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福建省厦门一中2015届高三高考前热身考试卷数学(理)


厦门一中 5 月热身训练理科数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题),第 II 卷第 21 题为选考题,其他题为必考题.本 试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区

域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s= 锥体体积公式 V=

1 ? ( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? ? n

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、已知全集 U ? R, 集合 A ? ?1,2,3,4,5? , B ? {x ? R | x ? 2} ,下图中阴影部分所表示的集 合为 A. {1} C. {1, 2} 2、下列命题正确的是 A.存在 x0∈R,使得 e
x0

B. {0,1} D. {0,1, 2}

A

B

? 0 的否定是:不存在 x0∈R,使得 e x0 ? 0 ;

2 2 B.存在 x0∈R,使得 x0 ?1 ? 0 的否定是:任意 x∈R,均有 x0 ?1 ? 0

C.若 x=3,则 x2-2x-3=0 的否命题是:若 x≠3,则 x2-2x-3≠0. D.若 p ? q 为假命题,则命题 p 与 q 必一真一假 3、已知平面 ? , ? 和直线 m ,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ; ⑤ ? // ? .为使 m ? ? ,应选择下面四个选项中的( A.③⑤ B.①⑤ C.①④ ) D.②⑤

4、直线 y=5 与 y ? ?1 在区间 ?0,

? 4? ? ? 上截曲线 y ? m sin x ? n (m ? 0, n ? 0) 所得的弦长 ? 2 ? ??


相等且不为零,则下列描述正确的是(

3 5 , n= 2 2 3 5 (C) m ? , n= 2 2
(A) m ?

(B) m ? 3, n ? 2 (D) m ? 3, n ? 2 )

5、如图 5,在△ABC 中,AB=3,AC=5,若 O 为△ABC 的外心,则 AO ? BC 的值是(( A.4 3 B. 8 C. 6 2 D.6 )

6、执行下面的框图,若输入的 N 是 6 ,则输出 p 的值是(
K= K+1


开始

输入 N

K=1,P=1

P=P*K

K<N?



输出 P

结束

A.120

B.720

C.1440

D.5040

7、 如图,设圆弧 x 2 ? y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 与两坐标轴正半轴围成的扇形区域为 M ,过圆弧 上一点 A 做该圆的切线与两坐标轴正半轴围成的三角形区域为 N .现随机在区域 N 内投一点

B ,若设点 B 落在
区域 M 内的概率为 P ,则 P 的最大值为( A. )

y
? 8 ? 4

1 4

B.

C.

1 2

D.

1



8、为调查某校学生喜欢数学课的人数比例,采用如下调查方法:

O

1

x

(1)在该校中随机抽取 100 名学生,并编号为 1,2,3,……,100; (2)在箱内放置两个白球和三个红球,让抽取的 100 名学生分别从箱中随机摸出一球,记住 其颜色并放回; (3)请下列两类学生举手:(ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生;(ⅱ)摸到红球且不喜欢 数学课的学生. 如果总共有 26 名学生举手,那么用概率与统计的知识估计,该校学生中喜欢数学课的人数比 例大约是 A.88% B. 90% C. 92% D.94%

x2 y2 9、已知 F2、F1 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左右焦点 F2 关于渐近线的对称点恰好落在以 a b F1 为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为 A.3 B. 3 C.2 D. 2

10、已知 f ( x) 与 g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0, f / ( x) g ( x) ? f ( x) g / ( x) ,且

f ( x) ? a x ? g ( x) (a ? 0 ,且
加,则前 k 项和大于 A.

? f (n) ? 4? ,在有穷数列 ? ? (n ? 1, 2,?10) 中,任意取前 k 项相 3 ? g (n) ?
) D.

3 5

15 的概率是( 16 4 2 B. C. 5 5

1 5

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11、 设常数 a ? R .若 ? x 2 ?

? ?

a? 7 ? 的二项展开式中 x 项的系数为-15,则 a ? _______. x?

5

12、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体,其三视图如右图所示,若图中圆的半径 为 1,等腰三角形的腰长为 5 ,则该几何体的体积是 .

