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奥赛辅导第十二讲狭义相对论基础(湖南郴州市湘南中学 陈礼生)


第十二讲

狭义相对论基础

一、知识点击 1.力学相对性原理和伽利略变换 如图 12 一 1,S 系静止, S ? 系相对 S 系平动,对应 轴互相平行, t ? ? t ? 0 时,两坐标系原点重合,t 时 刻在两参考系中观察同一事物。我们有

r ? r 0 ? r?

t ? t?


? ? ? 0 ???
a ? a 0 ? a? a0 ? 0 , S ? 系也是惯性参考系, 若 S ? 系相对 S 系做匀速直线运动, 则有 a ? a?
又在两系中有 F ? F ?
m ? m?

因为 F ? ma

力学现象对一切惯性系来说,都要遵从同样的规律.这是力学相对性原理, 研究力学规律时,一切惯性系都是等价的,我们不能在一惯性系中做力学实 验来判定这个惯性系是静止还是做匀速直线运动. 若 S'系仅沿着 S 系 x 轴作匀速直线运动,其速度为 u,则我们有
x? ? x ? ut x ? x? ? ut

y? ? y z? ? z
t? ? t



y ? y? z ? z?
t ? t?

这就是伽利略变换.它描绘了同一事物在两个不同参考系观察时的时空关 系.实际物体的低速运动都满足伽利略变换. 2.爱因斯坦假设 洛伦兹变换

⑴爱因斯坦假设: 力学现象满足伽利略变换, 但电磁现象、 特别是光现象呢? 当时人们把机械波必须在媒质中才能传播的思想引进光现象中,认为光只在
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以太中才能传播,光相对以太速度为 c ,并且沿各个方向相同。伽利略变换 已经不能解释,为此爱因斯坦提出了两条基本原理: 相对性原理:物理学定律在所有惯性系中都是相同的。 光速不变原理:在所有惯性系中,自由空间中的光速具有相同的量值 C。 以这两个原理为依据,可得到的坐标变换关系——洛伦兹变换

x? ? y ( x ? ut ) y? ? y z? ? z t ? ? y (t ? u x) c2


x ? y ( x? ? ut ) y ? y? z ? z? t ? y (t ? ? u x?) c2
式中 y ?

1 1? u2 c2

相应的速度变换关系为

?? ?x

1?

?x ? u u? x
c2


?x ?

1?

? ?u ?x ? u? x c2

?? y ?

1?

?y ? u u? y
c2

?y ?

1?

?? y ?u u? ? y
c2

? z? ?

1?

?z ? u u? z
c2
时间膨胀

?z ?

1?

? z? ? u ? u? z
c2

3.长度收缩

? ? x1 ? ,S 系观 一刚性直尺沿 x? 轴放置并随 S ? 系运动, S ? 系中测得尺长 l0 ? x2
察者观察到尺在运动,必须同时记下尺的两端的坐标 x1 和 x2 ,测得

l ? x2 ? x1 ,利用洛伦兹变换可得 l ? 1 ?

u2 l0 ,相对物体为静止的惯性系中测 c2

得物体长度是最长的,称为物体的固有长度。运动的物体在运动的方向上收 缩。 现分别在 S 和 S ? 系中观察两个事件的时间间隔 ?t 和 ?t ? 的关系。

? ? t ? ,S 系观察两事 在 S ? 系中,两事件发生在同一地点,其时间间隔 ?t ? ? t2

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件发生在不同地点,时间间隔 ?t ,由洛伦兹变换可得 ?t ?

?t ? u2 1? 2 c

。同一地

点发生两事件的时间间隔最小,称为固有时间,即运动的钟变慢了,从其他 电像有相对运动的惯性系测量的两事件时间间隔都延长了. 4.相对论力学 相对论中,动量形式上仍可写为 P ? m? ,但质量已不是一个恒量,而是随物 体运动速度不同而发生变化。 m ?

m0 1?

?2
c2

, m0 为物体静止时的质量,于是:

P ? m? ?

m0? 1?

