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2015-2016学年广东仲元中学高二(上)期末数学试题(解析版)


2015-2016 学年广东仲元中学高二(上)期末数学试题
一、选择题 1.已知集合 A ? x x ≤ 1 ,集合 B ? Z ,则 A∩B ? ( A.

?

?

) D.

?0?

B. x ?1 ≤ x ≤ 1

?

?

C.

??1,0,1?

?
【答案】C 【解析】试题分析:集合 A?

?x

x≤1 ?? x | ?1 ? x ? ?1 , 集 合 B ? Z ,

?

A∩B ? ?x | ?1 ? x ? 1? ? Z ? ??1,0,1? 所以应选 C.
【考点】集合的基本运算. 2.命题“ ?x0 ? (0, ?), lnx 0 ? x0 ?1 ”的否定是( A. ?x0 ? (0, ?),lnx 0 ? x0 ? 1 C. ?x ? (0, ?),lnx ? x ? 1 )

B. ?x0 ? (0, ?),lnx 0 ? x0 ? 1 D. ?x ? (0, ?),lnx ? x ? 1

【答案】C 【解析】 试题分析: 由特称命题的否定为全称命题可知, 所求命题的否定为 ? x ? (0, ??) ,
ln x ? x ? 1 ,故应选 C .

【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定,其解题的关键是正确理解并识记其否定的 形式特征.先把存在量词 (或全称量词) 改为全称量词 (或存在量词) , 再否定结论即可; 扎根基础知识,强调教材的重要性,充分体现了教材在高考中的地位和重要性,考查了 基本概念、基本规律和基本操作的识记能力. 【考点】含一个量词的命题的否定.
2 3.实数 m 是 ?0,6? 上的随机数,则关于 x 的方程 x ? mx ? 4 ? 0 有实根的概率为(



A.

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

【答案】B
2 2 【解析】试题分析:要使关于 x 的方程 x ? mx ? 4 ? 0 有实根,则 ? ? (? m) ? 16 ? 0 ,

解得 m ? 4或m ? ?4 ,实数 m 是 ?0,6? 上的随机数,所以 m ??4,6? ,则关于 x 的方程

x2 ? mx ? 4 ? 0 有实根的概率为
【考点】几何概型.

6?4 1 ? ,所以选 B. 6 ?0 3

4.已知 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 A. 2 【答案】C 【 解 B. 6

?

?

?

?

? ? ? ,那么 4a ? b 等于( 3
C. 2 3



D. 12





















第 1 页 共 12 页

? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? 4a ? b ? (4a ) 2 ? 8a ? b ? b 2 ? 16a 2 ? 8 | a | ? | b | cos ? | b |2 ? 16 ? 8 ? 4 ? 12 ,所以 3 ? ? 4a ? b ? 12 ? 2 3 .
【考点】向量模的运算. 5.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) 2 A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=x +1 【答案】A 2 【解析】试题分析:函数 A.y=cosx ;B.y=sinx; C.y=lnx;D.y=x +1 中,是偶函 2 2 数的是 A.y=cosx ;D.y=x +1 函数 D.y=x +1 恒大于等于 1,不存在零点,所以应选 A. 【考点】函数的零点及奇偶性. 6.已知正数组成的等比数列 ?an ? ,若 a1 ? a20 ? 100 ,那么 a7 ? a14 的最小值为( A. 20 【答案】A B. 25 C. 50 D.不存在 )

【解析】试题分析:在正数组成的等比数列 ?an ? 中, 因为 a1 ? a20 ? 100 ,由等比数列 的性质可得 a1 ? a20 ? a4 ? a17 ? 100 ,那么 a7 ? a14 ? 2 a7 ? a14 ? 2 100 ? 20 ,当且仅 当 a7 ? a14 ? 10 取等号,所以 a7 ? a14 的最小值为 20. 【考点】等比数列的性质及基本不等式.
0.1 7.设 a ? ( ) , b ? lg(sin 2) , c ? log3 2 ,则 a, b, c 的大小关系是(

3 2



A. a>b>c 【答案】B

B. a>c>b

C. b>a>c

D. b>c>a

0.1 0 【 解 析 】 试 题 分 析 : a ? ( ) ? ( ) ?1

3 2

3 2

, b ? lg(sin 2) ? lg1 ? 0



?log3 1 ? log3 2 ? log3 3,?0 ? c ? 1 ,则 a, b, c 的大小关系是 a>c>b .
【考点】比较大小. 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )

(
A.

