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初高中数学衔接知识点专题


初高中数学衔接知识点专题
初中的数学与高中的知识点有密切的联系,学好数学对高考的总分影响很大!
★ 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 1.绝对值 [1]绝对值的代数意义: [2]绝对值的几何意义: [3]两个数的差的绝对值的几何意义: a ? b 表示 [4]两个绝对值不等式: | x |? a(a ? 0) ? 2.乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些

乘法公式: [1]平方差公式: [2]完全平方和公式: [3]完全平方差公式: 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: [公式 1] (a ? b ? c) ?
2

.即 | a |? 的距离. 的距离. ; | x |? a(a ? 0) ?





; ; .

[公式 2] [公式 3] 说明:上述公式均称为“乘法公式”. 3.根式

? a3 ? b3 (立方和公式) ? a 3 ? b3 (立方差公式)

[1]式子 a (a ? 0) 叫做二次根式,其性质如下: (1) ( a ) ?
2

;(2)

a2 ?

;(3)

ab ?

; (4)

b ? a



[2]平方根与算术平方根的概念: 中 a (a ? 0) 叫做 a 的算术平方根. [3]立方根的概念: 4.分式 分母(子)有理化

叫做 a 的平方根,记作 x ? ? a (a ? 0) ,其 叫做 a 的立方根,记为 x ? 3 a

把分母(子)中的根号化去,叫做分母(子)有理化.分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的 有理化因式,化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化去分 子中的根号的过程 【例题选讲】 例 3 已知 x ? 3x ? 1 ? 0 ,求 x ?
2

3

1 的值. x3

例 5 计算(没有特殊说明,本节中出现的字母均为正数): (1)

3 2? 3

(2)

(1 ? x) 2 ? (2 ? x) 2 ( x ? 1)

-1-

★ 专题二 因式分解 1.公式法 常用的乘法公式: [1]平方差公式: [2]完全平方和公式: [3]完全平方差公式: [4] (a ? b ? c) ?
2

; ; . (立方和公式) (立方差公式)

[5] a ? b ?
3 3

[6] a ? b ?
3 3

2.分组分解法 从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多 项式, ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用, 如 也没有公因式可以提取. 因此, 可以先将多项式分组处理. 这 种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组. 常见题型:(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式 3.十字相乘法 (1) x ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:①二次项系数是 1;②常数项是两个数之积;③ 一次项 系数是常数项的两个因数之和.
2

∵ x ? ( p ? q) x ? pq ? x ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q) ,
2 2

∴ x ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q) 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式.
2

(2)一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解
2

由 a1a2 x ? (a1c2 ? a2c1 ) x ? c1c2 ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 我们发现,二次项系数 a 分解成 a1a2 ,常数项 c
2

分解成 c1c2 ,把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a2 ? c2 ,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 ? a2c1 ,如果它正好
a1 c1

等于 ax ? bx ? c 的一次项系数 b ,那么 ax ? bx ? c 就可以分解成 (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ,其中 a1 , c1 位于上
2 2

一行, a2 , c2 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十 字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三 项式能否用十字相乘法分解. 4.其它因式分解的方法 其他常用的因式分解的方法: (1)配方法 (2)拆、添项法 【例题选讲】 例 1 (公式法)分解因式:(1) 3a b ? 81b ;(2) a ? ab
3 4 7 6

例 2 (分组分解法)分解因式: (1) ab(c ? d ) ? (a ? b )cd
2 2 2 2

(2) 2 x ? 4 xy ? 2 y ? 8 z
2 2

2

例 3 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) x ? 5 x ? 24
2

(2) x ? 2 x ? 15
2
2

(3) x ? xy ? 6 y
2

(4) ( x ? x) ? 8( x ? x) ? 12
2 2 2 2 2

例 4 (十字相乘法)把下列各式因式分解:(1) 12 x ? 5x ? 2 ;(2) 5 x ? 6 xy ? 8 y 说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解时,为提高速 度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用 加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.
2

例 5 (拆项法)分解因式 x ? 3x ? 4
3 2

-2-

★ 专题三 一元二次方程根与系数的关系 【要点回顾】 1.一元二次方程的根的判断式 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) ,用配方法将其变形为:
2


2

由于可以用 b ? 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把 b ? 4ac 叫做一元二次方程
2

ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的根的判别式,表示为: ? ? b2 ? 4ac
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) ,有 [1]当 Δ 0 时,方程有两个不相等的实数根: [2]当 Δ 0 时,方程有两个相等的实数根: [3]当 Δ 0 时,方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系
2

; ;

定理:如果一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的两个根为 x1 , x2 ,那么:

x1 ? x2 ?

, x1 x2 ?

说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现,所以通常把此定理称为”韦 达定理”.上述定理成立的前提是 ? ? 0 . 特别地,对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0,若 x1,x2 是其两根,由韦达定理可知 x1+x2=-p,x1·2=q,即 x p=-(x1+x2),q=x1·2, x 所以,方程 x2+px+q=0 可化为 x2-(x1+x2)x+x1·2=0,由于 x1,x2 是一元二次方程 x2+px+q=0 的两 x 根,所以,x1,x2 也是一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1·2=0.因此有 x 以两个数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1·2=0. x 【例题选讲】 例 3 若 x1 , x2 是方程 x ? 2 x ? 2007 ? 0 的两个根,试求下列各式的值:
2

(1) x1 ? x2 ;
2 2

(2)

1 1 ? ; x1 x2

(3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ;

(4) | x1 ? x2 | .

