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2013高三数学一轮复习资料--函数与导数


2013 一轮复习专题---- 函数、导数及其应用
一、选择题 1.(2012 北京)已知集合 A ? { x ? R | 3 x ? 2 ? 0} , B ? { x ? R | ( x ? 1)( x ? 3) ? 0} ,则 A ? B ? (A) ( ? ? , ? 1) (B) ( ? 1, ?
2 3 )

(C) ( ?

2 3

, 3)

(D) (3, ? ? ) (B)

2.(2012 广东)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A.y=ln(x+2) B.y=- x ? 1 C.y=(
1 2

)x

D.y=x+

1 x 5 2 ) =(A)

3 (2012 全国)设 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x ) = 2 x (1 ? x ) ,则 f ( ? (A) 1 2

(B) ?

1 4

(C)

1 4

(D)

1 2

4 函数 f(x)=x3+ax2+3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a= A.2 B.3 C.4 D.5

( D )

5.下列函数中,同时具有性质:(1)图象过点(0,1);(2)在区间(0,+∞)上是减函数;(3)是偶函数.这样 的函数是 A.y=x3+1 B.y=log2(|x|+2)
x

( C ) 1 C.y=( )|x| 2 ) D.y=2|x|

6 (2012 四川)函数 y ? a ? a ( a ? 0, a ? 1) 的图象可能是( C

2

7 .函数 f(x)=lg x 3 的大致图象是

( C

)

8 (2012 安徽)下列函数中,不满足: f (2 x ) ? 2 f ( x ) 的是(
( A) f (x) ? x (B ) f (x) ? x ? x

C )
(D ) f (x) ? ? x

(C ) f ( x ) ? x ? ?

第 1 页 共 6 页

1 1 9 .若函数 f(x)= x3+ f′(1)x2-f′(2)x+3,则 f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为 3 2 π A. 4 π B. 3 C. 2π 3 3π D. 4

( D )

10 当 x∈[n,n+1)(n∈N)时,f(x)=n-2,则方程 f(x)=log2x 根的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个

( B )

二、填空题

11(2012 广东).函数

的定义域为_________

12(2012 安徽)若函数 f ( x ) ? | 2 x ? a | 的单调递增区间是 [ 3 , ?? ) ,则 a =____-6____. 13(2012 上海)已知 y ? f ( x ) 是奇函数,若 g ( x ) ? f ( x ) ? 2 且 g (1) ? 1 ,则 g ( ? 1) ?
x ?1
2

14(2012 天津)已知函数 y ? 是

x ?1

的图像与函数 y ? kx 的图像恰有两个交点,则实数 k 的取值范围

. 0 ? k ? 1 或1 ? k ? 2 。

三、解答题 15(2012 安徽) 设 f ( x ) ? a e ?
x

1 ae
x

? b(a ? 0)

(I)求 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2 )) 的切线方程为 y ?
1 at
3 2
x 【解析】 (I)设 t ? e ( t ? 1) ;则 y ? a t ?

x ;求 a , b 的值。

? b ? y? ? a ?
1 at

1 at
2

?

a t ?1
2 2

at

2

①当 a ? 1 时, y ? ? 0 ? y ? a t ?

? b 在 t ? 1 上是增函数 1 a ?b

得:当 t ? 1( x ? 0 ) 时, f ( x ) 的最小值为 a ? ②当 0 ? a ? 1 时, y ? a t ?
1 at ?b? 2?b
x

当且仅当 a t ? 1( t ? e ? (II) f ( x ) ? a e ?
x

1 a

, x ? ? ln a ) 时, f ( x ) 的最小值为 b ? 2 1

1 ae
x

x ? b ? f ?( x ) ? a e ?

ae

x

第 2 页 共 6 页

1 2 ? 2 ? ae ? ?b?3 a ? 2 ? f (2 ) ? 3 2 ? ? ? ? ? ae e 由题意得: ? ? ? 3 ? ? ? f ? (2 ) ? ? ae2 ? 1 ? 3 ?b? 1 ? 2 2 ? ? ae 2 ? 2 ?

16.已知函数 f(x)=x4-4x3+ax2-1 在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减. (1)求 a 的值; (2)记 g(x)=bx2-1,若方程 f(x)=g(x)的解集恰有 3 个元素,求 b 的取值范围. 解:(1)f′(x)=4x3-12x2+2ax,因为 f(x)在[0,1]上递增,在[1,2]上递减,所以 x=1 是 f(x)的极值 点,所以 f′(1)=0, 即 4× 3-12× 2+2a× 1 1 1=0. 解得 a=4,经检验满足题意,所以 a=4. (2)由 f(x)=g(x)可得 x2(x2-4x+4-b)=0, 由题意知此方程有三个不相等的实数根, 此时 x=0 为方程的一实数根,则方程 x2-4x+4-b=0 应有两个不相等的非零实根, 所以 Δ>0,且 4-b≠0, 即(-4)2-4(4-b)>0 且 b≠4, 解得 b>0 且 b≠4, 所以所求 b 的取值范围是(0,4)∪(4,+∞). 17. (2012 北京)已知函数 f ( x ) ? ( x ? k ) e .
x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间[0,1]上的最小值.
3 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? ( x ? k ? 1) e .

