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2007.6.18高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇)(数形结合)


高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇)
数形结合引言

以形解数

用数助形

课外思考

1

高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇) (数形结合)
数和形这两个基本概念,是中学数学的两块基石,且 在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可 以互

相转化、补充互助.数形结合就是通过数与形之间的 对应和转化来解决数学问题,具体来说就是在解题时,把 图形性质问题借助于数量关系的推演而具体量化,把数量 关系问题借助于几何背景而直观形象化,它兼有数的严谨 与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一 种重要的数学方法. 数形本是相倚依,焉然分作两边飞. 数缺形时少直觉,形缺数时难入微. 数形结合百般好,隔裂分家万事休. 几何代数统一体,永远联系莫分离. 2

思考一:以形助数 例 1.对于每个实数 x ,设 f ( x ) ? m in ? 4 x ? 1, x ? 2, ? 2 x ? 4 ? 求 f ( x ) 的最大值. 解:在同一坐标系下作下列直线: y ? 4 x ? 1, y ? x ? 2 , y ? ? 2 x ? 4 ,
由图象得
1 ? ?4 x ? 1 ( x ≤ 3 ) ? 1 2 ? f (x) ? ? x ? 2 ( ? x ≤ ) 3 3 ? 2 ? ??2 x ? 4 ( x ? ) 3 ?
例2

∵ f ( x ) 的图象是红线部分, ∴当 x ? 时, f ( x ) 的最大是
3 2 8 3
3

例 2.已知 a

是实数,关于 x 的二次方程 2 x ? a x ? b ? 0 的一个根在 ? 1 和 1 之间,另一 个根在 1 和 2 之间,试求 a ? 2 b 的最值.
和 b

分析:设二次函数 f ( x ) ? x 2 ? a x ? b 作出它的图象, 由题设条件得 f ( ? 1) ≥ 0 , f (1 ) ≤ 0 , f ( 2 ) ≥ 0
?1 ? a ? b ≥ 0 ? 即 ?1 ? a ? b ≤ 0 , ? 4 ? 2a ? b ≥ 0 ?

然后由线性规划的方法可得
( a ? 2 b ) m in ? ? 1, ( a ? 2 b ) m a x ? 5
4

例3

例 3(1996 年全国高中数学联赛题)
? ? ? 求实数 a 的取值范围,使得对于任意 ? ? ? 0 , ? ? 2?

,
1 8

恒有 ( x ?
分析:令 y

3 ? 2 sin ? co s ? ) ? ( x ? a sin ? ? a co s ? ) ≥
2 2

? x

,

?x? y ? 0 ? 则? 2 ? ? x ? ( ? 3 ? 2 s in ? c o s ? ) ? ? ?

a≥

7 2

或 a ≤

6
2

? y ? ( ? a s in ?

? a cos ? )? ≥

1 8

由此想到解析几何知识来求解,转化为 点 ( ? 3 ? 2 sin ? co s ? , ? a sin ? ? a co s ? ) 到直线 y 方大于 ,故原不等式可化为 ? 3 ? 2 sin ? co s ?
8 1

? x

的距离的平
1 2
5

? a sin ? ? a co s ? ≥

,

思考二:用数解形 几何问题用坐标法是典型的用数解形的例子, 所以这种例子是举不胜举的.这里我们来品味一道 平面几何问题. 例 4 .(2004 年全国高中数学竞赛题)在锐角 △ A B C 中, A B 上的高 C E 与 A C 上的高 B D 相交于点 H ,以 D E 为直径的圆分别交 A B 、 A C 于 F 、 G 两点, F G 与 A H 相交于点 K ,已知 B C ? 2 5 , B D ? 2 0 , B E ? 7 , 求 A K 的长.

6

课外训练: 1.(1984 年 美 国 中 学 生 竞 赛 题 ) 已 知
2

a,b

是正实数,方程

, x 2 ? 2 bx ? a ? 0 都有实数根,求 a ? b 的最小值. x ? ax ? 2 ? 0 2.(2001 年全国高中数学联赛题) ? 3? 2 求函数 y ? x ? x ? 3 x ? 2 的值域. 1, ? ? ? 2 , ? ? ? ? 2 ? 3.(1998 年全国高中数学联赛题) ? ? ? △ A B C 中 , ? C ? 90 , ? B ? 30 , A C ? 2 , M 是 A B 的 中 点 , 将 沿 C M 折起,使 A、 B 两点间的距离为 2 2 ,此时三棱锥 2 2 A ─ B C M 的体积等于_______. ? 3 4.(2004 年 IMO 中国国家队集训选拔赛题)设 ? X O Y ? 90 , P 为
△ ACM

6

内的一点,且 O P ? 1, ? X O P ? 30 ,过点 P 任意作一条直线 分别交射线 O X 、 O Y 于点 M 、 N , 求 O M ? O N ? M N 的最大值. 7 4 3 ? 1 ? 12
?XOY

?


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