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安徽省马鞍山二中2013-2014学年高二上学期期末考试+数学理试题+Word版含答案


马鞍山市第二中学 2013—2014 学年度 第一学期期终素质测试
高二年级数学(理)试题 命题人:卢建军 审题人:张以虎

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ 卷(选择题

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10

小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的. (1)命题“若 q 则 p ”的否命题是 (A)若 q 则 ? p (B)若 ? q 则 p (C)若 ? q 则 ? p (D) 若 ?p 则 ?q

(2)在下列命题中,不是公理 的是 .. (A)平行于同一个平面的两个平面相互平行 (B)过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 (C)如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (3)方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为
2

(A)两椭圆的离心率 (C)一椭圆和一抛物线的离心率

(B)两抛物线的离心率 (D)一椭圆和一双曲线的离心率

2 (4)抛物线 y ? ax 的准线方程是 y ? 1 ,则 a 的值为

(A)

1 4

(B) ?

1 4

(C) 4

(D) ?4

(5) “直线 (m ? 2) x ? 3my ? 1 ? 0 与 (m ? 2) x ? (m ? 2) y ? 0 互相垂直”是“ m ? (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (6)如果直线 l 在平面 ? 外,那么一定有 (A) ?P ? l , P ? ? (B) ?P ? l , P ? ?
1

1 ”的 2

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(C) ?P ? l , P ? ?

(D) ?P ? l , P ? ?

(7)圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 3 绕直线 y ? kx ? 1 旋转一周所得的几何体的体积为 (A) 36? (B) 12? (C) 4 3? (D) 4?

(8) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (1, 0,1) 、 (1,1, 0) 、 (0,1,1) 、

(0,0,0) ,画该四面体三视图的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

(A)

(B)

(C)



D



( 9 ) 已 知 点 P 为 三 棱 锥 O? A B C 的 底 面 ABC 所 在 平 面 内 的 一 点 , 且

1 OP ? OA ? kOB ? OC ,则实数 k 的值为 2 1 1 (A) ? (B) (C) 1 2 2

(D)

3 2

(10)已知垂直竖在水平地面上相距 20 米的两根旗杆的高分别为 10 米和 15 米,地面上的动 点 P 到两旗杆顶点的仰角相等,则点 P 的轨迹是 (A)椭圆 (B)圆 (C)双曲线 (D)抛物线

第Ⅱ 卷(非选择题
(11) 已知椭圆

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷的相应位置.

x2 y 2 ? ? 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P 是椭圆内部的一 4 3 点,则 | PF 1 | ? | PF2 | 的取值范围为 ▲ .


(12)如图,四面体 ABCD 中, G 为 △ABC 的重心, BE ? 2 ED ,

{AB, AC, AD}











GE ?

2

▲ . (13)过点 (1, 0) 作倾斜角为

2? 的直线与 y 2 ? 4 x 交于 A、 B ,则 AB 的弦长为 ▲ . 3

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, P 是椭圆上任一点,点 M 的坐标 (14)设 F 1 、 F2 分别是椭圆 25 16
为 (6, 4) ,则 | PM | ? | PF1 | 的最大值为 ▲ . ( 15 ) 平 面 上 两 点 F1 , F2 满 足 | F 1F 2 |? 4 , 设 d 为 实 数 , 令 ? 表 示 平 面 上 满 足

| PF1 | ? | PF2 | ? d 的所有 P 点组成的图形,又令 C 为平面上以 F1 为圆心、 6 为半径
的圆.则下列结论中,其中正确的有 ▲ (写出所有正确结论的编号 ) . .. ①当 d ? 0 时, ? 为直线; ③当 d ? 2 时, ? 与圆 C 交于两点; ⑤ 当 d ? 4 时, ? 不存在. ②当 d ? 1 时, ? 为双曲线; ④当 d ? 4 时, ? 与圆 C 交于四点;

马鞍山市第二中学 2013—2014 学年度 第一学期期终素质测试
高二年级数学(理)答题卷

第Ⅰ 卷(选择题
一.选择题: 题 号 答 案 (1) (2) (3) (4) (5)

共 50 分)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

第Ⅱ 卷(非选择题
二.填空题: 题号 (11) (12)
3

共 100 分) (14) (15)

(13)

答案

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 12 分) 如图, 60 的二面角的棱上有 A 、 B 两点,直线 AC 、 BD 分别在这个二面角的两个半 平面内,且都垂直于 AB .已知 AB ? 2 , AC ? 3 , BD ? 4 ,求 CD 的长.