【巩固练习】 1.若 x1 , x2 是方程 2 x ? 6 x ? 3 ? 0 的两个根,则
2

A. 2

B. ?2

1 1 ? 的值为( x1 x2 1 C. 2

) D.

9 2

★ 专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数 【要点回顾】 1.平面直角坐标系 [1] 组成平面直角坐标系。 叫做 x 轴或横 轴, 叫做 y 轴或纵轴, x 轴与 y 轴统称坐标轴,他们的公共原点 o 称为直角坐标系的原点。 [2] 平面直角坐标系内的对称点: 对称点或对称直线方程 对称点的坐标

x轴
y轴
原点 点 ( a , b) 直线 x ? a 直线 y ? b 直线 y ? x 直线 y ? ?x
-3-

2.函数图象 [1]一次函数:

称 y 是 x 的一次函数,记为: y ? kx ? b (k、b 是常数,k≠0)

特别的,当 b =0 时,称 y 是 x 的正比例函数。 [2] 正比例函数的图象与性质:函数 y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是 的一条直线,当 时,图 象过原点及第一、第三象限,y 随 x 的增大而 ;当 时,图象过原点及第二、第四象限,y 随 x 的增大而 . [3] 一次函数的图象与性质:函数 y ? kx ? b (k、b 是常数,k≠0)的图象是过点(0,b)且与直线 y=kx 平行的 一条直线.设 y ? kx ? b (k≠0), 则当 [4]反比例函数的图象与性质:函数 y ? 时, 随 x 的增大而 y ; 当 时, y 随 x 的增大而 .

k (k≠0)是双曲线,当 x

时,图象在第一、第三象限,在每个象

限中,y 随 x 的增大而 ;当 时,图象在第二、第四象限.,在每个象限中,y 随 x 的增大 而 . 双曲线是轴对称图形,对称轴是直线 y ? x 与 y ? ?x ; 又是中心对称图形, 对称中心是原点. 例 3 如图,反比例函数 y ?

k 的图象与一次函数 y ? mx ? b 的图象交于 A(1 3) , B(n, 1) 两点. , ? x

(1)求反比例函数与一次函数的解析式; (2)根据图象回答:当 x 取何值时,反比例函数的值大于一次函数的值. 解: (1)? A(1 3) 在 y ? ,

y k 3 3 的图象上,?k ? 3 ,? y ? 又? B(n, 1) 在 y ? 的图象 ? A x x x ?3 ? m ? b 上,? n ? ?3 ,即 B(?3, 1) , ? 解得: m ? 1 , b ? 2 , 反比例函数的 ? O x B ??1 ? ?3m ? b, 3 解析式为 y ? ,一次函数的解析式为 y ? x ? 2 , 图(12) x (2)从图象上可知,当 x ? ?3 或 0 ? x ? 1 时,反比例函数图象在一次函数图象的上方,所以反比例函数

的值大于一次函数的值。 ★ 专题五 二次函数 【要点回顾】 1. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 问题[2] 函数 y=a(x+h)2+k 与 y=ax2 的图象之间存在怎样的关系?

由上面的结论,我们可以得到研究二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法:

b2 b2 b 2 b 2 ? 4ac b b 2 ? a( x ? ) ? 由于 y=ax +bx+c=a(x + x )+c=a(x + x + 2 )+c- , 所以,y= 4a 2a 4a 4a a a
2 2

ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y=ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的, 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质: [1]当 a>0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴为直 线 ;当 时,y 随着 x 的增大而 ;当 时,y 随着 x 的增大而 ;当 时,函数取最小值 . [2]当 a<0 时,函数 y=ax2+bx+c 图象开口方向 ;顶点坐标为 ,对称轴为直 线 ; 当 时, 随着 x 的增大而 y ; 当 时, 随着 x 的增大而 y ; 当 时, 函数取最大值 .

-4-

y

b x=- 2a

y

A (?

b 4ac ? b 2 , ) 2a 4a

O A (?

x

O

x

b 4ac ? b 2 b , ) x=- 2a 4a 2a 图 2.2-4 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借 图 2.2-3 助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题. 2.二次函数的三种表示方式 [1]二次函数的三种表示方式: (1) .一般式: ; (2) .顶点式: ; (3) .交点式: . 说明: 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法, 在选择把二次函数的关系式设成什么形式时, 可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式: ①给出三点坐标可利用一般式来求; ②给出两点,且其中一点为顶点时可利用顶点式来求. ③给出三点,其中两点为与 x 轴的两个交点 ( x1 ,0) . ( x 2 ,0) 时可利用交点式来求.