?2
c2

。这样得到的动量守恒定律是满足洛伦兹变换的.很明显,

当 ? ?? c 时,它回原为经典力学中的形式. 相对论中运动物体的总能量表示为 E ? mc 2 ?

m0 c 2 1?

?2
c2

,物体静止时的能量称

为物体的静能 E0 ? m0 c 2 。那么物体的动能就为总能与静能之差:

Ek ? mc 2 ? m0 c 2 。当物体质量发生变化时,物体能量也要发生变化,那就有 ?E ? ?mc 2 。
相对论中动量和能量之间的一个重要关系式 E 2 ? E02 ? P 2 c 2 , 对应相对论中的 质量和动量,相对论动力学的基本方程可写成 F ? 时 m 也是 ? 的函数. 二、方法演练

?(m? ) ,应注意的是,这 ?t

类型一、利用爱因斯坦原理推导洛伦兹变换的问题。

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例 1.试推导洛伦兹坐标变换。 分析和解:如图 12—2,对参考系 S 和 S', 在 t=t'=0 时,O'和 O 重合。 考虑到同一事

件在 S 和 S'系中观察,其结果必须一一对应, 这就要求变换关系呈线性。否则,在一惯性系 中某时空出现的一事件,在另一惯性系中,这 一事件将在几个不同时空出现,违反 S、S'系 的等价性及时空的均匀性。设想(x,t)与(x',t' )之间的变换形式为

x ? k ( x? ? ? t ?)



k 是与 x',t'无关而与 ? 有关的恒量,其值应根据爱因斯坦的狭义相对论的两 个基本原则来确定。 根据狭义相对论的相对性原理,惯性系 S'和 S 的物理方程应有同样的形式, 所以,逆变换应为

x? ? k ( x ? ? t )



括号中 ? 前面的负号只表示 S 系相对 S'系的速度沿 x 轴的负方向。 设想 S 和 S'系坐标原点重合时,从原点发出一个沿 x 轴方向传播的光脉冲, 按光速不变原理,对 S 和 S'系的观察者来说,光速都是 c,光脉冲波前所在 点的空间坐标,对 S 系为 x ? ct , 对 S'系为 x? ? ct ? 将上述两式分别代人式①和式②得

ct ? k (ct ? ? ? t ?) ? k (c ? ? )t ? ct ? ? k (ct ? ? t ) ? k (c ? ? )t
上列两式相乘得

c 2tt ? ? k 2tt ?(c ? ? )(c ? ? )
由此得 k ?

c c2 ?? 2

?

1 1 ? ( )2 c

?

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由此①、②两式即可写成 x ?

x? ? ? t ? 1 ? ( )2 c

?

; x? ?

x ? ?t 1 ? ( )2 c

?

从这两个式子中消去 x'或 x,便可得到时间的变换式。若消去 x'得

x 1 ? ( )2 ? c

?

x ? ?t 1? ( ) c

?

? ?t ?
2

由此求得 t'为 t ? ?

t?

?x
c2

1 ? ( )2 c t? ?

?

? x?
c2

同样,消去 x 后求得 t 为 t ?

1 ? ( )2 c
类型二、不同参考系中的相对论时空计算的问题。 例 2.在 h0=6000m 高层大气中产生一μ子,μ子以 0. 998c 的速率向地面飞来, 静止的μ子的平均寿命为 2 ? 10?6 s ,问在μ子衰变以前,能否到达地球表 面? 分析和解:地面上的观测者按经典理论计算,μ子走过的距离为

?

d1 ? ??t ? 0.998 ? 3 ? 108 ? 2 ? 10?6 ? 598.8m d1 ? h0 ,因此,按μ子的平均寿命,它似乎不可能到达地面。实际上μ子的
速率 ? 与光速 c 可以比拟,必须考虑相对论效应。μ子相对地面运动,在地 面上的观测者看来,它的平均寿命为

?t地 ?

?t 1 ? ( )2 c

?

?