3 ? 2)? 2

B. (

3 ? 4)? 3

C. (

3 ? 2)? 6

第 2 页 共 12 页

D. (

3 ? 2)? 3

【答案】C 【解析】试题分析:由三视图可知该几何体是由一个圆柱和半个圆锥组成,圆柱的体积 为 ? ?12 ? 2 ? 2? , 半个圆锥的体积 ? ? ?12 ? 22 ? 1 ?

1 1 3 2

3 ? , 所以该几何体的体积 6

为 2? ?

3 3 ? 2)? 所以选 C . ??( 6 6

【考点】利用三视图求体积.

? ?y ? 2 9.已知实数 x , y 满足 ? ,若可行域内存在点使得 x ? 2 y ? a ? 0 成立,则 a 的 ? ?y ? x ?1
最大值为( A.-1 【答案】D ) B.1 C.4 D.5

【解析】试题分析:作出不等式对应的可行域,由 x ? 2 y ? a ? 0 可得 y ? 直线 y ?

1 a x ? , 平移 2 2

1 a x? , 2 2

当直线 y ?

1 a 1 a x ? 经过点 B 时,直线 y ? x ? 的截距最大,此时 a 最大,由 2 2 2 2

?y ? 2 ?x ? 1 ,解得 ? B(1, 2) ,此时 a 的最大值是 a ? x ? 2 y ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 ? ? y ? x ?1 ?y ? 2
所以选 D. 【考点】线性规划. 2 10. 已知条件 p:x -2x-3<0,条件 q:x>a,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取 值范围为( ) A.a>3 B.a≥3 C.a<-1 D.a≤-1 【答案】D
2 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 x -2x-3 < 0 可 得 ?1 ? x ? 3 , 设 A ? ?x | ?1 ? x ? 3? ,

B ? ?x | x ? a? ,因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 A ? B且A ? B ,可得 a ? ?1 .
【考点】充分条件与必要条件. 第 3 页 共 12 页

【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法 (1)命题判断法: 设“若 p,则 q”为原命题,那么: ①原命题为真,逆命题为假时,p 是 q 的充分不必要条件; ②原命题为假,逆命题为真时,p 是 q 的必要不充分条件; ③原命题与逆命题都为真时,p 是 q 的充要条件; ④原命题与逆命题都为假时,p 是 q 的既不充分也不必要条件. (2)集合判断法: 从集合的观点看,建立命题 p,q 相应的集合:p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x) 成立},那么: ①若 A?B,则 p 是 q 的充分条件;若 A?B 时,则 p 是 q 的充分不必要条件; ②若 B?A,则 p 是 q 的必要条件;若 B?A 时,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③若 A?B 且 B?A,即 A=B 时,则 p 是 q 的充要条件. (3)等价转化法: p 是 q 的什么条件等价于非 q 是非 p 的什么条件.

? 1 x ( ? ), x ? ?? 1,0? 11.若函数 f ( x) ? ? 4 ?4 x , x ? ?0,1? ?
A.

则f ?

?1 ?3

1 ?? ? f ? log 4 ? ? ? ( 3 ?? ?
D. 4



1 3

B. 3

C.

1 4

【答案】D

? 1 x ( 1 ? ), x ? ?? 1,0? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 因 为 f ( x) ? ? 4 , 因 为 log4 ? ? ? 1, 0 ? ,所以 3 ?4 x , x ? ?0,1? ?