13 、小明在做一道数学题目时发现:若复数 z1 ? cos ?1 ? i sin?1 , z2 ? cos ?2 ? i sin?2 , ,

z3 ? cos?3 ? i sin?3 ( 其 中 ?1, ?2 , ? ? R), 则 z1 ? z2 ? cos(?1 ? ?2 ) ? i sin(?1 +?2 ) , 3
z2 ? z3 ? cos(?2 ? ?3 ) ? i sin(?2 +?3 )
z1· z2· z3= 14、若函数 f ? x ? ? ln .
2014 ex ,则 ? e? x k ?1

, 根 据 上 面 的 结 论 , 可 以 提 出 猜 想 :

? ke ? f? ? =_______________ ? 2015 ?

15、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数: 1,1,2,3, 5,8,13,?其中从第三个数起,每一个数都等于他前而两个数的和.该数列是一个非常美 丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性.比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越 逼近黄金分割 0.6180339887?.人们称该数列{an}为“斐波那契数列”.若把该数列{an}的每 一项除以 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列 {bn} ,在数列 {bn} 中第 2014 项的值是 ___3_____

三、解答题:共 6 小题 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 (本题满分 13 分) 下图是预测到的某地 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空 气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 5 月 1 日至 5 月 13 日 中的某一天到达该市,并停留 2 天

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率; (Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望 (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

17、(本小题满分 13 分) 已 ( x ? R , A ? 0 , | ? |? 知 函 数

f ( x) ? 2 A cos 2 ( x ? ? ) ? A 6

?

? ), y ? f ( x) 的部分图像如图所示, P 、 Q 分别为该图像的最高点和最
2

低点,点 P 的坐标为 (1, A) . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及 ? 的值; (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1,0) , ?PRQ ?

2? ,求 的值和 A ?PRQ 的面积. 3

18、(本小题满分 13 分) 如图,在圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂线段

PD , D 为垂足.设 M 为线段 PD 的中点.
(Ⅰ)当点 P 在圆 O 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若圆 O 在点 P 处的切线与 x 轴交于点 N ,试判断直线 MN 与 轨迹 E 的位置关系.

y
P M O D

N x

19、(本题满分 13 分) 如图所示,在边长为 12 的正方形 ADD1 A1 中,点 B, C 在线段 AD 上,且 AB ? 3 , BC ? 4 , 作 BB1 ? AA1 ,分别交 A1 D1 , AD1 于点 B1 , P ,作 CC1 ? AA1 ,分别交 A1 D1 , AD1 于点 C1 ,Q , 将该正方形沿 BB1 , CC1 折叠,使得 DD1 与 AA1 重合,构成如图所示的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 . (1)求证: AB ? 平面 BCC1 B1 ; (2) 若点 E 为四边形 BCQP 内一动点 , 且二面角 E-AP-Q 的余弦值为
A B C P Q A1 B1 C1 D1 C A A1 B P Q C1 B1

3 ,求|BE|的最小值. 3

D

20、(本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? e x ? a( x ? 1) ( e 是自然对数的底数, e ? 2.71828 ? ),且 f ?(0) ? 0 . (Ⅰ)求实数 a 的值,并求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) , 对任意 x1 , x2 ? R( x1 ? x2 ) , 恒有 实数 m 的取值范围;

g ( x2 ) ? g ( x1 ) 求 ? m 成立. x2 ? x1

(Ⅲ)若正实数 ?1 , ? 2 满足 ?1 ? ?2 ? 1, x1 , x2 ? R( x1 ? x2 ) ,试证明:

f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ;并进一步判断:当正实数 ?1 , ?2 ,?, ?n 满足
?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? 1 (n ? N , n ? 2) ,且 x1 , x2 ,?, xn 是互不相等的实数时,不等式
f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n xn ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?n f ( xn ) 是否仍然成立.

21.本题有(1)、 (2)、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑,并将所选题号填入括号中. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 在直角坐标平面内,将每个点绕原点按逆时针方向旋转 45 ? 的变换 R 所对应的矩阵为 M ,将 每个点横、纵坐标分别变为原来的 2 倍的变换 T 所对应的矩阵为 N . (Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M ?1 ; (Ⅱ)求曲线 xy ? 1 先在变换 R 作用下,然后在变换 T 作用下得到的曲线方程.