2 ? 10?6 1 ? 0.998
2

? 31.6 ? 10?6 s

地面上的观测者所计算的μ子可飞行的距离为

d 2 ? ??t地 ? 0.998 ? 3 ? 108 ? 31.6 ? 10?6 ? 9461m d 2 ? h0 。因此,按μ子平均寿命,它能够到达地面。

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类型三、在不同参考系中的相对论时空计算的洛伦兹变换问题。 例 3.在地面上有一跑道长 100 m,运动员从起点跑到终点,用时 10 s,现从以 速度 0. 8c 向前飞行的飞船中观测: (1)跑道有多长? (2)运动员跑过的距离和所用的时间为多少?

分析和解:以地面参考系为 S 系,飞船参考系为 S'系。 (1)跑道固定在 S 系中,原长 l0 ? 100m 。由于 S'系相对 S 系高速运动,因而 在 S'系中观测,跑道长度为

l ? ? l0 1 ? ( ) 2 ? 100 ? 0.6 ? 60m c ?x ? ??t 1 ? ( )2 c ?t ?

?

?
c2

(2) ?x? ?

?

, ?t ? ?

?x

1 ? ( )2 c

?

将 ?x ? 100m , ?t ? 10 s 和 ? ? 0.8c 代入以上两式,计算得

?x? ?

100 ? 0.8 ? 3 ? 108 ? 10 2.4 ? 109 ?? ? ?0.4 ? 1010 m 0.6 0.6

计算结果中的负号表示在 S'系中观测,运动员是沿 x'负方向后退。

10 ? ?t ? ?

0.8 ? 108 ? 100 10 (3 ? 108 ) 2 ?? ? 16.6 s 0.6 0.6

例 4.封闭的车厢中有一点光源 S,在距光源 l 处有一半径为 r 的圆孔,其圆心为 O1,光源一直在发光,并通过圆孔射出。车厢以高速 ? 沿固定在水平地面上 的 x 轴正方向匀速运动,如图 12 一 3 所示。某一时刻,点光源 S 恰位于 x 轴的原点 O 的正上方,取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点。 在地面参考系中坐标为 xA 处放一半径为 R(R>r)的不透光的圆形挡板, 板面 与圆孔所在的平面都与 x 轴垂直。板的圆心 O2、S、O1 都等高,起始时刻经
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圆孔射出的光束会有部分从档板周围射到挡板后面的大屏幕(图中未画出) 上。由于车厢在运动,将会出现挡板将光束完全遮住,即没有光射到屏上的 情况。不考虑光的衍射,试求: (1)车厢参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻。 (2)地面参考系中(所测出的)刚出现这种情况的时刻。

分析和解: (1)相对于车厢参考系,地面连同挡板以速度 ? 趋向光源 S 运动。 由 S 发出的光经小孔射出后成锥形光束,随着离开光源距离的增大,其横截 面积逐渐扩大。若距 S 的距离为 L 处光束的横截面正好是半径为 R 的圆面, 如图 12 一 4 所示。

r R 则有 ? l L Rl 可得 L ? r



设想车厢足够长,并设想在车厢前端距 S 为 L 处 放置一个半径为 R 的环,相对车厢静止,则光束 恰好从环内射出,当挡板运动到与此环相遇时, 挡板就会将光束完全遮住。此时,在车厢参考系 中挡板离光源 S 的距离就是 L。在车厢参考系中,初始时根据相对论,挡板 离光源的距离为 x A ? 1 ? ( ) 2 c

?



1 ? ( )2 ? L c 故出现挡板完全遮住光束的时刻为 t ?

?

?



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1 ? ( )2 c ? Rl 由①、③式得 t ? ? r?
(2)相对于地面参考系,光源与车厢以速度 ? 向挡板运动。光源与孔之间的 距离缩短为 l ? ? l 1 ? ( ) 2 c 而孔半径 r 不变,所以锥形光束的顶角变大,环到 S 的距离即挡板完全遮光 时距离应为 L? ?

?

?

Rl ? Rl ? ? 1 ? ( )2 r r c

初始时,挡板离 S 的距离为 xA,出现挡板完全遮住光束的时刻为

t? ?

x A ? L?

