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上海市虹口高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析


上海市虹口高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
一、填空题(每题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)已知{an}是等差数列,如果 a3=18,a6=27,则公差 d=. 2. (4 分)在等差数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4+a5=20,那么 a3 等于.

3. (4 分)

=.
<

br />4. (4 分)数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n﹣3,则通项公式 an=. 5. (4 分)等比数列{an},公比 q= ,则它的前 6 项和 S6=.

2

6. (4 分)设等比数列{an}(n∈N)的公比 q=﹣ ,且

(a1+a3+a5+…+a2n﹣1)= ,则 a1=.

7. (4 分)已知平面内两点 P(﹣2,4) ,Q(2,1) ,则

的单位向量

是.

8. (4 分)等差数列{an}中 a3×a7=﹣16,a4+a6=0,则前项 n 和 Sn=. 9. (4 分)在等比数列{an}中,an>0,且 a1?a2?…?a7?a8=16,则 a4+a5 的最小值为.

10. (4 分)数列{an}满足 an+1=

,a8=2,则 a1=.

11. (4 分)Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S6>S7>S5,则下列命题正确的是. ①d<0; ②S11>0; ③S12<0; ④数列的最大项为 S11. 12. (4 分)a 为正数,记[a]表示取 a 的整数部分,已知 a﹣[a]、[a]、a,依次成等比数列,则 a=.

二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)设{an}是等比数列,则“a1>a2>a3”是“数列{an}是递减数列”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件

-1-

14. (4 分)已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq,且 a2=﹣6,那么 a10 等于() A.﹣165 B.﹣33 C.﹣30 D.﹣21 15. (4 分)设 示,则 =() ,若 与 不平行,点 P 在线段 AB 上|AP|=2|PB|,如图所

*

A.

B.

C.

D.

16. (4 分)在平面直角坐标系中,设向量 = ,且 四边形 ABCD 是() A.平行四边形 B.矩形

满足 ,数列{xn},{yn}分别是等差数列、等比数列,则

C.梯形

D.菱形

三、解答题(8 分+8 分+10 分+10 分) 17. (8 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 Sn.

18. (8 分)已知数列{an}中,a1=2,an= (1)求 a2、a3、a4 的值; (2)猜测 an 的表达式,并用数学归纳法证明.

(n≥2) .

19. (10 分)在公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,a1,a2,a5 成等比数列. (1)求 an; (2)设 bn= ,求 b1+b2+…+bn 的值;

(3)设 cn=an﹣8,求数列{|cn|}的前 n 项和 Tn. 20. (10 分)已知等差数列{an}的前项 n 和为 Sn,且 Sn=n﹣5an﹣85,n∈N . (1)证明:{an﹣1}是等比数列; (2)求{Sn}的通项公式; (3)求 Sn 取得最小值时 n 的值.
-2*

上海市虹口高中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(每题 4 分,共 48 分) 1. (4 分)已知{an}是等差数列,如果 a3=18,a6=27,则公差 d=3. 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 直接利用等差数列的通项公式结合已知求等差数列的公差. 解:在等差数列{an}中,由 a3=18,a6=27,得
-3-

. 故答案为:3. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的性质,是基础题. 2. (4 分)在等差数列{an}中,已知 a1+a2+a3+a4+a5=20,那么 a3 等于 4. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由数列为等差数列,利用等差数列的性质化简已知等式的左边,得到关于 a3 的方程, 求出方程的解即可得到 a3 的值. 解答: 解:∵等差数列{an}, ∴a1+a5=a2+a4=2a3, 又 a1+a2+a3+a4+a5=20, ∴5a3=20, 则 a3=4. 故答案为:4 点评: 此题考查了等差数列的性质,灵活运用等差数列的性质是解本题的关键.

3. (4 分)

=2.

考点: 极限及其运算. 专题: 导数的综合应用. 分析: 将分母利用求和公式表示,然后利用 解答: 解: 故答案为:2. 点评: 本题考查了极限的运算,对于 型的求极限,利用罗比达法则解答. =2. 的极限求法解答.