(2)(本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在直角坐标平面内, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线 C

? ? x ? 1 ? t cos ? ? 6 的极坐标方程为 ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数). ? ? y ? ? 3 ? t sin ? 6 ?
(Ⅰ)分别求出曲线 C 和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 在曲线 C 上,且 P 到直线 l 的距离为 1,求满足这样条件的点 P 的个数.

(3)(本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? b ? 0 ,且 m ? a ?

1 . (a ? b)b

(Ⅰ)试利用基本不等式求 m 的最小值 t ; (Ⅱ)若实数 x, y , z 满足 x 2 ? 4 y 2 ? z 2 ? t ,求证: x ? 2 y ? z ? 3 .

理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、【答案】 A 解析:由图可以得到阴影部分表示的集合为 CA ( A ? B) ,

A ? B ={2,3,4,5},则 CA ( A ? B) ={1} 选 A
2、【答案】 C 解析:命题的否定和否命题的区别:对命题的否定只是否定命题的结论,而否命题,既否定假 设,又否定结论。 A 选项对命题的否定是: 存在 x0 ? R ,使得 e
x0

? 0;

B 选项对命题的否定是 : 存在 x0 ? R ,均有 xo 2 ? 1 ? 0; D 选项则命题 p 与 q 也可能都是假命题。 故选 C 3、【答案】 D 4、【答案】 D

解析:由 ? ?

?
2

T?

2?

?

得T ?

4?

?

? 4? ? ?0, ? ? ? 刚好为一个周期区间,由函数的周期性 所以 ?

可设直线 y=5 在点 x1 , x1 ?

? 2? 3? 截曲线的弦长与直线 y=-1 在点 x1 ? , x1 ? 截曲线的弦 ? ? ?

? ? m sin x1 ? n ? 5 ? ? 2 长相等可得到方程 ? 解得 n=2 ? 2 ? ?m sin ( x ? ) ? n ? ?1 1 ? 2 ? ?
又直线 y=5 截曲线的弦长与直线 y=-1 截曲线的弦长相等且不为 0,则可得 m>3. 故选 D 5、【答案】 B 6、【答案】 B 解析:执行完程序框图得到的最终结果是 P ? 6 ?120 ? 720 .故选 B 7、 【答案】 D 解析:由图像和三角形相关知识得到当所围三角形为等腰直角三角形,当切点 A 为等腰直角三 角形斜边中点时概率 P 最大。可求的此时等腰三角形边长为 2 ,N 面 积为 1 ; M 面积为 8、【答案】 B 解析:B 9、【答案】 C 解析:画出图形根据双曲线的性质和圆的有关知识可以得到

y

? ? ,P= 。故选 D. 4 4
1



O

1

x

e?

c 2a ? ? 2 ,故选 C.LIE a a

10、 【答案】 A 解析: f ( x) ? a x g ( x) 可知 f ( x ) , g ( x) 同号 由 f ( x ) ? a g ( x) 得
x

f ( x) ? ax g ( x)
n



f (1) f (?1) 5 ? ? g (1) g (?1) 2

得a ?

1 5 ? a 2

解得 a=

1 或 a=2 2

①a=

1 f ( n) ?1? ? an = ? ? 时, 2 g ( n) ?2?

可知

1 1 f (n) 是以首项为 ,公比为 的等比数列,则前 k 2 2 g (n)

项和为

1 1 (1 ? ( ) k ) 2 =1 ? ( 1 )k Sk ? 2 1 2 1? 2
② a=2 时,

令1 ? ( ) >
k

1 2

15 16

解得 K=5 所以前五项相加和才大于

15 16

f ( n) f (n) ? a n = 2n 可知 是以首项为 2 公比为 2 的等比数列则前 k 项和 g ( n) g (n)

Sk ?