?

?

xA

?

?

Rl ? 1 ? ( )2 r? c

类型四、用反证法论证相对论中的能量计算的问题。 例 5.试从相对论能量和动量的角度分析论证: (1) 一个光子与真空中处于静止状态的自由电子碰撞时,光子的能量不可能 完全被电子吸收。 (2) 光子射到金属表面时, 其能量有可能完全被吸收并使电子逸出金属表面, 产生光电效应。 分析和解: (1)设电子处于静止状态时的质量为 m0,光子的频率为? ,假定 电子能完全吸收光子的能量,吸收光子后,电子以速度 ? 运动,则这一过程 应遵循动量守恒定律,有

h? ? c

m0? 1? ( ) c

?


2

碰撞后系统的总能量为 E ? mc 2 ?

m0 c 2 1? ( ) c

?


2

2 4 由①、②式消去 ? ,得 E ? m0 c ? h 2? 2



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碰撞前电子与光子的总能量为 E0 ? h? ? m0 c 2

④ ⑤

2 4 2 由③、④式有 E 2 ? E02 ? (m0 c ? h 2? 2) ? (h? ? m0 c 2) ? ?2h? m0 c 2 ? 0

这表明, 所假设的过程不符合能量守恒定律,因此这一过程实际上不可能发 生。 (2) 束缚在金属中的电子和射入金属的光子二者构成的系统在发生光电效应 的过程中动量不守恒, 只需考虑能量转换问题。设电子摆脱金属的束缚 而逸出,需要对它做功至少为 W(逸出功) ,逸出金属表面后电子的速 度为 ? ,入射光子的能量为 h? ,电子的静止质量为 m0,若能产生光电
? ? ? m c2 ? 0 ? m0 c 2 ? ? W 效应,则有 h? ? ? ? ? ? 1 ? ( )2 ? ? c ? ?



逸出电子的速度 ? 一般都比光速小很多,故有

1 1? ( ) c

?

? 1?
2

1 ?2 ? ??? 2 c2



忽略高阶小量,只取⑦式中的前两项,代入⑥式,可得到

h? ?

1 m0? 2 ? W 2



可见,只要 h? ? W ⑧式就能成立,光电效应就能产生。 类型五、有关相对论中的能量和动量计算的问题。 例 6. 一原子核基态的静质量为 M, 激发态比基态的能量高ΔE, 已知ΔE<<Mc2, 以致 (

?E 2 ) 项可以略去。 Mc 2

(1)试求下列两种情况下光子的频率: (a)该核处在基态且静止时吸收一个 光子; (b)该核处在激发态且静止时辐射一个光子。 (2)试论证:处在激发态的静止核所辐射光的光子,不能被处在基态的同类 静止核吸收。

h? 1 e k , e k 为一单位矢量,光子 c h? 被吸收后原子核的动量为 P1 ,则由动量守恒定律得 P1 ? 1 e k , c
分析和解: (1) (a)设光子被吸前的动量为

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2 2 2 2 即P 1 c ? h ?1 2 2 2 由能量守恒定律 ( Pc ? 1 ? Mc 2 1 ) ? ( Mc ? ?E ) ? h 2 2 2 两边平方 ( Pc ? 1 ? Mc 2 ) 2 1 ) ? ( Mc ? ?E ) ? ( h 2 2 2 2 2 代入 P ? 1 ? ?E (2Mc 2 ? ?E ) 1 c ? h ? 1 ,可得 2 Mc h

于是得到所求光子频率为? 1 ? (b)设发射的光子动量为 律得 P 2 ?

h? 2 2 e k ? 0 ,即 P22 c 2 ? h 2? 2 c

h? 2 e k ,发射后原子核的动量 P 2 ,则由动量守恒定 c

?E ?E (1 ? ) h Mc 2

由能量守恒定律 ( P2 c) 2 ? ( Mc 2 ) 2 ? h? 2 ? ( M ?

?E 2 )c c2

由以上两式得 2( Mc 2 ? ?E )h? 2 ? ?E (2 Mc 2 ? ?E ) 于是求得所求光子频率为? 2 ?