4. (4 分)数列{an}的前 n 项和 Sn=n +n﹣3,则通项公式 an=

2



考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 根据数列通项与前 n 项和的关系可得: a1=S1=1+1﹣3=﹣1, n≥2 时, an=Sn﹣Sn﹣1= (n +n 2 ﹣3)﹣[(n﹣1) +(n﹣1)﹣3]=2n,当 n=1 时,2n=2≠a1,由此能求出通项公式 an. 解答: 解:a1=S1=1+1﹣3=﹣1,
-42

n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n +n﹣3)﹣[(n﹣1) +(n﹣1)﹣3]=2n, 当 n=1 时,2n=2≠a1, ∴ .

2

2

故答案为:



点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意递推公式的灵活运用.

5. (4 分)等比数列{an},公比 q=

,则它的前 6 项和 S6=



考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列的求和公式可得答案. 解答: 解:∵等比数列{an},公比 q= ∴a1=2, ,

∴S6=

=



故答案为:



点评: 本题考查等比数列的求和公式,考查学生的计算能力,比较基础. 6. (4 分)设等比数列{an}(n∈N)的公比 q=﹣ ,且 (a1+a3+a5+…+a2n﹣1)= ,则 a1=2.

考点: 数列的极限. 专题: 计算题. 分析: 由题设条件知 (a1+a3+a5+…+a2n﹣1)= = .由此能求出 a1 的值.

解答: 解:∵q=﹣ , ∴ (a1+a3+a5+…+a2n﹣1)= = .

∴a1=2. 故答案为 2. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意等比数列求和公式的应用.

-5-

7. (4 分)已知平面内两点 P(﹣2,4) ,Q(2,1) ,则

的单位向量





考点: 单位向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用 的单位向量 =± 即可得出.

解答: 解: ∴

=(4,﹣3) . =± = = .

的单位向量

故答案为:



点评: 本题考查了单位向量的计算公式,属于基础题. 8. (4 分)等差数列{an}中 a3×a7=﹣16,a4+a6=0,则前项 n 和 Sn=﹣n +9n 或 n ﹣9n. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知得 ,由此能求出前项 n 和 Sn.
2 2

解答: 解:∵等差数列{an}中 a3×a7=﹣16,a4+a6=0, ∴ ,

解得 a1=8,d=﹣2 或 a1=﹣8,d=2, ∴Sn=8n+
2 2

=﹣n +9n.或 Sn=﹣8n+

2

=n ﹣9n.

2

故答案为:﹣n +9n 或 n ﹣9n. 点评: 本题考查数列的前 n 项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的 性质的合理运用. 9. (4 分)在等比数列{an}中,an>0,且 a1?a2?…?a7?a8=16,则 a4+a5 的最小值为 .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据等比中项的性质可知 a4a5=a1a8=a2a7=a3a6, 进而根据 a1?a2?…?a7?a8=16 求得 a4a5 的值,最后根据均值不等式求得答案. 解答: 解:∵数列{an}为等比数列, ∴a4a5=a1a8=a2a7=a3a6, 4 ∴a1?a2?…?a7?a8=(a4a5) =16,
-6-

∴a4a5=2 ∴a4+a5≥2 =2

故答案为:2 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.考查了学生对数列基础知识的综合运用.

10. ( 4 分)数列{an}满足 an+1=

,a8=2,则 a1= .

考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 根据 a8=2,令 n=7 代入递推公式 an+1= 发现规律,求出 a1 的值. 解答: 解:由题意得,an+1= ,a8=2, ,求得 a7,再依次求出 a6,a5 的结果,

令 n=7 代入上式得,a8=

,解得 a7= ;

令 n=6 代入得,a7=

,解得 a6=﹣1;

令 n=5 代入得,a6= …

,解得 a5=2;

根据以上结果发现,求得结果按 2, ,﹣1 循环, ∵8÷3=2…2,故 a1= 故答案为: . 点评: 本题考查了数列递推公式的简单应用,即给 n 具体的值代入后求数列的项,属于基 础题. 11. (4 分)Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,S6>S7>S5,则下列命题正确的是①②. ①d<0; ②S11>0; ③S12<0; ④数列的最大项为 S11. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题.