15 2(1 ? 2 k ) k ?1 = 2 ? 2 显然 k=1 时 2> . 16 1? 2

联立①②得概率为

1 5 6 3 ? ? ? 。故选 A 10 10 10 5

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11、【答案】 -3
r 解析: 二项式展开式第 r 项为 Tr ?1 ? C5 ( x 2 )5? r ( ) r

a x

含 x 的项为 x10 ?3 r

令 10-3r=7 则 r=1 所

1 以 C5 ? a ? ?15

解得 a ? ?3

12、【答案】

4? 3

解析:由三视图可得原图形是由三菱锥和半球组成的几何体,由题可得半球的体积为

1 4 2? ? ? ?13 ? 2 3 3 2? 2? 4? + = 3 3 3
13、【答案】

三菱锥的体积为 ? ?12 ? 2 ?

1 3

2? 所以该几何体的体积为 3

cos ??1 ? ?2 ? ?3 ? ? i sin ??1 ? ?2 ? ?3 ? cos ??1 ? ?2 ? ?3 ? ? i sin ??1 ? ?2 ? ?3 ?

解析:运用推理

14、【答案】2014 解析: f (
2014 k ?1

ke ke2 ) = ln 2015 2015e ? ke

?f? ? ? 2015 ?
2014

? ke ?

=

? ln
k ?1

ke2 2015e ? ke

= ln

e 2e 3e 1007 e 1008e 2013e 2014e + ln + ln + ??+ ln + ln + ??+ ln + ln 2014 2013 2012 1008 1007 2 1
2 2 2 2

= ln e + ln e + ln e + ??+ ln e = 1007 ? ln e ? 2014
2

15、【答案】 3 解析:写出前几项数列的数,可以找出规律。

三、解答题:共 6 小题 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、 解: 设 Ai 表示事件“此人于 5 月 i 日到达该地”(i=1,2,?,13) 依据题意 P( Ai )=

1 , Ai ? Aj =?(i≠j) 13

(Ⅰ)设 B 表示事件“此人到达当日空气质量优良” P(B)=

6 13

????3 分

(Ⅱ)X 的所有可能取值为 0,1,2

5 4 P(X=1)= 13 13 4 P(X=2)= 13
P(X=0)= ∴X 的分布列为 X P 0 1 2

????6 分

5 13

4 13

4 13

??8 分

∴X 的数学期望为 E(X)=

12 13

????11 分

(Ⅲ)从 5 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 ????13 分 17、 解:(Ⅰ) f ( x) ? 2 Acos 2 ( ? x ? ? ) ? A ? A[2 cos 2 ( ? x ? ? ) ? 1] ? Acos(? x ? 2? ) . ?????2 分 6 6 3

? ? 所以 T ? 2? ? 6 .将 P(1, A) 代入得 cos(? ? 2? ) ? 1 ( | ? |? ),故 ? ? ? .?6 分 ? 2 6 3 3
(Ⅱ)设点 Q 的坐标为 ( x0 ,? A) ,由题意可知 ? x0 ? ? ? ? ,得 x0 ? 4 ,所以 Q(4,? A) . 3 3

连接 PQ , 则 PQ2 ? (4 ? 1) 2 ? (? A ? A) 2 ? 9 ? 4 A2 , ????????????8 分 又因为 RP ? A , RQ2 ? (4 ? 1) 2 ? (? A ? 0) 2 ? 9 ? A2 ????????????9 分 在 ?PRQ 中, ?PRQ ? 2? ,由余弦定理得: 3

cos ?PRQ ?

RP2 ? RQ2 ? PQ2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? 4 A2 ) 1 ? ?? . 2 2RP ? RQ 2 2A ? 9 ? A

解得 A2 ? 3 ,又 A ? 0 ,所以 A ? 3 .?????????????????11 分
S ?PRQ ? 1 2? 1 2? 1 3 3 3 ???13 分 RP ? RQ ? sin ? ? A ? 9 ? A2 sin ? ? 3 ? 12 ? ? 2 3 2 3 2 2 2

