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集合必修一知识点总结


一、集合的含义及其表示 1、一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合 集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素 元素。 集合 元素 集合的性质: (1) 集合的性质: )确定性 班级中成绩好的同学构成一个集合吗? ( 确定性: (2)无序性 )无序性: 班级位置调换一下,这个集合发生变化了吗? (3)互异性: 集合中任意两个元素是不相同的。 得:已知集合 A={

1,2,a},则 a 应满足什么条件? )互异性: 常用数集及记法: (1)自然数集 自然数集:记作 N (2)正整数集 正整数集:记作 N 或 N + 常用数集及记法: 自然数集 正整数集 (3)整数集 整数集:记作 Z (4)有理数集 有理数集:记作 Q(5)实数集 实数集:记作 R 整数集 有理数集 实数集 例:下列各种说法中,各自所表述的对象是否确定,为什么? (1)我们班的全体学生; (2)我们班的高个子学生; (3)地球上的四大洋; (4)方程 x2-1=0 的解; (5)不等式 2x-3>0 的解; (6)直角三角形; 2、集合的表示法(1)列举法 列举法:把集合中的元素列举在一个大括号里:{…} 列举法 (2)描述法 描述法:将集合的所有元素都具有的 性质(满足的条件)表示出来,写成{x| P(x)}的形式。 描述法 得:{x︱x 为中国的直辖市} (3)集合的分类 集合的分类:有限集与无限集 集合的分类 <1>有限集 有限集:含有有限个元素的集合。 有限集 <2>无限集 无限集:若一个集合不是有限集,就称此集合为无限集。 无限集
*

<3>空集 空集:不含任何元素的集合。记作 Φ,得: 空集 、子集 二、子集、全集、补集 1、子集的定义:得果集合 A 的任一个元素都在集合 B 中 则称集合 A 为集合 B 的子集,

?? A 记作:A ? B 或B ? A 特别的: A ? A 真子集的定义:得果 A ? B 并且 A ≠ B ,则称集合 A 为集合 B 的真子集。 真子集 2、补集 补集的定义:设 A 为 S 的子集,由 S 中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 S 的子集 A 的补集, 补集
记作: C S A ={x∣x ∈S 且 x ? A},得果集合 S 包含我们所要研究的各个集合,就把 S 称为全集。 某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不喜爱, 则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________人。 解:设两项运动都喜欢的人数为 x,画出韦恩得得到方程 15-x+x+10-x+8=30 x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒

典型例题: 典型例题: 1. 例

乓球运动的人数为 15-3=12(人) 。 解题后的思考: 解题后的思考:对于研究集合元素的个数问题常借助韦恩得来解决。 三、交集与并集的定义 交集与并集的定义 1、定义:一般地,由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的交集;记作:A∩B;由 所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素构成的集合,称为 A 与 B 的并集;记作:A∪B。 性质: 性质 (1) A ∩ B = B ∩ A,A ∩ B ? A,A ∩ B ? B (2)若 A ? B ,则 A ∩ B = A ) (3) A ∪ B = B ∪ A,A ? A ∪ B,B ? A ∪ B (4)若 B ? A, A ∪ B = A 若 (5) A ∪ CU A =U 则 归纳:1)交集 交集:两集合的公共元素构成集合。2)并集 并集:把两个集合合在一起,但要注意元素的互异性。 交集 并集 3)基本方法 基本方法:抽象的集合关系可用文恩得表示,实数集中的运算可在数轴上表示。 基本方法 注意点:空集是任何集合的子集;空集与任何集合的交集仍为空集。 注意点 例 2. 已知集合 A={x|x>1},集合 B={x|m≤x≤m+3} (1)当 m=-1 时,求 A∩B,A∪B; (2)若 B ? A,求 m 的取值范围。 分析: (2)已知集合的包含关系,求参数的取值范围,关键要分析是否包含分界点。 分析: (1)当 m=-1 时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥-1}. (2)若 B ? A,则 m>1,即 m 解: 的取值范围为(1,+∞) 。 要点:1、集合与元素的关系: 要点 文字语言 符号语言 属于 ∈ 不属于 ? 2. 集合间的基本关系:
1

表示 关系 相等 子集 真子集 空集 例 3、已知集合 、

文字语言 集合 A 等于集合 B 集合 A 是集合 B 的子集 集合 A 是集合 B 的真子集 空集

符号语言

A=B A? B A?B

A = x x 2 ? 2 x ? 8 = 0 , B = x x 2 + ax + a 2 ? 12 = 0 ,当 B ? A 时,求实数 a 取值范围。 2 2 解:由已知得 A = {? 2,4} , B 是关于 x 的方程 x + ax + a ? 12 = 0 的解集,因为 B ? A ,所以

{

}

{

φ



}

(3)若 B = {? 2,4}, 则由(1) (2)知 a = ?2,此时 ? > 0 符合题意;

2 2 (2)若 B = {4}, 则 4 + 4a + a ? 12 = 0 ,解得 a = ?2,此时 ? > 0舍去 ;

B = {? 2,}, {4}, {? 2,4}, φ 2 2 (1)若 B = {? 2}, 则 ( ?2) + a ( ?2) + a ? 12 = 0 ,解得 a = 4或a = ?2 ,当 a = 4时,恰有 ? = 0 ;

题后思考: 题后思考:①在本题的讨论中,当 B = {4} 时的真正含义是:集合 B 中的一元二次方程有两个相等的实根

(4)若 B = φ 时,由 ? < 0 解得 a > 4或a < ?4 .综上所述,所求实数 a 的取值范围是 a < ?4或a = ?2或a ≥ 4 .

x 1 = x 2 = 4 ;②当 B 为单元素集时,也可利用韦达定理求出 a 的值;
③在考虑子集的过程中容易遗漏空集的情况,事实上,我们应首先考虑空集。 例 4、已知

A = {x 2a ≤ x ≤ a + 3}, B = {x x < ?1或 x > 5}.若 A ∩ B = φ, a 的取值范围. 求

解: 1)若 A = φ ,由 A ∩ B = φ 知,此时 2a > a + 3,∴ a > 3 ; 2)若 A ≠ φ ,由 A ∩ B = φ , 得得得: ( (

? 2 a ≥ ?1 ? 1 ? ∴ ?a + 3 ≤ 5, 解得 ? ≤ a ≤ 2. 2 1 ? ? ? ?a ? ≤ a ≤ 2或 a > 3? ?2 a ≤ a + 3 2 ? ?. 综上所述, a 的取值范围是 ?

提分技巧
①关于集合的运算,一般应把各参与运算的集合化简到最简形式,再进行运算; ②出现交集为空集的情况,首先考虑集合中有没有空集; ③与不等式有关的集合运算中,多注意用数轴法表示; ④对于含参数的集合问题,在根据集合的互异性进行处理时,有时需要用到分类讨论、数形结合的思想。

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