例 3 已知函数 y ? x , ? 2 ? x ? a ,其中 a ? ?2 ,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和 最小值时所对应的自变量 x 的值.
2

【巩固练习】 1.选择题: (1)把函数 y=-(x-1)2+4 的图象的顶点坐标是 ( ) (A) (-1,4) (B) (-1,-4) (C) (1,-4) (D) (1,4) (2)函数 y=-x2+4x+6 的最值情况是 ( ) (A)有最大值 6 (B)有最小值 6 (C)有最大值 10 (D)有最大值 2 (3)函数 y=2x2+4x-5 中,当-3≤x<2 时,则 y 值的取值范围是 ( ) (A)-3≤y≤1 (B)-7≤y≤1 (C)-7≤y≤11 (D)-7≤y<11 2.填空: (1)已知某二次函数的图象与 x 轴交于 A(-2,0),B(1,0),且过点 C(2,4) ,则该二次函数的表达 式为 . (2)已知某二次函数的图象过点(-1,0)(0,3)(1,4) , , ,则该函数的表达式为 . ★ 专题六 二次函数的最值问题 【要点回顾】 1.二次函数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 的最值.
2

二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况(当 a ? 0 时,函数在 x ? ? 无最大值;当 a ? 0 时,函数在 x ? ?

4ac ? b 2 b 处取得最小值 , 4a 2a

4ac ? b 2 b 处取得最大值 ,无最小值. 4a 2a

2.二次函数最大值或最小值的求法. 第一步确定 a 的符号,a>0 有最小值,a<0 有最大值; 第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值. 3.求二次函数在某一范围内的最值.
-5-

如: y ? ax ? bx ? c 在 m ? x ? n (其中 m ? n )的最值.
2

第一步:先通过配方,求出函数图象的对称轴: x ? x0 ; 第二步:讨论: [1]若 a ? 0 时求最小值或 a ? 0 时求最大值,需分三种情况讨论: ①对称轴小于 m 即 x0 ? m ,即对称轴在 m ? x? n 的左侧; ②对称轴 m ? x ? n ,即对称轴在 m ? x? n 的内部; 0 ③对称轴大于 n 即 x0 ? n ,即对称轴在 m ? x? n 的右侧。 [2] 若 a ? 0 时求最大值或 a ? 0 时求最小值,需分两种情况讨论:

m?n ,即对称轴在 m ? x ? n 的中点的左侧; 2 m?n ②对称轴 x0 ? ,即对称轴在 m ? x ? n 的中点的右侧; 2
①对称轴 x0 ?

【例题选讲】 例 1 求下列函数的最大值或最小值. (1) y ? 2 x ? 3x ? 5 ;
2

(2) y ? ? x ? 3x ? 4 .
2

例 2 当 1 ? x ? 2 时,求函数 y ? ? x ? x ? 1 的最大值和最小值.
2

例 3 当 x ? 0 时,求函数 y ? ? x(2 ? x) 的取值范围.

1 2 5 x ? x ? 的最小值(其中 t 为常数). 2 2 分析:由于 x 所给的范围随着 t 的变化而变化,所以需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 2 5 解:函数 y ? x ? x ? 的对称轴为 x ? 1 .画出其草图. 2 2 1 2 5 (1) 当对称轴在所给范围左侧.即 t ? 1时:当 x ? t 时, ymin ? t ? t ? ; 2 2 1 2 5 (2) 当对称轴在所给范围之间.即 t ? 1 ? t ? 1 ? 0 ? t ? 1 时: 当 x ? 1 时, ymin ? ?1 ? 1 ? ? ?3 ; 2 2 (3) 当 对 称 轴 在 所 给 范 围 右 侧 . 即 t ? 1 ? ? t ? 时 1 0 : 当 x ? t ?1 时 , 1 5 1 ymin ? (t ? 1)2 ? (t ? 1) ? ? t 2 ? 3 . 2 2 2
例 4 当 t ? x ? t ? 1时,求函数 y ?

-6-

?1 2 ? 2 t ? 3, t ? 0 ? 综上所述: y ? ? ?3, 0 ? t ? 1 ?1 5 ? t2 ? t ? ,t ? 1 2 ?2
【巩固练习】 1.抛物线 y ? x ? (m ? 4) x ? 2m ? 3 ,当 m = _____ 时,图象的顶点在 y 轴上;当 m = _____ 时,图象 的顶点在 x 轴上;当 m = _____ 时,图象过原点. 2.用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形,则其所围成的最大面积为 ________ .
2

3.设 a ? 0 ,当 ?1 ? x ? 1 时,函数 y ? ? x ? ax ? b ? 1 的最小值是 ?4 ,最大值是 0,求 a, b 的值.
2

4.已知函数 y ? x ? 2ax ? 1 在 ?1 ? x ? 2 上的最大值为 4,求 a 的值.
2

5.求关于 x 的二次函数 y ? x ? 2tx ? 1 在 ?1 ? x ? 1 上的最大值( t 为常数).
2

★ 专题七 不 等 式 【要点回顾】 1.一元二次不等式及其解法 [1]定义:形如
2 2

为关于 x 的一元二次不等式.