-7-

分析: 依题意,可求得 a6>0,a7<0,a6+a7>0,利用等差数列的概念及性质对①②③④ 四个选项逐一判断即可. 解答: 解:∵{an} 是等差数列,Sn 是其前 n 项和,且 S6>S7>S5, ∴a6>0,a7<0,a6+a7>0; ∴d=a7﹣a6<0,故①正确; S11= =11a6>0,故②正确;

同理可得,S12=6(a6+a7)>0,故③错误; 由以上分析可知,公差 d<0,a6>0,a7<0,故数列{Sn}中的最大项为 S6,非 S11,故④错误; 综上所述,正确的命题是①②. 故答案为①②. 点评: 本题考查等差数列的概念及性质应用, 突出考查数列{Sn}中的最值问题, 考查化归思 想与分析、运算能力,属于中档题. 12. (4 分)a 为正数,记[a]表示取 a 的整数部分,已知 a﹣[a]、[a]、a,依次成等比数列,则 a= .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由题意,整数部分 x≥0,小数部分 y 属于[0,1)y,x,x+y 成等比数列,所以 x>0, 求出 x,y,即可得出结论. 解答: 解:由题意,整数部分 x≥0,小数部分 y 属于[0,1) y,x,x+y 成等比数列,所以 x>0 x =y(x+y)=>x ﹣xy﹣y =0 因为 x>0,所以 x= 因为 0≤y<1 所以 0≤x<
2 2 2 2

y,

,对应正整数 x,只能取 1

所以 x=1,y +y﹣1=0 从而 y= 故答案为: ,因此 a=x+y= . .

点评: 本题考查等比数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)设{an}是等比数列,则“a1>a2>a3”是“数列{an}是递减数列”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 等比数列的性质.
-8-

专题: 计算题. 分析: 由“a1>a2>a3”可得“数列{an}是递减数列”,故故充分性成立.再由“数列{an}是递减 数列”,可得“a1>a2>a3”,故必要性成立,由此得出结论. 解答: 解: {an}是等比数列, 则由“a1>a2>a3”可得“数列{an}是递减数列”, 故故充分性成立. 再由“数列{an}是递减数列”,可得“a1>a2>a3”,故必要性成立. 综上可得,“a1>a2>a3”是“数列{an}是递减数列”的充要条件, 故选 C. 点评: 本题考查充分条件、必要条件的定义,递增数列的定义,判断充分性是解题的难点, 属于中档题. 14. (4 分)已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq,且 a2=﹣6,那么 a10 等于() A.﹣165 B.﹣33 C.﹣30 D.﹣21 考点: 数列的概念及简单表示法. 分析: 根据题目所给的恒成立的式子 ap+q=ap+aq,给任意的 p,q∈N ,我们可以先算出 a4,再 算出 a8,最后算出 a10,也可以用其他的赋值过程,但解题的原理是一样的. 解答: 解:∵a4=a2+a2=﹣12, ∴a8=a4+a4=﹣24, ∴a10=a8+a2=﹣30, 故选 C 点评: 这道题解起来有点出乎意料,它和函数的联系非常密切,通过解决探索性问题,进 一步培养学生创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力. 15. (4 分)设 示,则 =() ,若 与 不平行,点 P 在线段 AB 上|AP|=2|PB|,如图所
* *

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴ ∴ =

平面向量的基本定理及其意义. 平面向量及应用. 利用向量共线定理、向量运算即可得出. 解:∵点 P 在线段 AB 上|AP|=2|PB|, , = ,

-9-



+

=



故选:C. 点评: 本题考查了向量共线定理、向量运算,属于基础题. 16. (4 分)在平面直角坐标系中,设向量 = ,且 四边形 ABCD 是() A.平行四边形 B.矩形 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意求得 x2+x3=x1+x4=0,y1+y4=y2+y3=0,可得 ABCD 是平行四边形. 解答: 解:∵ = ,且 , = = ,可得四边形 满足 ,数列{xn},{yn}分别是等差数列、等比数列,则

C.梯形

D.菱形

∴x1+x2+x3+x4=0,y1+y2+y3+y4=0. ∵数列{xn},{yn}分别是等差数列、等比数列,设等比数列的公比为 q, 2 3 则有 x2+x3=x1+x4=0,且 y1(1+q+q +q )=0, 2 即 (1+q) (1+q )=0,∴q=﹣1,∴y1+y4=y2+y3=0. 可得 + = + = ,即 = = ,

∴四边形 ABCD 是平行四边形, 故选:A. 点评: 本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,等差数列、等比数列的 性质,属于基础题. 三、解答题(8 分+8 分+10 分+10 分) 17. (8 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 Sn. 考点: 等差数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意知 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ) ,由此可知 2q +q=0,从而
2 2



- 10 -

(Ⅱ)由已知可得

,故 a1=4,从而


2

解答: 解: (Ⅰ)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ) 2 由于 a1≠0,故 2q +q=0 又 q≠0,从而 (Ⅱ)由已知可得 故 a1=4

从而

点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

18. (8 分)已知数列{an}中,a1=2,an= (1)求 a2、a3、a4 的值; (2)猜测 an 的表达式,并用数学归纳法证明.