(17) (本小题满分 12 分)
2 2 已知命题 p : “方程 x ? y ? x ? y ? m ? 0 对应的曲线是圆” ,命题 q : “双曲线

. 若这两个命题中只有一个是真命题,求实数 m 的 mx2 ? y 2 ? 1的两条渐近线的夹角为 60 ” 取值范围.

(18) (本小题满分 12 分) 如图,已知直线 l : y ? 2 x ? 4 交抛物线 y ? 4 x 于 A 、 B 两点,试在抛物线 AOB 这段
2

4

曲线上求一点 P ,使 △ ABP 的面积最大,并求这个最大面积.

(19) (本小题满分 12 分) 已知直线 y ? ax ? 1 和双曲线 3x2 ? y 2 ? 1 相交于 A 、 B 两点. (Ⅰ )求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )求实数 a 的值,使得以 AB 为直径的圆过原点.

(20) (本小题满分 13 分)
5

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点,O 是坐标原点. 4 (Ⅰ )当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积;
已知 A, B, C 是椭圆 W : (Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

(21) (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD , PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? 4 ,底面 ABCD 为直角梯形,

?CDA ? ?BAD ? 90 , AB ? 2 , CD ? 1 , AD ? 2 , M , N 分别为 PD, PB 的中点,
平面 MCN 与 PA 交点为 Q . (Ⅰ)求 PQ 的长度; (Ⅱ)求截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值; (Ⅲ)求点 A 到平面 MCN 的距离.

马鞍山市第二中学 2013—2014 学年度 第一学期期终素质测试
高二年级数学(理)参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 题 号 答 案 (1) C (2) A (3) D (4) B (5) B (6) D (7) C (8) A (9) D (10) B

6

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 题号 答案 (11) (12) (13) (14) (15) ①②⑤

[2, 4)

?

1 1 3 AB ? AC ? AD 12 3 4

16 3

15

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16) (本小题满分 12 分) 如图, 60 的二面角的棱上有 A 、 B 两点,直线 AC 、 BD 分别在这个二面角的两个半 平面内, 且都垂直于 AB . 已知 AB ? 2 ,AC ? 3 ,BD ? 4 , 求 CD 的长. 解: CD ? CA ? AB ? BD ,

CD ? (CA ? AB ? BD) 2 ? CA ? AB ? BD ? 2(CA ? AB ? AB ? BD ? BD ? CA) ? CA ? AB ? BD ? 2 BD ? CA ? 9 ? 4 ? 16 ? 2 ? 4 ? 3 ? cos120 ? 17
所以 CD 的长为 17 . ?????????????12 分 (17) (本小题满分 12 分)
2 2 已知命题 p : “方程 x ? y ? x ? y ? m ? 0 对应的曲线是圆” ,命题 q : “双曲线
2 2 2 2 2 2

2

. 若这两个命题中只有一个是真命题,求实数 m 的 mx2 ? y 2 ? 1的两条渐近线的夹角为 60 ” 取值范围.
2 2 解:若 p 真,由 (?1) ? 1 ? 4m ? 0 得: m ?

1 . 2

若 q 真,由于渐近线方程为 y ? ? mx(m ? 0) ,

1 3 ,得: m ? 3 或 . 3 3 1 1 1 p 真 q 假时, m ? (??, ) ( , ) ; p 假 q 真时, m ? 3 . 3 3 2 1 1 1 所以 m ? (??, ) ( , ) {3} . 3 3 2
由题, m ? 3 或 ?????????????12 分 (18) (本小题满分 12 分) 如图,已知直线 l : y ? 2 x ? 4 交抛物线 y ? 4 x 于 A 、 B 两点,试在抛物线 AOB 这段
2

7

曲线上求一点 P ,使 △ ABP 的面积最大,并求这个最大面积. 解: ?

? y ? 2x ? 4 得: A(4, 4) 、 B(1, ?2) . 2 ? y ? 4x

故 | AB |? 3 5 . ?????????????4 分 设点 P(t 2 , 2t )(?1 ? t ? 2) ,则 P 到直线 l 的距离为:

d?

| 2t 2 ? 2t ? 4 | | 2(t ? 1)(t ? 2) | , ? 5 5

1 ? | AB | ?d ? 3 | (t ? 1)(t ? 2) | . 2 1 1 27 故 当 t? , 即 点 P ( ,1) 时 , △ ABP 的 面 积 最 大 为 . 2 4 4
所以 S△ABP ? ?????????????12 分 (亦可利用平行于直线 l 的抛物线的切线求出点 P ) (19) (本小题满分 12 分) 已知直线 y ? ax ? 1 和双曲线 3x2 ? y 2 ? 1 相交于 A 、 B 两点. (Ⅰ )求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )求实数 a 的值,使得以 AB 为直径的圆过原点. 解: ?