[2] 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) 与 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 及 一 元 二 次 方 程

ax2 ? bx ? c ? 0 的关系(简称:三个二次).
(ⅰ)一般地,一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解,步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象. ①如果图象与 x 轴有两个交点 ( x1 , 0), ( x2 , 0) ,此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根

x1 , x2 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断) .则

② 如 果 图 象 与 x 轴 只 有 一 个 交 点 (?

b , 0) , 此 时 对 应 的 一 元 二 次 方 程 有 两 个 相 等 的 实 数 根 2a
-7-

xx ? x2 ? ?

b (也可由根的判别式 ? ? 0 来判断) .则: 2a

③如果图象与 x 轴没有交点,此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式 ? ? 0 来判 断) .则:

(ⅱ)解一元二次不等式的步骤是: (1) 化二次项系数为正; (2) 若 二 次 三 项 式 能 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的 积 , 则 求 出 两 根 x1 , x2 . 那 么 “ ? 0 ” 型 的 解 为

x ? x1或x ? x2 (俗称两根之外);“ ? 0 ”型的解为 x1 ? x ? x2 (俗称两根之间);
(3) 否则,对二次三项式进行配方,变成 ax ? bx ? c ? a ( x ?
2

b 2 4ac ? b 2 ) ? ,结合完全平方式为非 2a 4a

负数的性质求解. 2.简单分式不等式的解法 解简单的分式不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应当注意分母不 为零. 3.含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为 ax ? b 的形式.

b ; a b [2]当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? ; a [3]当 a ? 0 时,不等式化为: 0 ? x ? b ; ① 若 b ? 0 ,则不等式的解是全体实数;② 若 b ? 0 ,则不等式无解.
[1]当 a ? 0 时,不等式的解为: x ? 【例题选讲】 例1 解下列不等式:(1) x ? x ? 6 ? 0
2

(2) ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 2)(2 x ? 1)

⑴ 解 法 一 : 原 不 等 式 可 以 化 为 : ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 , 于 是 : ?

?x ? 3 ? 0 或 ?x ? 2 ? 0

? x ? ?3 ? x ? ?3 ?x ? 3 ? 0 ?? 或? ? x ? ?3或x ? 2 所以,原不等式的解是 x ? ?3或x ? 2 . ? ?x ? 2 ?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 2 解法二:解相应的方程 x ? x ? 6 ? 0 得: x1 ? ?3 , x2 ? 2 ,所以原不等式的解是 x ? ?3或x ? 2 .
(2) 解法一:原不等式可化为: ? x ? 4 x ? 0 ,即 x ? 4 x ? 0 ? x( x ? 4) ? 0 于是:
2
2

?x ? 0 ?x ? 0 或? ? x ? 0或x ? 4 ,所以原不等式的解是 x ? 0或x ? 4 . ? ?x ? 4 ? 0 ?x ? 4 ? 0
解 法 二 : 原 不 等 式 可 化 为 : ?x ? 4x ? 0 , 即 x ? 4x ? 0 , 解 相 应 方 程 x ? 4x ? 0 , 得 x1 ? 0 , x2 ? 4 ,所以原不等式的解是 x ? 0或x ? 4 .
2 2 2

说明:解一元二次不等式,实际就是先解相应的一元二次方程,然后再根据二次函数的图象判断出不 等式的解.

-8-

● 各专题参考答案 ●
专题一数与式的运算参考答案 例 1 (1)解法 1:由 x ? 2 ? 0 ,得 x ? 2 ; ①若 x ? 2 ,不等式可变为 x ? 2 ? 1 ,即 x ? 3 ; ②若 x ? 2 ,不等式可变为 ?( x ? 2) ? 1 ,即 ? x ? 2 ? 1 , 解得: x ? 1 .综上所述,原不等式的解为 1 ? x ? 3 . 解法 2: x ? 2 表示 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离, 所以不等式 x ? 2 ? 1 的几何意义即 为 x 轴上坐标为 x 的点到坐标为 2 的点之间的距离小于 1,观察数轴可知坐标为 x 的点在坐标为 3 的点的 左侧,在坐标为 1 的点的右侧.所以原不等式的解为 1 ? x ? 3 . 解法 3: x ? 2 ? 1 ? ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 1 ? x ? 3 ,所以原不等式的解为 1 ? x ? 3 . (2)解法一:由 x ? 1 ? 0 ,得 x ? 1 ;由 x ? 3 ? 0 ,得 x ? 3 ; ①若 x ? 1, 不等式可变为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 , ?2 x ? 4 >4, 即 解得 x<0, x<1, 又 ∴x<0; ②若 1 ? x ? 2 , 不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 1>4,∴不存在满足条件的 x; ③若 x ? 3 ,不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ,即 2 x ? 4 >4, 解得 x>4.又 x≥3,∴x>4. 综上所述,原不等式的解为 x<0,或 x>4. 解法二:如图, x ? 1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|,即|PA|=|x-1|;|x- 3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|,即|PB|=|x-3|. 所以,不等式 x ? 1 ? x ? 3 >4 的几何意义即为|PA|+|PB|>4.由|AB|=2, P 可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧. 所以原不等式的解为 x<0,或 x>4.
2

|x-3| C 0 |x-1| A 1 B 3 D 4 x

x

12 1 2 1 1 2 2 2 2 2 图 1.1-1 例2 (1) 原式= [ x ? (? 2 x) ? ] ? ( x ) ? (? 2 x) ? ( ) ? 2 x (? 2) x ? 2 x ? ? 2 ? ? (? 2 x) 解: 3 3 3 3 8 2 2 1 ? x 4 ? 2 2 x 3? x 2? x? 3 3 9
说明:多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列.