18、 解:(Ⅰ)设 M ( x, y) ,则 P( x, 2 y ) .? 点 P 在圆 x2 ? y 2 ? 4 上,? x2 ? (2 y)2 ? 4 , 即点 M 的轨迹 E 的方程为 x ? y 2 ? 1.????????????????4 分 4 (Ⅱ)解法一: (i) 当直线 PN 的斜率不存在时,直线 MN 的方程为 x ? 2 或 x ? ?2 .显然与轨迹 E 相切; (ii)当直线 PN 的斜率存在时,设 PN 的方程为 y ? kx ? t (k ? 0) , 因为直线 PN 与圆 O 相切,所以
2

|t | k ?1
2

2 2 ? 2 ,即 t ? 4k ? 4 ? 0 .??????7 分

又直线 MN 的斜率等于 k ,点 N 的坐标为 (? t , 0) . k 2 所以直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? t ) ,即 y ? 1 (kx ? t ) . ??????????9 分 2 k 2

1 ? y ? (kx ? t ), ? ? 2 由 得 (1 ? k 2 ) x2 ? 2ktx ? t 2 ? 4 ? 0 . ? 2 ? x ? y 2 ? 1, ? ?4

? ? ? (2kt )2 ? 4(1 ? k 2 )(t 2 ? 4) ? 4k 2 (t 2 ? 4k 2 ? 4) ? 0 .故直线 MN 与轨迹 E 相切.
综上(i)(ii)知,直线 MN 与轨迹 E 相切. ?????????????????13 分 解法二 :设 P( x0 , y0 ) ( x0 ? 0 ),则 x02 ? y02 ? 4 .??????????????5 分 (i)当 y0 ? 0 时,直线 MN 的方程为 x ? 2 或 x ? ?2 ,此时,直线 MN 与轨迹 E 相切; (ii)当 y 0 ? 0 时,直线 PN 的方程为 x0 ( x ? x0 ) ? y0 ( y ? y0 ) ? 0 ,即 x0 x ? y0 y ? 4 .

令 y ? 0 ,则 x ? 4 .? N ( 4 , 0) ,又点 M ( x0 , y0 ) , 2 x0 x0 所以直线 MN 的方程为 y ?

y0 4 2( x0 ? ) x0

(x ?

x 2 4 ,即 y ? ? 0 x ? .??????9 分 ) 2 y y x0 0 0

x 2 ? y ?? 0 x? , 由? 2 y0 y0 得 ( x02 ? y02 ) x2 ? 8x0 x ? 4 y02 ?16 ? 0 即 x2 ? 2x0 x ? y02 ? 4 ? 0 . ? ? x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0, ?

?? ? (2x0 )2 ? 4(? y02 ? 4) ? 4( x02 ? y02 ? 4) ? 0 .所以,直线 MN 与轨迹 E 相切.
综上(i)(ii)知,直线 MN 与轨迹 E 相切.?????????????????13 分

19、 解:(1)在正方形 ADD1 A1 中,因为 CD ? AD ? AB ? BC ? 5 , 所以三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面三角形 ABC 的边 AC ? 5 . 因为 AB ? 3 , BC ? 4 ,所以 AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ,所以 AB ? BC . 因为四边形 ADD1 A1 为正方形, AA1 ? BB1 ,所以 AB ? BB1 ,而 BC ? BB1 ? B , 所以 AB ? 平面 BCC1 B1 .----------- 4 分 (2) 因为 AB , BC , BB1 两两互相垂直. 以 B 为原点, 建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz , 则 A ? 0, 0, 3? , B ? 0, 0, 0 ? , C ? 4, 0, 0 ? , P ? 0, 3, 0 ? , Q ? 4, 7, 0 ? , 所以 AP ? ? 0,3, ?3? , AQ ? ? 4,7, ?3? , 设平面 PQA 的一个法向量为 n1 ? ( x , y , z ) .
uuur ? n1 ?AP ? 0 ?3 y ? 3z ? 0 ? 则由 ? uuuu ,即 ? 令 x ? ?1 , r ?4 x ? 7 y ? 3z ? 0 ? ? n1 ?AQ ? 0
A

??? ?