? y ? ax ? 1 2 2 得: (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0 . 2 2 3 x ? y ? 1 ?

(Ⅰ )由题, ? ? (?2a)2 ? 8(3 ? a2 ) ? 0 ,所以 a ? (? 6, 6) . ????????? 4 分 (Ⅱ )设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则有:

x1 ? x2 ?

2a ?2 , x1 x2 ? . 2 3? a 3 ? a2

由于以 AB 为直径的圆过原点,故 ?AOB ? 90 ,于是:

OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? (ax1 ?1)(ax2 ?1) ? (a2 ?1) x1x2 ? a( x1 ? x2 ) ?1
? (a 2 ? 1) ? ?2 2a ? a? ?1 ? 0 , 2 3? a 3 ? a2
8

解得 a ? 1 ,满足 a ? (? 6, 6) .
2

所以实数 a 的值为 1 或 ?1 . ???????????12 分 (20) (本小题满分 13 分)

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点,O 是坐标原点. 4 (Ⅰ )当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积;
已知 A, B, C 是椭圆 W : (Ⅱ)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解: (Ⅰ ) B(2, 0) ,由题, AC 、 OB 互相垂直平分. ∴ A(1,

1 3 3 ) 、 C (1, ? ) , SOABC ? | OB | ? | AC |? 3 . 2 2 2

?????????5 分 (Ⅱ)四边形 OABC 不可能是菱形,理由如下: ?????????6 分 设 AC 、 OB 的交点为 M ,则 M 为 AC 的中点, 设 A( x1 , y1 ) 、 C( x2 , y2 ) ,其中 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 0 且 y1 ? y2 , y1 ? y2 ? 0 .

? x12 y1 ? y2 ? y12 ? 1 2 ? y12 ? y2 y ?y 1 ?4 由? 2 ,作差得: 2 ? 2 ? 1 2 ?? . 2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 4 2 ? x2 ? y 2 ?1 ? 2 ?4 1 即 kOM ? k AC ? ? ? ?1 ,故对角线 AC 、 OB 不垂直, 4 因此四边形 OABC 不可能是菱形.
???????????13 分 (21) (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD , PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? 4 ,底面 ABCD 为直角梯形,

?CDA ? ?BAD ? 90 , AB ? 2 ,CD ? 1 , AD ? 2 , M , N
分别为 PD, PB 的中点,平面 MCN 与 PA 交点为 Q . (Ⅰ)求 PQ 的长度; (Ⅱ)求截面 MCN 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值; (Ⅲ)求点 A 到平面 MCN 的距离. 解:由题,可以 A 为坐标原点, AD, AB, AP 为 x, y, z 正半轴建 立空间直角坐标系,则有:
9

A(0, 0, 0) 、 D( 2,0,0) 、 B(0, 2, 0) 、 C ( 2,1,0) 、

2 , 0, 2) 、 N (0,1, 2) . 2 (Ⅰ)设 Q(0,0, a) ,由于 Q ?平面 MCN ,所以存在实数 ? , ? ,
P(0, 0, 4) 、 M (
使得 CQ ? ?CM ? ?CN ,即 (? 2, ?1, a) ? ? (?

2 , ?1, 2) ? ? (? 2, 0, 2) . 2

? ? 由 ?? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ,得: ? 1. ??

?

2

?? ? 1 ? ?

? ??1 ? ??

2

于是 a ? 2? ? 2? ? 3 , | PQ |? 1 . ???????????5 分 (Ⅱ)设平面 MCN 的法向量 n1 ? ( x, y,1) ,

? 2 2 ?n1 ? CM ? ( x, y,1) ? (? , ?1, 2) ? ? x? y?2?0 由? ,得 n1 ? ( 2,1,1) . 2 2 ?n ? CN ? ( x, y,1) ? (? 2, 0, 2) ? ? 2 x ? 2 ? 0 ? 1 由题, n2 ? (0,0,1) 为平面 ABCD 的法向量.
于是, cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 1 ? . | n1 | ? | n2 | 2
3 . 2

所 以 求 截 面 M C N与 底 面 A B C D 所 成 二 面 角 的 正 弦 值 为 ???????????10 分 (Ⅲ)设点 A 到平面 MCN 的距离为 d , 则d ?

| AN ? n1 | 3 ? . 2 | n1 |

???????????14 分 几何解法简要思路: (Ⅰ)设 PA 的中点为 E ,易证 CN∥DE , CN∥ 面 PAD ,故点 Q 满足 MQ∥DE ; (Ⅱ)即求面 QMN 与面 EMN 所成的角,即二面角 Q ? MN ? E ; (Ⅲ)点 A 到平面 MCN 的距离等于点 E 到平面 QMN 的距离的 3 倍.

10


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