令 f ?? x ? ? 0 ,得 x ? k ? 1 .
f ( x ) 与 f ? ( x ) 的情况如下:

x
f ?( x ) f (x)

(? ?, k ? k ) —— ↗

k ?1

( ( k ? 1, ?? ) + ↗

0
?e
k ?1

所以, f ( x ) 的单调递减区间是( ? ? , k ? 1 ) ;单调递增区间是 ( k ? 1, ?? )
第 3 页 共 6 页

(Ⅱ)当 k ? 1 ? 0 ,即 k ? 1 时,函数 f ( x ) 在[0,1]上单调递增, 所以 f (x)在区间[0,1]上的最小值为 f ( 0 ) ? ? k ; 当 0 ? k ? 1 ? 1, 即1 ? k ? 2 时, 由(Ⅰ)知 f ( x ) 在[0, k ?1] 上单调递减,在 ( k ? 1,1] 上单调递增,所以 f ( x ) 在区间[0,1]上的 最小值为 f ( k ? 1) ? ? e
k ?1



当 k ? 1 ? t , 即 k ? 2 时,函数 f ( x ) 在[0,1]上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间[0,1]上的最小值为 f (1) ? (1 ? k ) e .

1 18 已知函数 f(x)=ax+ 2(x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[3,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 解:(1)定义域(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 1 当 a=0 时,f(x)= 2,满足对定义域上任意 x,f(-x)=f(x),∴a=0 时,f(x)是偶函数; x 当 a≠0 时,f(1)=a+1,f(-1)=1-a, 若 f(x)为偶函数,则 a+1=1-a,a=0 矛盾; 若 f(x)为奇函数, 则 1-a=-(a+1),1=-1 矛盾,∴当 a≠0 时,f(x)是非奇非偶函数.
1 1 (2)任取 x1>x2≥3,f(x1)-f(x2)=ax1+ 2-ax2- 2 x1 x

2

=a(x1-x2)+

x 2 ? x1
2

2

x1 x 2

2

2

=(x1-x2)(a-

x1 ? x 2 x1 x 2
2 2

).

∵x1-x2>0,f(x)在[3,+∞)上为增函数, ∴a>
x1 ? x 2 x1 x 2
2 2

,即 a>
1

1 x1 x 2
2



1 x1 x 2
2

在[3,+∞)上恒成立.



1 x1 x 2
2



2 < , 27 x1 x 2
2

2 ∴a≥ . 27

第 4 页 共 6 页

19(2012 天津)已知函数 f ( x ) ?

1 3

x ?
3

1? a 2

x ? ax ? a ,x
2

其中 a>0.

(I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)若函数 f ( x ) 在区间(-2,0)内恰有两个零点,求 a 的取值范围; (III) a=1 时, 当 设函数 f ( x ) 在区间 [ t , t ? 3 ] 上的最大值为 M , (t) 最小值为 m (t) g(t)=M(t)-m(t), ,记 求函数 g(t)在区间 [ ? 3 , ? 1] 上的最小值。

20

解: (?)由 ?1 ,c ? 为公共切点可得:?
f ( x ) ? a x ? 1( a ? 0 )
2

,则 f ?( x ) ? 2 a x , k 1 ? 2 a ,
第 5 页 共 6 页

g ( x ) ? x ? bx
3

,则

2 f ? ( x )= 3 x ? b

, k2

?3?b



? 2a ? 3 ? b ?

又 f (1) ? a ? 1 , g (1) ? 1 ? b ,
? a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b ,代入①式可得: ?
?a ? 3 ?b ? 3
2



(2)? a 2 ? 4 b ,? 设 h ( x ) ? 则 h ?( x ) ?
3x ? 2ax ?
2

f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ?
3

1 4

a x ?1
2

1 4

a

2

,令 h ? ( x ) ? 0 ,解得: x1

? ?

a 2

, x2

? ?

a 6



? a ? 0 ,? ?
? ?

a 2

? ?

a 6

, 单调递增,在 ? ?
? ? a 2 ,? a? ? a ? ? 单调递减,在 ? ? ,? ? ? 6? 6 ? ?

? 原函数在 ? ? ? , ?
a 2

a? ? 2?

上单调递增

①若 ? 1≤ ②若 ?
a 2

?

,即 a≤ 2 时,最大值为 h (1) ? a ?
a 6

a

2


a? ? ?1 2?

4

? ?1 ? ?

,即 2 ?

a?6

时,最大值为 h ? ?
? ? ?

?

③若 ? 1≥

?

a 6

时,即 a≥ 6 时,最大值为 h ? ?

a? ? ?1. 2?

综上所述: 当 a ? ? 0 ,2 ? 时,最大值为 h (1) ? a ?
a
2

4

;当 a ? ? 2 , ? ? ? 时,最大值为 h ? ?
?

?

a? ? ?1. 2?

第 6 页 共 6 页


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