1 3 1 3 1 3 1 3 m ? n 5 2 125 8 2 4 2 2 2 3 3 6 (3)原式= (a ? 4)(a ? 4a ? 4 ) ? (a ) ? 4 ? a ? 64
(2)原式= ( m) ? ( n) ? (4)原式= ( x ? y) ( x ? xy ? y ) ? [( x ? y)( x ? xy ? y )] ? ( x ? y ) ? x ? 2 x y ? y
2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 6 3 3 6

例 3 解:? x ? 3x ? 1 ? 0
2

?x ? 0 ? x ?

1 ? 3 x

1 2 1 1 1 ) ? ( x ? )[( x ? )2 ? 3] ? 3(32 ? 3) ? 18 2 x x x x 例 4 解:? a ? b ? c ? 0,? a ? b ? ?c, b ? c ? ?a, c ? a ? ?b
原式= ( x ? )( x ? 1 ?

a 2 ? b2 ? c2 b?c a?c a ? b a(?a) b(?b) c(?c) ? ? ? ?? ?b? ?c? bc ac ab abc bc ac ab ? a3 ? b3 ? (a ? b)[(a ? b)2 ? 3ab] ? ?c(c 2 ? 3ab) ? ?c3 ? 3abc 3abc ? a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ②,把②代入①得原式= ? ? ?3 abc 3(2 ? 3) 3(2 ? 3) ? ? 6?3 3 例 5 解: (1)原式= 22 ? 3 (2 ? 3)(2 ? 3)

?原式= a ?



(2)原式= | x ? 1| ? | x ? 2 |? ?

?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 2 x ? 3 ( x ? 2) ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 1 (1 ? x ? 2)

-9-

说明:注意性质 a ?| a | 的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时,要对字母的取值分类讨论.
2

a?b a 2b ? ab 2 ? (3)原式= ab ab
(4) 原式= 2 例 6 解: x ?

2x ? x ? x 2 ? 2 ? 22 x ? 2 x ? x x ? 2 2 x ? 3 2 x ? x x 2? 2

2 ? 3 (2 ? 3) 2 ? ? 7 ? 4 3, y ? 7 ? 4 3 ? x ? y ? 14, xy ? 1 22 ? 3 2? 3 2 2 2 2 原式= ( x ? y)( x ? xy ? y ) ? ( x ? y )[( x ? y ) ? 3xy ] ? 14(14 ? 3) ? 2702
说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代入运算较复杂时,可根据结论的结构特点, 倒推几步,再代入条件,有时整体代入可简化计算量. 【巩固练习】 1. ?4 ? x ? 3
4 4

2. ?
4 2

13 3 6
2 2 2

3. ?3 或 2
2 2

4. 3 ? 5 6. ?1? ? 3 , ? 2 ?

5. ? x ? y ? z ? 2 x y ? 2 x z ? 2 y z

x? y 4 3 , ? 3? , ? 4? b ? a 3 y

专题二因式分解答案 例 1 分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后,括号内出现 a ? b ,可看着是
6 6

(a ) ? (b ) 或 (a ) ? (b ) .
3 2 3 2
3

2 3
4

2 3

解:(1) 3a b ? 81b ? 3b(a ? 27b ) ? 3b(a ? 3b)(a ? 3ab ? 9b ) .
3 3 2 2

(2) a ? ab ? a(a ? b ) ? a(a ? b )(a ? b ) ? a(a ? b)(a ? ab ? b )(a ? b)(a ? ab ? b )
7 6 6 6 3 3 3 3 2 2 2 2

? a(a ? b)(a ? b)(a 2 ? ab ? b2 )(a 2 ? ab ? b2 )
例 2(1)分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因式. 解: ab(c ? d ) ? (a ? b )cd ? abc ? abd ? a cd ? b cd ? (abc ? a cd ) ? (b cd ? abd )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? ac(bc ? ad ) ? bd (bc ? ad ) ? (bc ? ad )(ac ? bd )
(2)分析:先将系数 2 提出后,得到 x ? 2 xy ? y ? 4 z ,其中前三项作为一组,它是一个完全平方式, 再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式.
2 2 2

解: 2 x ? 4 xy ? 2 y ? 8 z ? 2( x ? 2 xy ? y ? 4 z ) ? 2[( x ? y) ? (2 z ) ] ? 2( x ? y ? 2 z )( x ? y ? 2 z )
2 2 2 2 2 2 2 2

例 5 解: x ? 3x ? 4 ? ( x ? 1) ? (3x ? 3) ? ( x ? 1)( x ? x ? 1) ? 3( x ? 1)( x ? 1)
3 2 3 2 2

? ( x ? 1)[( x 2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)] ? ( x ? 1)( x 2 ? 4 x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2) 2
【巩固练习】 1. (1) (bc ? ad )(ac ? bd ) ; (2) ( x ? 4m ? 2n)( x ? 2n) ; (3) ( x ? 4 x ? 8)( x ? 4 x ? 8);
2 2