????

z
A1

y
B P Q C1 B1

? 则 y ? z ? 1 .所以 n ? (?1,1,1) .

x

C

??? ? ??? ? ?? ? 设点 E(m,n,0), 则AE=(m,n,3), PE=(m,n-3,0).设面EAP的法向量n2 =(x,y,z)

? ?mx+(n-3)y=0 ?? n ?n 3 得:m+2n-6=0 由? , 得n2 =(3-n,m,m) .由 cos? ? cos n1 , n2 ? 1 2 ? n n 3 mx+ny-3z=0 1 2 ?

所以|BE|的最小值为点 B 到线段: m+2n-6=0 的距离 20、

6 5 ------- 13 分 5

解:(Ⅰ)∵ f ?( x) ? e x ? a , f ?(0) ? 1 ? a ? 0 ,故 a ? 1 .???????????1 分 令 f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得 x ? 0 ;令 f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 得 x ? 0 . ??????3 分 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (0,??) ;单调递减区间为 (??,0) .??????4 分 (II)由

g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? m ( x1 ? x 2 ) 变形得: g ( x2 ) ? mx2 ? g ( x1 ) ? mx1 .?????5 分 x2 ? x1

令函数 F ( x) ? g ( x) ? m x,则 F ( x) 在 R 上单调递增. ???????????6 分

? F ?( x) ? g ?( x) ? m ? 0 即 m ? g ?( x) 在 R 上恒成立. ???????????7 分
而 g ?( x) ? f ?( x) ? f ?(? x) ? e x ? e ? x ? 2 ? 2 e x ? e ? x ? 2 ? 0 (当且仅当 x ? 0 时取“=”) 所以 m ? 0 .?????????????????????????????9 分 (Ⅲ)证明:不妨设 x1 ? x 2 ,由 ?1 ? ?2 ? 1 (?1 , ?2 ? (0,1)) 得:

f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? [?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 )]

? e ?1x1 ??2 x2 ? (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? 1 ? ?1 (e x1 ? x1 ? 1) ? ?2 (e x2 ? x2 ? 1) ? e ?1x1 ??2 x2 ? ?1e x1 ? ?2 e x2 ? e x1 (e ?1x1 ? x1 ??2 x2 ? ?1 ? ?2 e x2 ? x1 ) ? e x1 (e ??2 x1 ??2 x2 ? 1 ? ?2 ? ?2 e x2 ? x1 ) ? e x1 [e ?2 ( x2 ? x1 ) ? 1 ? ?2 ? ?2 e x2 ? x1 ]
其中 e x1 ? 0 ,故上式的符号由因式“ e ?2 ( x2 ? x1 ) ? 1 ? ?2 ? ?2 e x2 ? x1 ”的符号确定. 令 t ? x2 ? x1 ,则函数 ? (t ) ? e ?2t ? 1 ? ?2 ? ?2 e t (t ? 0) .

? ?(t ) ? ?2 e ? t ? ?2 et ? ?2 et [e (? ?1)t ? 1] ,其中 (?2 ? 1)t ? 0 ,得 e (? ?1)t ? 1 ? 0 ,故
2 2
2

? ?(t ) ? 0 .即 ? (t ) 在 (0,??) 上单调递减,且 ? (0) ? 0 .所以 ? (t ) ? 0 .
从而有 f (?1 x1 ? ?2 x2 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) 成立.

该不等式能更进一步推广: 已知 n ? N , n ? 2 , x1 , x2 ,?, xn 是互不相等的实数,若正实数 ?1 , ?2 ,?, ?n 满足

?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? 1 ,则 f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n xn ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?n f ( xn ) .
下面用数学归纳法加以证明: i)当 n ? 2 时,由(Ⅱ)证明可知上述不等式成立; ii)假设当 n ? k 时,上述不等式成立.即有:

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ?3 x3 ? ? ? ?k xk ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ?3 f ( x3 ) ? ? ? ?k f ( xk ) .
则当 n ? k ? 1 时,由 ?1 ? ?2 ? ? ? ?k ? ?k ?1 ? 1得: 是有:
k k 1 2 1 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ) . f( x1 ? x2 ? ? ? xk ) ? 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1

?k ?1 ?2 ? ??? ? 1 ,于 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1

?