(n≥2) .

考点: 数学归纳法;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)由已知条件分别令 n=1,2,3,能求出 a2、a3、a4 的值. (2)由(1)猜想 an= .然后用数学归纳法进行证明.

解答: 解: (1)∵数列{an}中,a1=2,an= ∴ = ,

(n≥2) ,

= ,

=



- 11 -

(2)由(1)猜想 an= 下面用数学归纳法进行证明: ①当 n=1 时, ②假设 n=k 时成立,即 ak= 则当 n=k+1 时,



=2,成立; ,

ak+1=

=

=

,也成立,

∴an=



点评: 本题考查数列的前 4 项的求法,考查数列的通项公式的猜想,解题时要认真审题, 注意数学归纳法的合理运用. 19. (10 分)在公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,a1,a2,a5 成等比数列. (1)求 an; (2)设 bn= ,求 b1+b2+…+bn 的值;

(3)设 cn=an﹣8,求数列{|cn|}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得(1+d) =1×(1+4d) ,由此能求出 an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1. (2)由 bn= = = ,利用裂项求和法能求出
2

b1+b2+…+bn. (3)由 cn=an﹣8=2n﹣9,得{cn}是首项为﹣7,公差为 2 的等差数列,由此能求出数列{|cn|} 的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)∵公差不为零的等差数列{an}中,a1=1,a1,a2,a5 成等比数列, 2 ∴(1+d) =1×(1+4d) , 解得 d=2 或 d=0(舍) , ∴an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1. (2)∵bn= ∴b1+b2+…+bn = (1﹣ = = . +…+ ) = = ,

- 12 -

(3)∵cn=an﹣8=2n﹣9, ∴{cn}是首项为﹣7,公差为 2 的等差数列, 由 cn=2n﹣9≥0,得 n , ]=﹣n +8n. ]﹣2[﹣7×4+ ]=n ﹣8n+32.
2 2

∴当 n≤4 时,Tn=﹣[﹣7n+ 当 n≥5 时,Tn=[﹣7n+ ∴Tn= .

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前 n 项和的求法,解题时要认真审题, 注意等差数列的性质的合理运用. 20. (10 分)已知等差数列{an}的前项 n 和为 Sn,且 Sn=n﹣5an﹣85,n∈N . (1)证明:{an﹣1}是等比数列; (2)求{Sn}的通项公式; (3)求 Sn 取得最小值时 n 的值. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知得 a1﹣1=﹣15,an﹣1= ﹣15,公比为 的等比数列. (2)由(1)得 (3)由 Sn+1>Sn,得 n+1+75? 值时 n 的值为 15. 解答: (1)证明:当 n=1 时,a1=S1=1﹣5a1﹣85 解得 a1=﹣14,则 a1﹣1=﹣15 当 n≥2 时,Sn﹣1=(n﹣1)﹣5an﹣1﹣85 ∴an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣5an+5an﹣1 ∴6an=5an﹣1+1,即 an﹣1= , ,由此能求出{Sn}的通项公式. ﹣90>n+75?( )
n﹣1 *

,由此能证明{an﹣1}是首项为

﹣90,由此能求出 Sn 取得最小

∴{an﹣1}是首项为﹣15,公比为 的等比数列. (2)解:由(1)得 ∴ (3)解:由 Sn+1>Sn,得 n+1+75? =n+75? ﹣90>n+75?( ) , .
n﹣1

﹣90,

- 13 -



,解得 n>

≈14.85,

∴Sn 取得最小值时 n 的值为 15. 点评: 本题考查{an﹣1}是等比数列的证明,考查{Sn}的通项公式的求法,考查 Sn 取得最小 值时 n 的值的求法,解题时要认真审题,注意构造法的合理运用.

- 14 -


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