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《圆锥曲线与方程》单元测试题


《圆锥曲线与方程》单元测试题
一、选择题
2 2 1、双曲线 x ? y ? 1 的离心率 e ?(1 , 2) ,则 k 的取值范围是( )

4

k

A. (??, 0)

B. (?3, 0)

C. (?12 , 0)

D. (

?60, ? 12)

2、中心在原点,焦点在坐标为(0,± 2 )的椭圆被直线 3x-y-2=0 截得的弦的中点的横坐标为 5 圆方程为( )

1 ,则椭 2

2x 2 2 y 2 ? ?1 25 75 x2 y2 C. ? ?1 25 75 A.
3、斜率为 1 的直线 l 与椭圆 A.2 B.

B.

2x 2 2 y 2 ? ?1 75 25 x2 y2 D. ? ?1 75 25
)

x2 +y2=1 相交于 A、B 两点,则|AB|的最大值为( 4

4 5 5

C.

4 10 5

D.

8 10 5

4、抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b(k≠0)交于 A、B 两点,且此两点的横坐标分别为 x1,x2,直线与 x 轴交点的横 坐标是 x3,则恒有( ) C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 ) D. 非充分非必要条件 )

A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3
2 2 5、 k ? 5是方程 x ? y

k ?5

6? k

? 1 的曲线为椭圆时的(

A.充分条件

B.必要条件

C.充分必要条件

6、动点 P 到点 M (1,0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A
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双曲线
2

B

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双曲线的一支

C

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两条射线

D

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一条射线 )
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7、若抛物线 y ? 8x 上一点 P 到其焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为( A
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(7? ,

14 ) B

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( 1 4? ,

14 ) C

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( 7? 2 14 ) , D

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(? 7 ? 2 1 4 ) ,


8、如果 x 2 ? ky2 ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是( A
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?0,?? ?

B

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?0,2?

C

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?1,?? ?

D

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?0,1?
?
2


9、过双曲线的一个焦点 F2 作垂直于实轴的弦 PQ , F1 是另一焦点,若∠ PF Q ? 1 则双曲线的离心率 e 等于( A
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2 ?1

B

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2

C

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2 ?1 D

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2 ?2


10、以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线的方程是( A
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y ? 3x 2 或 y ? ?3x 2

B

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y ? 3x 2

C

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y 2 ? ?9x 或 y ? 3x 2

D

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y ? ?3x 2 或 y 2 ? 9x

二、填空题

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值等于 11、若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线 3
2

12、直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦点作椭圆的焦点,那 么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 13、双曲线的离心率 e=2,则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是 14、已知两点 M(1, 。
2

x x2 5 5 )、N(-4,- ),给出下列曲线方程:① 4x+2y-1=0,② 2+y2=3,③ +y2=1,④ - x 2 4 4 2

y2=1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________. 15.、 正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上, D 两点在抛物线 y2=x 上, C、 则正方形 ABCD 的面积为_________. 三、解答题 16、 过点(1, 0)的直线 l 与中心在原点, 焦点在 x 轴上且离心率为
2 1 的椭圆 C 相交于 A、 两点, B 直线 y= x 2 2

过线段 AB 的中点,同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称,试求直线 l 与椭圆 C 的方程.

17、已知椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,焦距为 2 13 ,另一双曲线与椭圆有公共焦点,且椭圆半长 轴比双曲线的半实轴大 4,椭圆离心率与双曲线的离心率之比为 3:7,求椭圆方程和双曲线方程。

18、已知曲线

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1(a ? 0, b ? 0)的离心率e ?

2 3 ,直线 l 过 A(a,0) 、B(0,-b)两点,原点 O 到 3

l 的距离是

3 . 2

(Ⅰ)求双曲线的方程; (Ⅱ)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M、N 两点,若 OM ? ON ? ?23 ,求直线 m 的方程.

19、已知点 B(-1,0) ,C(1,0) 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB. ,P (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m,2)在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE,且 AD⊥AE,判断:直线 DE 是否过定点?试证明你的结论.

20、已知动点 P 与双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距离之和为定值,且 2 3

cos?F1PF2 的最小值为

?

