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数系的扩充和复数的概念教案


§3.1.1 数系的扩充和复数的概念

教学目标: 1. 知识与技能:了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位 i 2. 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3. 情感、态度与价值观:理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚 数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念 教学重点:复数的概念,虚数单位 i,复数的分类(实数

、虚数、纯虚数)和复数相等等概念 是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点: 虚数单位 i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单 位 i 并同时规定了它的两条性质之后,自然地得出的.在规定 i 的第二条性质时,原有的加、 乘运算律仍然成立 教具准备:多媒体、实物投影仪 教学设想:生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说, 也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾, 分数解决了在整数集中不能整除 的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾. 教学过程: 学生探究过程: 数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等 劳动中,由于计数的需要,就产生了 1,2,3,4 等数以及表示“没有”的数 0.自然数的全 体构成自然数集 N 随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各 种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数 集 Q.显然 N Q.如果把自然数集(含正整数和 0)与负整数集合并在一起,构成整数集 Z,则 有 Z Q、N Z.如果把整数看作分母为 1 的分数,那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值, 例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果, 无法用有 理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有 理数集与无理数集合并在一起,构成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有 限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解 决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾, 分数解决了在整数集中不能整除的矛 盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是,数 集扩到实数集 R 以后,像 x2=-1 这样的方程还是无解的,因为没有一个实数的平方等于- 1.由于解方程的需要,人们引入了一个新数 i ,叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课: 1.虚数单位 i :
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(1)它的平方等于-1,即

i 2 ? ?1 ;

(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立. 2. i 与-1 的关系: i 就是-1 的一个平方根,即方程 x2=-1 的一个根,方程 x2=-1 的 另一个根是- i ! 3. i 的周期性: i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n=1
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4.复数的定义:形如 a ? bi (a, b ? R ) 的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部 全
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体复数所成的集合叫做复数集,用字母 C 表示*

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3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示, 即 z ? a ? bi(a, b ? R) , 把复数表示成 a+bi 的形式,叫做复数的代数形式
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4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系:对于复数 a ? bi(a, b ? R) ,当且仅当 b=0 时,复数 a+bi(a、b∈R)是实数 a;当 b≠0 时,复数 z=a+bi 叫做虚数;当 a=0 且 b≠0 时, z=bi 叫做纯虚数;当且仅当 a=b=0 时,z 就是实数 0.

5.复数集与其它数集之间的关系:N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个 复数相等 这就是说,如果 a,b,c,d∈R,那么 a+bi=c+di ? a=c,b=d 复数相等的定义是求复数值,在复数集中解方程的重要依据 一般地,两个复数只能 说相等或不相等,而不能比较大小.如 3+5i 与 4+3i 不能比较大小. 现有一个命题: “任何两个复数都不能比较大小” 对吗?不对 如果两个复数都是实数, 就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
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例 1 请说出复数 2 ? 3i,?3 ?

1 1 i,? i,? 3 ? 5i 的实部和虚部,有没有纯虚数? 2 3 1 1 3 ;虚部分别是 3, ,- , 2 3

答:它们都是虚数,它们的实部分别是 2,-3,0,-



1 5 ;- i 是纯虚数. 3

例 2 复数-2i+3.14 的实部和虚部是什么? 答:实部是 3.14,虚部是-2. 易错为:实部是-2,虚部是 3.14! 例 3(课本例 1)实数 m 取什么数值时,复数 z=m+1+(m-1)i 是: (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? [分析]因为 m∈R,所以 m+1,m-1 都是实数,由复数 z=a+bi 是实数、虚数和纯虚 数的条件可以确定 m 的值.

解:(1)当 m-1=0,即 m=1 时,复数 z 是实数; (2)当 m-1≠0,即 m≠1 时,复数 z 是虚数; (3)当 m+1=0,且 m-1≠0 时,即 m=-1 时,复数 z 是纯虚数. 例 4 已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x,y∈R,求 x 与 y. 解:根据复数相等的定义,得方程组 ?

?2 x ? 1 ? y , 5 ,所以 x= ,y=4 2 ?1 ? ?(3 ? y )

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巩固练习: 1.设集合 C= {复数} , A= {实数} , B= {纯虚数} , 若全集 S=C, 则下列结论正确的是( A.A∪B=C B. CS A=B C.A∩ CS B= ? D.B∪ CS B=C )

)

2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i 为虚数,则实数 x 满足( A.x=-

1 2

B.x=-2 或-

1 2

C.x≠-2

D.x≠1 且 x≠-2

3.已知集合 M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i} ,集合 P={-1,3}.M∩P={3} , 则实数 m 的值为( ) A.-1 B.-1 或 4 C.6 D.6 或-1 2 2 4.满足方程 x -2x-3+(9y -6y+1)i=0 的实数对(x,y)表示的点的个数是______. 5.复数 z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则 z1=z2 的充要条件是______. 6.设复数 z=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m)(m∈R),如果 z 是纯虚数,求 m 的值. 7.若方程 x2+(m+2i)x+(2+mi)=0 至少有一个实数根,试求实数 m 的值. 8.已知 m∈R,复数 z=

m(m ? 2) +(m2+2m-3)i,当 m 为何值时, m ?1
1 +4i. 2

(1)z∈R; (2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数;(4)z=

课后作业:课本第 106 页 习题 3.1 1 , 2 , 3 教学反思: 这节课我们学习了虚数单位 i 及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问 题,复数相等的充要条件,复平面等等.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实 数的性质, 对复数的知识有较完整的认识, 以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题
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复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们 采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史,让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要, 也是数学学科自身发展的需要;介绍数的概念的发展过程,使学生对数的形成、发展的历史 和规律,各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚 数的概念、复数的概念、复数的分类
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