tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

1.1.3导数的几何意义2.28


1.1.3导数的几何意义 1.1.3 导数的几何意义

复习:
函数y=f(x)在x=x0处的导数, 记作: f ?( x0 )或y? | x ? x0 ,

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?平均变化率<

br />?极限

例 :设f ( x) ? x , 求f ' ( x), f ' (?1), f ' (2) 1
2

f ( x ? ?x) ? f ( x) 解: f ' ( x)= lim ? 2x ?x ?0 ?x

? f ' (?1) ? f ' ( x) x??1

? ?2

f ' (2) ? f ' ( x) x?2 ? 4

f ' ( x) ? 2 x

导函数

函数y=f(x),当x变化时, f'(x)便是x的一个函数,
我们称它为f(x)的导函数.即:
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
在不致发生混淆时, 导函数也简称导数.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x

函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)等于导(函)数f'(x) 在点x0处的函数值。

探究:导数的几何意义?
?y f ?( x ) ? lim ?x ? 0 ?x
平均变化率:

?y ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

y=f(x)

y B

直线AB----割线

f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O

? y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? k割线= x2 ? x1 ?x

A x2-x1=△x x

x1

x2

探究:导数的几何意义?
y y=f(x) Q 割 线

T 切线

P

?

o

x
△x 0

x+△x

x

割线

切线

割线

△x

0

切线

? y f(x 0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k割线= ?x0 ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim k切线= ?x?0 ?x ?x ?0 ?x

k切线= f ( x0 ) 函数在x=x0处的导数就是曲
'

线在该点处切线的斜率.

导数的几何意义:
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就 是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.

k切线 ? f '( x0 )
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
注意: (1)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数f'(x0)不存在, 即切线与y轴平行,倾斜角为90° (2)f'(x0)>0,切线的倾斜角为锐角、上坡趋势; f'(x0)<0,切线的倾斜角为钝角、下坡趋势.

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

例1:求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y

y = x +1

2

P 1 -1 O

x
1

例 2 如图1.1 ? 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函 数 h ?t ? ? ?4.9 t ? 6.5 t ? 10的 图象 . 根 据图象 , 请描 述、比较曲线h?t ?在t 0 , t1 , t 2附近的变化情况.
2

h

l0 l1

O

t0

t1

t2

t

l2

图1.1 ? 3

利用曲线在动点的切线刻画曲线在动点附近 , 的变化情况.

解 我们用曲线h? x ?在t0 , t1 , t2 处的切线, 刻画曲 线h?t ?在上述三个时刻附近的 变化情况 .

?1?当t ? t0时,曲线h?t ?在
t0处的切线l0平行于x 轴. 所以, 在t ? t0附近曲线比 较平坦, 几乎没有升降 .

h

l0 l1

l ?2?当t ? t1时,曲线h?t ?在t1 图1.1 ? 3 处的切线l1的斜率h`?t1 ? ? 0.所以, 在t ? t1附近曲线下 降, 即函数h?t ?在t ? t1附近单调递减 . ?3?当t ? t2时,曲线h?t ?在t2处的切线l2的斜率h`?t2 ? ? 0. 所以, 在t ? t2附近曲线下降 即函数h?t ?在t ? t1附近也 ,
O
2

t0

t1

t2

t

单调递减. 从图1.1 ? 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线2的倾斜 l 程度, 这说明曲线h?t ?在t1附近比在t2附近下降得缓慢 .

作业 练习:
1.求函数y ? x在x ? 1处的导数。
2.求曲线y ? 3 x 2 ? 4 x ? 2在点M (1,1)处的 切线方程。

1 1 3. 求双曲线y= 过点(2,)的切线方程. x 2

1 4.求函数y ? 在x ? 1处的导数。 x

1 3 8 练习:已知曲线y = x 上一点P(2, ),求: 3 3 (1) P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程 点

1 1 3 3 略解: ( x ? ?x) ? x ?y 3 y? ? lim ? lim 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 1 ? lim[3 x 2 ? 3 x?x ? (?x ) 2 ] ? x 2 . 3 ?x ?0 ? y? | x?2 ? 22 ? 4.
即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.


推荐相关:

2016年新课标Ⅱ文数高考真题(含答案)

1 3 (B)1 (C) (D)2 2 2 1 (6) 圆 x2...(C)28π(D)32π (8) 某路口人行横道的信号灯...??, 2?. 考点:导数的几何意义,函数的单调性. ...


全国卷3数学2016

1 考点:1、复数的运算;2、共轭复数. (3)已知...函数的奇偶性与解析式;2、导数的几何意义. (16)...0.103, 28 ?t ? 1.331? 0.103? 4 ? 0.92...


2016届重庆一中高三下学期3月月考数学(文)试题(解析版)

A.1 【答案】A B. 3 2 C. 4 5 D. 5 6 ...28a2 ,所以 2 【考点】1、双曲线的定义及几何...2ax ,则由导数的几何意义,知 x f ?(2) ? 1...


2016年高考全国3卷理数试题及答案

?2 x ? 1 考点:1、函数的奇偶性与解析式;2导数的几何意义. (16) 【答案】4 【解析】 试题分析:因为 | AB ? | 2 ,且圆的半径为 2 3 ,所以圆心...


2016届陕西省高三下学期教学质量检测(二)数学(理)试题 ...

? cos 4 ? 的值为( 2 1 B. 5 ) C. 3 5...则此几何体的体积是( A. 28? D. 40? B. 32...2 2 3页 考点:导数的几何意义及运用. 【易错点...


2016年文数高考试题全国卷2(含答案)

{1, ? 1,, 0 1,, 2 3} (B) { ? 2, ...该几何体的表面积为 (A)20π(B)24π(C)28π(...??, 2?. 考点:导数的几何意义,函数的单调性. ...


2015数学二考研大纲

1.了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元 连续函数的性质. 3.了解多元函数偏导数与全微分的概念,...


2013年高考理科数学新课标1卷解析版

2 2 b a 2 1 x 3 1 x 2 1 x 4 (B)y...a ? 0 【考点定位】本题考查导数的几何意义,考...a ,故 a ? 8 , x 的系数为 28 ? 4b ? ...


2016年海南文数高考试题(含答案)

x 1 3 (B)1 (C) (D)2 2 2 4 3 (B)?...该几何体的表面积为 (A)20π(B)24π(C)28π(...??, 2?. 考点:导数的几何意义,函数的单调性. ...


Matlab求导

lxq +18 2007-6-22 11:28 理由:启发引导性回答...导数是函数的变化率,几何意义是曲线在点处的切线...h=[3,2,1,0.1,0.01];a=(exp(h)-1)./h;...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com