1 . 9

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若已知 D(0,3) , M 、 N 在动点 P 的轨迹上且 DM ? ? DN ,求实数 ? 的取值范围.

21、已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个焦点为 F,M 是椭圆上的任意点,|MF|的最大 值和最小值的几何平均数为 2,椭圆上存在着以 y=x 为轴的对称点 M1 和 M2,且|M1M2|= 圆的方程.
4 10 ,试求椭 3

选修 1-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题
命题人:田光利 答案 题号 答案 1 C 2 C 3 C 4 B 5 B 6 D 7 C 8 D 9 C 10 D 审题人:王珂

1、考查双曲线的标准方程及离心率的表示 2、考查椭圆的标准方程的求法、弦的中点坐标与弦的斜率的关系 3、考查椭圆的几何性质 4、考查直线与抛物线的关系 5、考查椭圆的标准方程及充要条件的概念 6、考查双曲线的定义 7、考查抛物线的几何性质 8、考查椭圆的标准方程 9、双曲线的通径及离心率的求法 10、考查抛物线的标准方程的求法 11、4.考查抛物线、双曲线焦点的求法 12、
x2 y2 ? =1。考查学生用待定系数法求圆锥曲线的方程 5 4

13、3∶1。考查双曲线的几何性质 14、② ④ ③ 。考查化归的数学思想 15、18 或 50。考查弦长公式及两平行直线间的距离公式 16、考查学生的运算能力、椭圆标准方程、直线与椭圆的关系。 解:由 e=
c 2 a2 ? b2 1 2 2 ? ,得 ? ,从而 a =2b ,c=b. 2 a 2 2 a

设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得, (x12-x22)+2(y12-y22)=0,
y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 . x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

设 AB 中点为(x0,y0),则 kAB=-

x0 , 2y0
B

y 1 y= x

1 1 又(x0,y0)在直线 y= x 上,y0= x0, 2 2

2

于是-

x0 =-1,kAB=-1, 2 y0

F2

o

F1 A

x

设 l 的方程为 y=-x+1. 右焦点(b,0)关于 l 的对称点设为(x′,y′),
? y? ? x? ? b ? 1 ?x? ? 1 ? 则? 解得? ? ??b ? y? ? 1 ? b ?y ?? x ?1 ?2 2 ?

由点(1,1-b)在椭圆上,得 1+2(1-b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆 C 的方程为 l 的方程为 y=-x+1.
8 x 2 16 2 ? y =1 9 9

9 2 9 ,a ? . 16 8

17、考查椭圆、双曲线的标准方程,几何性质,待定系数法等。 解:设焦点在 x 轴上的椭圆方程为
?c ? 13 ? ? ? ?a ? m ? 4 ? c : c ? 3: 7 ?a m ?

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 ,双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ,由已知得 m n a2 b
x ?c ? 13 ∴椭圆方程为 ? ?a ? 7 49 ?m ? 3 ?
2

?

y2 x y2 ? 1, 双曲线方程为 ? ? 1, 若 36 9 4

焦点在 y 轴上,同样可得方程为

y2 x2 x2 y2 ? ? 1。 ? ? 1, 9 4 49 36

18、考查双曲线的标准方程的求法、直线与双曲线的关系及运算能力 解: (Ⅰ)依题意, l方程 x ? y ? 1,即bx ? ay ? ab ? 0, 由原点 O 到 l 的距离 a ?b 为 3 ,得
2

ab a ?b
2 2

?

ab 3 ? c 2

又e ? c ? 2 3
a 3

? b ? 1, a ? 3

故所求双曲线方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 方程为 y=kx-1,则点 M、N 坐标( x1 , y1 ) 、

( x2 , y 2 )是方程组

? y ? kx ? 1 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?3

的解

消去 y,得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6kx ? 6 ? 0


6k 6 , x1 x2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1

依设, 1 ? 3k 2 ? 0, 由根与系数关系,知 x1 ? x2 ?