(4) ( x ? 1)( x ? 3)( x ? 7) ; (5) ( x ? 2 y) 2 ( x ? 2 y) . 28 2. ; 3 1 2 1 2 2 3. ( x ? x ? 1) ? ( x ? 3x ? 1) ? x ? 4 x ? x( x ? 4) 2 2 1 2 1 2 2 其他情况如下: ( x ? x ? 1) ? ( x ? x) ? x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1) ; 2 2 1 2 1 ( x ? 3x ? 1) ? ( x 2 ? x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 . 2 2 3 2 2 3 2 2 4. a ? a c ? b c ? abc ? b ? (a ? ab ? b )(a ? b ? c)

- 10 -

专题三一元二次方程根与系数的关系习题答案 例 1 解:∵ ? ? (?2) ? 4 ? 3 ? k ? 4 ? 12k ,∴(1) 4 ? 12k ? 0 ? k ?
2

1 1 ; (2) 4 ? 12k ? 0 ? k ? ; 3 3

1 1 ;(4) 4 ? 12k ? 0 ? k ? . 3 3 2 2 例 2 解:可以把所给方程看作为关于 x 的方程,整理得: x ? ( y ? 2) x ? y ? y ? 1 ? 0 2 2 2 由于 x 是实数,所以上述方程有实数根,因此: ? ? [?( y ? 2)] ? 4( y ? y ? 1) ? ?3 y ? 0 ? y ? 0 ,
(3) 4 ? 12k ? 0 ? k ? 代入原方程得: x ? 2 x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 .综上知: x ? ?1, y ? 0
2

例 3 解:由题意,根据根与系数的关系得: x1 ? x2 ? ?2, x1 x2 ? ?2007 (1) x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?2) ? 2(?2007) ? 4018
2 2 2 2

1 1 x1 ? x2 ?2 2 ? ? ? ? x1 x2 x1 x2 ?2007 2007 (3) ( x1 ? 5)( x2 ? 5) ? x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 25 ? ?2007 ? 5(?2) ? 25 ? ?1972
(2) (4) | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? (?2) 2 ? 4(?2007) ? 2 2008
2 2 2

说 明 : 利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 值 , 要 熟 练 掌 握 以 下 等 式 变 形 : x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ,

1 1 x1 ? x2 2 2 2 ? ? ,( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ,| x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 等等.韦达定理体现了 x1 x2 x1 x2
整体思想. 【巩固练习】 1. A; 2.A; 3. p ? ?1, q ? ?3 ; 4. a ? 3, b ? 3, c ? 0 ; 5. m ? 1 (1)当 k ? 3 时,方程为 (2) k ? 7 .

3 3x ? 1 ? 0 ,有实根;(2) 当 k ? 3 时, ? ? 0 也有实根.6.(1) k ? 且k ? 1 ; 4
专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案

例 1 解:(1)因为 A 、 B 关于 x 轴对称,它们横坐标相同,纵坐标互为相反数,所以 x2 ? 2 , y1 ? 3 ,则

A ? 2 , 3 ? 、 B ? 2 , ? 3? .

A ? 2 , ? 3 ? 、 B ? ?2 , ? 3 ? . B ? ?2 , ? 3 ? .

(2)因为 A 、 B 关于 y 轴对称,它们横坐标互为相反数,纵坐标相同,所以, x2 ? ?2 , y1 ? ?3 ,则 (3)因为 A 、 B 关于原点对称,它们的横纵坐标都互为相反数,所以 x2 ? ?2 , y1 ? 3 ,则 A ? 2 , 3 ? 、

例 2 分析:因为直线过第一、三象限,所以可知 k>0,又因为 b=2,所以直线与 y 轴交于(0,2) ,即可 知 OB=2,而 ΔAOB 的面积为 2,由此可推算出 OA=2,而直线过第二象限,所以 A 点坐标为(-2,0) , 由 A、B 两点坐标可求出此一次函数的表达式。 解:∵B 是直线 y=kx+2 与 y 轴交点,∴B(0,2) ,∴OB=2, 又 ? S?AOB ?

1 AO ? BO ? 2, AO ? 2 ? 2 , 又 ? y ? kx ? 2 ,过第二象限,? A(?2, 把x1 ? ?2,y1 ? 0代入y ? kx ? 2中得k ? 1 ? y ? x ? 2 0)

【巩固练习】 1. B 2. D(2,2)、C(8,2)、B(6,0). 3.(1) k ? 8 . (2)点 P 的坐标是 P(2, 或 P(8, . 4) 1) 专题五二次函数参考答案 例 1 解:∵y=-3x2-6x+1=-3(x+1)2+4,∴函数图象的开口向下;对称轴是直线 x=-1;顶点坐标 为(-1,4);
- 11 -

当 x=-1 时,函数 y 取最大值 y=4; 当 x<-1 时,y 随着 x 的增大而增大;当 x>-1 时,y 随着 x 的增大而减小;

2 3 ?3 2 3 ?3 采用描点法画图, 选顶点 A(-1, 与 x 轴交于点 B ( 4)), , 0) 和 C (? , 0) , 3 3
与 y 轴的交点为 D(0,1),过这五点画出图象(如图 2-5 所示) . 说明:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出 关键点,减少了选点的盲目性,使画图更简便、图象更精确. 例 2 分析:由于每天的利润=日销售量 y× (销售价 x-120),日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数,所以,欲求每天所获得的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值. 解:由于 y 是 x 的一次函数,于是,设 y=kx+(B) ,将 x=130,y=70;x=150,y= 50 代入方程,有 ?