?E ?E (1 ? ) h Mc 2

(2)由上面的结果可见。处在激发态的静止核所辐射出的光子能量为

?E ) ,而处在基态的同类静止核所吸收的光子的能量为 Mc 2 ?E h? 1 ? ?E (1 ? ) ,因 h? 2 ? h? 1 ,故 h? 2 不能被吸收。 Mc 2 h? 2 ? ?E (1 ?
三、小试身手 1.在 2004 年 6 月 10 日联合国大会第 58 次会议上,鼓掌通过一项决议。决议摘 录如下: 联合国大会, 承认物理学为了解自然提供了重要基础, 注意到物理学及其应用是当今众多技术进步的基石, 确信物理教育提供了建设人类发展所必需的科学基础设施的工具, 意识到 2005 年是爱因斯坦科学发现一百周年, 这些发现为现代物理学奠定 了基础, I.??; II.??; III.宣告 2005 年为_________________年。

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2.爱因斯坦在现代物理学领域作出了很多重要贡献,试举出其中两项: _________________________________; ___________________________________。 2.超音速飞机的驾驶员相对地球以 ? ? 600m / s 的速度飞行。试问,他要飞行多 久,才能使他的表比地球上的钟慢 1 s?

3.在一以恒定速度 ? 沿平直轨道行驶的车厢中央有一旅客,已知他到车厢两端 A 和 B 的距离都是 L0,今旅客点燃一火柴,光脉冲以速度 c 向各个方向传 播,并到达车厢两端 A 和 B,试从车厢和地面两个参考系分别计算光脉冲 到达 A 和 B 的时刻。

4. 一根长为 l0 的棒, 静置在坐标系的 x? 、y? 平面内, 与 x? 轴成 ? 0 角 (图 13 一 5) , 相对实验室参考系 Oxy ,棒以速度 ? 沿 x 轴向右运动,求在此参考系中棒的 长度和取向。
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5.在 S 系中观察到在同一地点发生的两个事件,第二事件发生在第一事件之后 2s。在 S'系中观察到第二事件在第一事件后 3s 发生。求在 S'系中这两个事 件的空间距离。

4 6.一只装有无线电发射和接收装置的飞船,正以 c 的速度飞离地球。当宇航员 5
发射一无线电信号后,信号经地球反射,60 s 后宇航员才收到返回信号。 (1)在地球反射信号的时刻,从飞船上测得的地球离飞船多远? (2)当飞船接收到反射信号时,地球上测得的飞船离地球多远?

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7.两个静止质量都为 m0 的粒子以大小相等、方向相反的速度,互相接近并发生 完全非弹性碰撞,求碰撞后粒子的质量。

8. (1)一根长为 l0 、横截面积为 S 的匀质圆柱体。在地面上静止时测得其密度 为 ? 0 。当圆柱体沿轴线方向以速度 ? ? 0.9c 相对于地面做匀速运动时, 相对地面上的观测者再计算其密度 ? 等于多少?(c 为光速) (2)有一个电子,已知它的德布罗意波(物质波)是波长为 ? 、向 x 的正方 向传播的平面波。它的动量 Px 等于多少?它的坐标 x 如何?

9. ? 子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命 ? 0 ? 2.0 ? 10?6 s 。宇宙射线与 大气在高空某处发生核反应产生一批 ? 子,以 ? ? 0.99c 。的速度(c 为真空

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中的光速)向下运动并衰变。根据放射性衰变定律,相对给定惯性参考系, 若 t=0 时刻的粒子数为 N(0) ,t 时刻剩余的粒子数为 N(t) ,则有 式中 ? 为相对该惯性系粒子的平均寿命。 若能到达地面的 ? N (t ) ? N (0)e ? ? ,
t

子数为原来的 5 %,试估算 ? 子产生处相对于地面的高度 h。不考虑重力和 地磁场对 ? 子运动的影响。

10.在相对于实验室静止的平面直角坐标系 S 中,有一个光子,沿 x 轴正方向射 向一个静止于坐标原点 O 的电子。在 y 轴方向探测到一个散射光子。已知 电子的静止质量为 m0 , 光速为 c, 入射光子的能量与散射光子的能量之差等 于电子静止能量的