OM ? ON ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? x1 x2 ? y1 y 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1)
2 2 = (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1= 6(1 ? k ) ? 6k ? 1 2 2

3k ? 1

3k ? 1

=

6 ?1 3k 2 ? 1

?OM ?ON ? ?23

3k ? 1 1 当 k=± 时,方程①有两个不等的实数根 2
2



6

? 1 =-23,k=±

1 2

故直线 l 方程为 y ? 1 x ? 1, 或y ? ? 1 x ? 1 2 2 19、考查曲线方程的求法、直线与抛物线的关系及运算能力 解: (1)设 P( x, y)代入 | PC | ? | BC |? PB ? CB得 ( x ? 1)2 ? y2 ? 1 ? x, 化简得y2 ? 4x.
(2)将A(m,2)代入y 2 ? 4 x得m ? 1,? 点A的坐标为(1,2). 设直线AD 的方程为y ? 2 ? k ( x ? 1)代入y 2 ? 4 x, 得y 2 ? 由y1 ? 2可得y 2 ? 4 8 y ? ? 4 ? 0, k k

4 4 4 ? 2,? D( 2 ? 1, ? 2). k k k 1 同理可设直线AE : y ? 2 ? ? ( x ? 1), 代入y 2 ? 4 x得E (4k 2 ? 1,?4k ? 2). k 4 ? 4k 则直线DE方程为 : y ? 4k ? 2 ? k ( x ? 4k 2 ? 1), 化简得 4 k 2 ? 4k k 2 ( y ? 2) ? k ( x ? 5) ? ( y ? 2) ? 0, k 即y ? 2 ? ? 2 ( x ? 5), 过定点(5,?2). k ?1

20、考查椭圆的标准方程的求法、向量与圆锥曲线的关系及运算能力 解: (1)由已知可得: c ? 5 , ∴ a2 ? 9 ∴
,

a 2 ? a 2 ? (2c) 2 2a
2

??

1 9

b2 ? a 2 ? c2 ? 4
x2 y2 ? ?1. 9 4

所求的椭圆方程为

(2) 由题知点 D、M、N 共线,设为直线 m,当直线 m 的斜率存在时,设为 k,则直线 m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得

(4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0


5 . 9

由判别式 ? ? (54k ) 2 ? 4 ? (4 ? 9k 2 ) ? 45 ? 0 ,得 k 2 ? 再设 M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2),则一方面有

DM ? ( x1 , y1 ? 3) ? ? DN ? ? ( x2 , y 2 ? 3) ? (?x2 , ? ( y 2 ? 3)) ,得

? x1 ? ?x2 ? ? y1 ? 3 ? ? ( y 2 ? 3)

另一方面有 x1 ? x2 ? ?

54k 4 ? 9k 2

, x1 x2 ?

45 4 ? 9k 2



将 x1 ? ?x2 代入②式并消去 x 2 可得
324? 5(1 ? ? )
2

?

4 k
2

? 9 ,由前面知, 0 ? ? 81 ,解得 5

4 k
2

?

36 5

∴ 9?

324? 5(1 ? ? ) 2

1 ?? ?5. 5 1 5

又当直线 m 的斜率不存在时,不难验证: ? ? 或? ? 5 , 所以
1 ? ? ? 5 为所求。 5

21、考查椭圆的性质、弦长公式、待定系数法 解:|MF|max=a+c,|MF|min=a-c,则(a+c)(a-c)=a2-c2=b2, ∴ 2=4,设椭圆方程为 b
x2 a2 ? y2 ?1 4

① ② ③

设过 M1 和 M2 的直线方程为 y=-x+m 将② 代入① 得:(4+a2)x2-2a2mx+a2m2-4a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2 的中点为(x0,y0), 则 x0=
1 a 2m 4m (x1+x2)= ,y0=-x0+m= . 2 2 4?a 4 ? a2

代入 y=x,得

a2m 4 ? a2

?

4m 4 ? a2

,
4a 2 4 ? a2

由于 a2>4,∴ m=0,∴ 由③ x1+x2=0,x1x2=- 知 又|M1M2|= 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ?
4 10 , 3

,

代入 x1+x2,x1x2 可解 a2=5,故所求椭圆方程为:

x2 y2 ? =1. 5 4


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