A(-1,4)

y

D(0,1)

C

O

B

x

x=-1 图 2.2-5

?70 ? 130k ? b, ?50 ? 150k ? b,

解得 k=-1,b=200.∴ y=-x+200.

设每天的利润为 z(元) ,则 z=(-x+200)(x-120)=-x2+320x-24000=-(x-160)2+1600, ∴当 x=160 时,z 取最大值 1600. 答:当售价为 160 元/件时,每天的利润最大,为 1600 元. 例 3 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对 a 的取值进行讨论. 解: (1)当 a=-2 时,函数 y=x2 的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最小值都 是 4,此时 x=-2; (2)当-2<a<0 时,由图 2.2-6①可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=a 时,函数取 最小值 y=a2; (3)当 0≤a<2 时,由图 2.2-6②可知,当 x=-2 时,函数取最大值 y=4;当 x=0 时,函数取最 小值 y=0; (4)当 a≥2 时,由图 2.2-6③可知,当 x=a 时,函数取最大值 y=a2;当 x=0 时,函数取最小值 y=0.
y 4 4 y y

a

2

4

a
-2 a

2

a2
x -2 O ② a 2 x -2 O ③ a x

O ①

说明:在本例中,利用了分类讨论的方法,对 a 的所有可能情形进行讨论.此外,本例中所研究的二 次函数的自变量的取值不是取任意的实数,而是取部分实数来研究,在解决这一类问题时,通常需要借助 于函数图象来直观地解决问题. 例 4(1)分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函 数设成顶点式,再由函数图象过定点来求解出系数 a. 解:∵二次函数的最大值为 2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,∴顶点的纵坐标为 2.又顶点在直线 y =x+1 上, 所以, 2=x+1, ∴x=1. ∴顶点坐标是 (1, . 2)设该二次函数的解析式为 y ? a( x ? 2) ? 1(a ? 0) ,
2

图 2.2-6

∵二次函数的图像经过点(3,-1) ,∴ ?1 ? a(3 ? 2) ? 1,解得 a=-2.
2

∴二次函数的解析式为 y ? ?2( x ? 2) ? 1 ,即 y=-2x2+8x-7. 说明:在解题时,由最大值确定出顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数 的顶点式,最终解决了问题.因此,在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解 决问题. (2) 分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的 交点坐标,于是可以将函数的表达式设成交点式. 解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴可设二次函数为 y=a(x+3) (x-1) (a≠0),展开,
2



y=ax2+2ax-3a, 顶点的纵坐标为

?12a 2 ? 4a 2 ? ?4a ,由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 4a
- 12 -

2,∴|-4a|=2,即 a= ?

1 1 3 1 3 .所以,二次函数的表达式为 y= x 2 ? x ? ,或 y=- x 2 ? x ? . 2 2 2 2 2

分析二:由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线 x=-1,又由顶点到 x 轴 的距离为 2,可知顶点的纵坐标为 2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解,然后再 利用图象过点(-3,0),或(1,0),就可以求得函数的表达式. 解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),∴对称轴为直线 x=-1.又顶点到 x 轴的距离为 2,∴顶点的纵坐标为 2,或-2.于是可设二次函数为 y=a(x+1)2+2,或 y=a(x+1)2-2,由于函数图象 过点(1,0),∴0=a(1+1)2+2,或 0=a(1+1)2-2.∴a=- =-

1 1 ,或 a= .所以,所求的二次函数为 y 2 2

1 1 (x+1)2+2,或 y= (x+1)2-2. 2 2

说明:上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来 解题,在今后的解题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方法来解决问题. (3)解:设该二次函数为 y=ax2+bx+c(a≠0).由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得

? ?22 ? a ? b ? c ? ? ?8 ? c ?8 ? 4a ? 2b ? c ?
【巩固练习】

解得 a=-2,b=12,c=-8.所以,所求的二次函数为 y=-2x2+12x-8.

1. (1)D (2)C (3)D 2. (1)y=x2+x-2 (2)y=-x2+2x+3 3. (1) y ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 . (2) y ? 4( x ? 1) 2 ? 3 ? 4 x 2 ? 8 x ? 1 .

1 1 2 5 2 1 1 2 (4) y ? ? x ? 3? ? 2 ? x ? 3x ? ( x ? 3)( x ? 5) ? x 2 ? x ? 3 . 2 2 2 5 5 5 4.当长为 6m,宽为 3m 时,矩形的面积最大. y
(3) y ?

? x, ? 4 ? x, ? 5. 函数 (x) (1) f 的解析式为 y ? ? ? x ? 4, ?8 ? x, ?

0 ? x ? 2,

2 ? x ? 4, 4 ? x ? 6, 6 ? x ? 8.

