为 q, 因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列, 所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3, a5 1 于是 q2= = . a3 4 3 1 又{an}不是递减数列且 a1= ,所以 q=- . 2 2 故等比数列{an}的通项公式为 1 3 3 - ?n-1=(-1)n-1· n. an= ×? 2 ? 2? 2 1+ ,n为奇数, 1? ? 2 ? (2)由(1)得 S =1-?-2? =? 1 ?1-2 ,n为偶数.
n n n n

1

当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小, 3 所以 1<Sn≤S1= , 2 1 1 3 2 5 故 0<Sn- ≤S1- = - = . Sn S1 2 3 6 当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大, 3 所以 =S2≤Sn<1, 4 1 1 3 4 7 故 0>Sn- ≥S2- = - =- . Sn S2 4 3 12 综上,对于 n∈N*,总有- 7 1 5 ≤Sn- ≤ . 12 Sn 6

5 7 所以数列{Tn}最大项的值为 ,最小项的值为- . 6 12

13


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