1 。 10

(1)试求电子运动速度的大小 ? 、电子运动的方向与 x 轴的夹角为θ;电子 运动到离原点距离为 L0(作为已知量)的 A 点所经历的时间为Δt。 (2)在电子以(1)中的速度 ? 开始运动时,一观察者 S'相对于坐标系 S 也 以速度 ? 沿 S 中电子运动的方向运动(即 S'相对于电子静止) 。试求 S' 测出的 OA 的长度。

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11.在北京正负电子对撞机中,电子可以被加速到动能为 Ek ? 2.8 ? 109 eV 。 (1)这种电子的速率和光速相差多少 m/s? (2)这样的一个电子动量多大? (3) 这种电子在周长为 240 m 的储存环内绕行时, 它受的向心力多大?需要 多大的偏转磁场?

12.一个质子的静质量为 mP ? 1.67265 ? 10?27 kg ,一个中子的静质量为

mn ? 1.67495 ? 10?27 kg ,一个质子和一个中子结合成的氘核的静质量 m0 ? 3.34365 ? 10?27 kg 。求结合过程中放出的能量是多少 MeV?这能量称为
氘核的结合能。它是氘核静能量的百分之几? 一个电子和一个质子结合成一个氢原子,结合能是 13. 58 eV,这一结合能量 是氢原子静能量的百分之几?已知氢原子的静质量为

mH ? 1.67323 ? 10?27 kg 。

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13.20 世纪 60 年代发现的类星体的特点之一是它发出极强烈的辐射。这一辐射 的能源机制不可能用热核反应来说明。 一种可能的巨大能源机制是黑洞或中 子星吞食或吸积远处物质时所释放的引力能。 (1) 1 kg 物质从远处落到地球表面上时释放的引力能是多少?释能效率(即 所释放能量与落到地球表面的物质的静能的比)又是多大? (2) 1 kg 物质从远处落到一颗中子星表面时释放的引力能是多少?(设中子 星的质量等于一个太阳的质量而半径为 10 km)释能效率又是多大?

14.一电子具有 0.51×106 eV 的静止能量,若使之加速,直至具有 4.59 ×106 eV 的动能。问该电子的总能量是多少?运动中电子的惯性质量是静止质量 mo 的多少倍?这时,该电子的速率是多大?

参考解答

1.国际物理年。相对论;光的量子性 2.5×1011s

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1? 1? L0 c ,t ? T c ? 3.对于车厢, t ? ,对于地面, ? t ? ? T t ? T A B A B ? ? c 1? 1? c c
4. l ? l0 1 ?

?

?

?2
c
2

cos 2 ? 0 ? tan ? ?

tan ? 0 1?

?2
c2

5. ?x? ? ?6.71? 108 m 6. (1)飞船上测量,地球离飞船距离 9 ? 109 m ; (2)地球上测量,飞船离地球距 离 2.7 ? 1010 m 7.

2m0 1?

?2
c2 h
,坐标 x 值不能确定。

8. (1) ? ? 5.26 ? 0 ; (2) Px ? 9. h ? 1.24 ? 104 m

?

2

10. (1) ? ? 0.42c , ? ? 36.10 , ?t ? 2.4

L0 , (2) L ? 0.91L0 c

11. (1)5.02m / s , (2) P ? 1.49 ? 10?18 kg ? m / s , (3) F ? 1.2 ? 10?11 N , B ? 0.25T 12.? D ? 0.12% ,? H ? 1.45 ? 10?6 % 13. (1) (?E ) E ? 6.3 ? 107 J ,? E ? 7 ? 10?8% ; (2) 1.3 ? 1016 J ,? ? 14 J 此释能效 率是太阳热核反应释能效率(0.69%)的约 20 倍。 14. E ? 5.10 ? 106 eV ,10 倍, ? ? 0.995c

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