2 O 2 4 图 2.2-11 6 8 x

(2)函数 y 的图像如图所示 (3)由函数图像可知,函数 y 的取值范围是 0<y≤2.

专题六二次函数的最值问题参考答案 例 1 分析:由于函数 y ? 2 x ? 3x ? 5 和 y ? ? x ? 3x ? 4 的自变量 x 的取值范围是全体实数,所以只要 确定它们的图象有最高点或最低点,就可以确定函数有最大值或最小值. 解: (1)因为二次函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 中的二次项系数 2>0,所以抛物线 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 有最低点,即函
2 2

3 3 49 数有最小值.因为 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 = 2( x ? ) 2 ? ,所以当 x ? 时,函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 有最小值是 4 4 8 49 . ? 8 2 (2)因为二次函数 y ? ? x ? 3x ? 4 中的二次项系数-1<0,所以抛物线 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 有最高点,即函
数有最大值.因为 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 = ? ( x ? ) 2 ?

3 2

25 3 ,所以当 x ? ? 时,函数 y ? ? x 2 ? 3x ? 4 有最大值 4 2

例 2 解:作出函数的图象.当 x ? 1 时, ymin ? ?1 ,当 x ? 2 时, ymax ? ?5 .

25 . 4

- 13 -

说明:二次函数在自变量 x 的给定范围内,对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为 函数的最大值,最低点的纵坐标即为函数的最小值. 根据二次函数对称轴的位置,函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况:

例 3 解:作出函数 y ? ? x(2 ? x) ? x ? 2 x 在 x ? 0 内的图象.
2

可以看出:当 x ? 1 时, ymin ? ?1 ,无最大值.所以,当 x ? 0 时,函数的取值范围是 y ? ?1 . 例 5 解:(1) 由已知得每件商品的销售利润为 ( x ? 30) 元,那么 m 件的销售利润为 y ? m( x ? 30) ,又

m ? 162 ? 3x .? y ? ( x ? 30)(162 ? 3x) ? ?3x 2 ? 252 x ? 4860,30 ? x ? 54 (2) 由(1)知对称轴为 x ? 42 ,位于 x 的范围内,另抛物线开口向下 ?当 x ? 42 时, ymax ? ?3 ? 422 ? 252 ? 42 ? 4860 ? 432 ?当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润,最大销售利润为 432 元.
【巩固练习】

l2 2 3 1 2. m 3. a ? 2, b ? ?2 . 4. a ? ? 或 a ? ?1 . 16 2 4 5.当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? 1 ;当 t ? 0 时, ymax ? 2 ? 2t ,此时 x ? ?1 .
1.4 14 或 2, 专题七不等式答案 例 2 解:(1) 不等式可化为 ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 ∴ 不等式的解是 ?2 ? x ? 4

1 2 7 ?0. 2 4 ?k ? 0 ?k ? 0 ?k ? 0 ?? 2 ?? ? k ?1 例 3 解:显然 k ? 0 不合题意,于是: ? 2 2 ?(?2) ? 4k ? 0 ?k ? 1 ? 0 ?k ? ?1或k ? 1
(2) 不等式可化为 ( x ? 2) ? 0
2

∴ 不等式的解是 x ? 2 ;(3) 不等式可化为 ( x ? ) ?

例 4 分析:(1) 类似于一元二次不等式的解法,运用“符号法则”将之化为两个一元一次不等式组处理;或 者因为两个数(式)相除异号,那么这两个数(式)相乘也异号,可将分式不等式直接转化为整式不等式求 解. (2) 注意到经过配方法,分母实际上是一个正数.

3 3 ? ? ?2 x ? 3 ? 0 ?2 x ? 3 ? 0 ? x ? 3 ?x ? 或? ?? 解:(1) 解法(一)原不等式可化为: ? 2 或? 2 ? ?1 ? x ? 2 ?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? ? 3 解法(二) 原不等式可化为: (2 x ? 3)( x ? 1) ? 0 ? ?1 ? x ? . 2
- 14 -

(2) 解:原不等式可化为:

?(3x ? 5)( x ? 2) ? 0 1 ?3x ? 5 3x ? 5 ? ?3? 0 ? ?0? ?0 ?? x?2 x?2 x?2 ?x ? 2 ? 0

x ? ?2或x ? ?

5 3
?x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? 0 1 ?3? ? 或? x?2 ?3( x ? 2) ? 1 ?3( x ? 2) ? 1

说明:(1) 转化为整式不等式时,一定要先将右端变为 0. (2) 本例也可以直接去分母,但应注意讨论分母的符号: 【巩固练习】

1 ? x ? 0 (2) ? 3 ? x ? 6 (3) x ? ?1 (4)x ? ?3 ; 2 1 1 2. (1) x ? ?1或x ? 1 (2) x ? 或x ? 3 (3) x ? ?2或x ? 0 (4) x ? ? ; 2 2
1. (1) ? 3.(1) 无解 (2) 全体实数 4.(1)当 m ? 2 时, x ? 5. m ? ?

1? m 1? m ;(2)当 m ? 2 时, x ? ;(3) 当 m ? 2 时, x 取全体实数. m?2 m?2
7. a ? ?5或a ? 1 .

1 ; 2

6. k ? 5

- 15 -


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