?

?

?

?

?

在该不等式的两边同时乘以正数 1 ? ?k ?1 可得:
k 1 2 (1 ? ?k ?1 ) f ( x1 ? x2 ? ? ? xk ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?k f ( xk ) . 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1

?

?

?

在此不等式的两边同时加上 ?k ?1 f ( xk ?1 ) 又可得:

?k ?1 f ( xk ?1 ) ? (1 ? ?k ?1 ) f (

?k ?1 ?2 x1 ? x2 ? ? ? xk ) ? 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1

?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?k f ( xk ) ? ?k ?1 f ( xk ?1 ) .
该不等式的左边再利用 i)的结论可得:
k 2 f [?k ?1 xk ?1 ? (1 ? ?k ?1 )( 1 x1 ? x2 ? ? ? xk )] ? 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1

?

?

?

?k ?1 f ( xk ?1 ) ? (1 ? ?k ?1 ) f (

?k ?1 ?2 x1 ? x2 ? ? ? xk ) .整理即得: 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1 1 ? ?k ?1

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?k xk ? ?k ?1 xk ?1 ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?k f ( xk ) ? ?k ?1 f ( xk ?1 ) .
所以,当 n ? k ? 1 时,上述不等式仍然成立. 综上,对 ?n ? N , n ? 2 上述不等式都成立.??????????????????14 分

21.
? ? 解:(Ⅰ)? M ?? ? ? ? 2 2 2 2 ?

? 2 2? ? ?, M ? 1 ,? M ?1 ? 1 ? 2 2 ? M ? 2 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2

2? ? 2 ? ? 2 ??? 2 2? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 2

2? ? 2 ? .?4 分 2? 2 ? ?

? 2 (Ⅱ)? N ? ? ?0
?

? ?1 ? 1? 0 ? ? ? 2 ? , NM ? ? ? ,M ? ? 2 ? 2? 2 ? ?1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

? 2

2?

? x? ? x ? y ?x ? 2 代入 xy ? 1 中得: y? 2 ? x? 2 ? 4 . ?? ?? ? ? y ? x ? y ? ? y ? ? x? ? y ? ?
? 2
故所求的曲线方程为: y 2 ? x 2 ? 4 .????????????????7 分

x? ? y ?

(2) 解:(Ⅰ)由 ? ? 4 cos? 得 ? 2 ? 4? cos? ,故曲线 C 的直角坐标方程为: x 2 ? y 2 ? 4 x , 即

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 ;由直线 l 的参数方程消去参数 t 得 y ? 3 ?

3 ( x ? 1) , 3

即 x ? 3 y ? 4 ? 0 .????????????????????????4 分 (Ⅱ)因为圆心 C (2,0) 到到直线 l 的距离为 d ?

2 ? 3 ?0 ? 4 1? 3

1 ? 1 , d 恰为圆 C 半径的 , 2

所以圆 C 上共有 3 个点到直线 l 的距离为 1.????????????7 分

(3)(本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知 a ? b ? 0 ,且 m ? a ?

1 . (a ? b)b

(Ⅰ)试利用基本不等式求 m 的最小值 t ; (Ⅱ)若实数 x, y , z 满足 x 2 ? 4 y 2 ? z 2 ? t ,求证: x ? 2 y ? z ? 3 . 解:(Ⅰ)由三个数的均值不等式得:

m ? (a ? b) ? b ?

1 1 ? 33 (a ? b)b ? ?3 (a ? b)b (a ? b)b
1 即 b ? 1, a ? 2 时取“=”号),故有 t ? 3 .??4 分 a?b

(当且仅当 a ? b ? b ?

(Ⅱ)? x ? y ? z ? 3 ,由柯西不等式得:

[ x 2 ? (2 y) 2 ? z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z) 2
(当且仅当

x 2y z 6 3 ? ? 即 x ? z ? , y ? 时取“=”号) 1 1 1 5 5

整理得: ( x ? 2 y ? z) 2 ? 9 ,即 x ? 2 y ? z ? 3 .???????????7 分


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