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1.1.3导数的几何意义2.28


1.1.3导数的几何意义 1.1.3 导数的几何意义

复习:
函数y=f(x)在x=x0处的导数, 记作: f ?( x0 )或y? | x ? x0 ,

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? lim f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

?平均变化率
?极限

例 :设f ( x) ? x , 求f ' ( x), f ' (?1), f ' (2) 1
2

f ( x ? ?x) ? f ( x) 解: f ' ( x)= lim ? 2x ?x ?0 ?x

? f ' (?1) ? f ' ( x) x??1

? ?2

f ' (2) ? f ' ( x) x?2 ? 4

f ' ( x) ? 2 x

导函数

函数y=f(x),当x变化时, f'(x)便是x的一个函数,
我们称它为f(x)的导函数.即:
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
在不致发生混淆时, 导函数也简称导数.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ?( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x

函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)等于导(函)数f'(x) 在点x0处的函数值。

探究:导数的几何意义?
?y f ?( x ) ? lim ?x ? 0 ?x
平均变化率:

?y ? ?x

f(x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1

y=f(x)

y B

直线AB----割线

f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O

? y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? k割线= x2 ? x1 ?x

A x2-x1=△x x

x1

x2

探究:导数的几何意义?
y y=f(x) Q 割 线

T 切线

P

?

o

x
△x 0

x+△x

x

割线

切线

割线

△x

0

切线

? y f(x 0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? k割线= ?x0 ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim k切线= ?x?0 ?x ?x ?0 ?x

k切线= f ( x0 ) 函数在x=x0处的导数就是曲
'

线在该点处切线的斜率.

导数的几何意义:
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就 是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.

k切线 ? f '( x0 )
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
注意: (1)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数f'(x0)不存在, 即切线与y轴平行,倾斜角为90° (2)f'(x0)>0,切线的倾斜角为锐角、上坡趋势; f'(x0)<0,切线的倾斜角为钝角、下坡趋势.

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

例1:求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y

y = x +1

2

P 1 -1 O

x
1

例 2 如图1.1 ? 3, 它表 示跳水运动中高度随 时间变化的函 数 h ?t ? ? ?4.9 t ? 6.5 t ? 10的 图象 . 根 据图象 , 请描 述、比较曲线h?t ?在t 0 , t1 , t 2附近的变化情况.
2

h

l0 l1

O

t0

t1

t2

t

l2

图1.1 ? 3

利用曲线在动点的切线刻画曲线在动点附近 , 的变化情况.

解 我们用曲线h? x ?在t0 , t1 , t2 处的切线, 刻画曲 线h?t ?在上述三个时刻附近的 变化情况 .

?1?当t ? t0时,曲线h?t ?在
t0处的切线l0平行于x 轴. 所以, 在t ? t0附近曲线比 较平坦, 几乎没有升降 .

h

l0 l1

l ?2?当t ? t1时,曲线h?t ?在t1 图1.1 ? 3 处的切线l1的斜率h`?t1 ? ? 0.所以, 在t ? t1附近曲线下 降, 即函数h?t ?在t ? t1附近单调递减 . ?3?当t ? t2时,曲线h?t ?在t2处的切线l2的斜率h`?t2 ? ? 0. 所以, 在t ? t2附近曲线下降 即函数h?t ?在t ? t1附近也 ,
O
2

t0

t1

t2

t

单调递减. 从图1.1 ? 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线2的倾斜 l 程度, 这说明曲线h?t ?在t1附近比在t2附近下降得缓慢 .

作业 练习:
1.求函数y ? x在x ? 1处的导数。
2.求曲线y ? 3 x 2 ? 4 x ? 2在点M (1,1)处的 切线方程。

1 1 3. 求双曲线y= 过点(2,)的切线方程. x 2

1 4.求函数y ? 在x ? 1处的导数。 x

1 3 8 练习:已知曲线y = x 上一点P(2, ),求: 3 3 (1) P处的切线的斜率;(2)点P处的切线方程 点

1 1 3 3 略解: ( x ? ?x) ? x ?y 3 y? ? lim ? lim 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 1 ? lim[3 x 2 ? 3 x?x ? (?x ) 2 ] ? x 2 . 3 ?x ?0 ? y? | x?2 ? 22 ? 4.
即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.


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