1 1 1 1 log4 1 ?1 ? 1 ?? f(log 4 ) ? ( ) 3 ? 3 ,? f(log 4 ) ? 1, f (1) ? 41 ? 4 ,所以 f ? f ? log 4 ? ? ? 4, 3 3 3 4 3 ?? ?3 ?
答案为 D. 【考点】分段函数的应用.

x2 y 2 ? ? 1 的 右 支 上 一 点 , M , N 分 别 是 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 圆 和 12 . P 为 双 曲 线 9 16

( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 PM ? PN 的最大值为(
A.8 【答案】B 【解析】 试题分析: 在双曲线 B.9 C.10 D.7



x2 y 2 P为 ? ? 1 中,a ? 3, b ? 4, c ? 5, F 1 (?5,0), F 2 (5,0), 9 16
M, N 分 别 是
点 , 则

x2 y 2 ? ? 1 的 右 支 上 一 点 , 所 以 | PF 双曲线 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 6 9 16

( x ? 5)2 ? y 2 ? 4





( x ? 5)2 ? y 2 ? 1





第 4 页 共 12 页

| PM |?| PF 1 | ? | MF 1 |,| PN |?| PF 2 | ?| NF 2 |,?? | PN |? ? | PF 2 | ?| NF 2|



PM ? PN ?| PF1 | ? | MF1 | ? | PF2 | ? | NF2 |?| PF1 | ? | PF2 | ? | MF1 | ? | NF2 |? 6 ? 2 ?1 ? 9
所以 PM ? PN 最大值为 9. 【考点】双曲线的定义的应用.

二、填空题 13.在平面直角坐标系中,角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边过 点 P(?2,1) ,则 sin 2? 的值为________. 【答案】 ?

4 5

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 意 及 三 角 函 数 的 定 义 可 知

sin ? ?

1 (?2)2 ? 12

?

1 ?2 2 ,cos ? ? ?? 5 5 (?2)2 ? 12
1 ?2 4 ? ?? . 5 5 5







sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ?

【考点】三角函数的定义及二倍角公式. 14.已知曲线 y ? 【答案】2 【解析】试题分析: 函数 y ?

x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ? ,则切点的横坐标为________. 2 4

x2 ? 3 ln x 的定义域为 (0,?? ),设因为切点坐标 为 4

所以 y? ? ( x0 , y0 ) ,

x x 3 3 1 解得 x0 ? ?3 (舍去) 或 x0 ? 2 , ? ,? k ? y? |x ? x0 ? 0 ? ? ? , 2 x 2 x0 2

所以应填 2. 【考点】导数的几何意义. 15.已知直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? a ? ? 1 相交于 A,B 两点,且 ?ABC
2 2

为等腰直角三角形,则实数 a 的值为________. 【答案】1 或-1 【 解 析 】 试 题 分 析 : 设 AB 的 中 点 为 D , 由 题 意 可 得 CD=BD 且

CD2 ? BD2 ? BC 2 ? 1,? CD ?

2 2

, 圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? a ? ? 1 的 圆 心 坐 标 为
2 2

C (1, ?a ,所以 ) CD ?

| a ? a ? 1| a2 ? 1

?

2 ,解得 a ? ?1 . 2

【考点】直线与圆的位置关系. 第 5 页 共 12 页

16 . 三 棱 柱 ABC? A 1 ? 平面ABC, 所 有 顶 点 在 同 一 个 球 面 上 , 1 B 1 C 1 中 , AA
? ,则该球的表面积为________. AB ? 3, AC ? 4, AA ? BAC? 90 1 ? 2 6,

【答案】 49? 【解析】试题分析:由题意三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 是以 AB, AC , AA 1 为邻边长方体截 得的,其外接球是其长方体的外接球,其直径是长方体的对角线长为

7 32 ? 42 ? (2 6) 2 ? 7 ,所以 r ? 7,? s ? 4? ? ( ) 2 ? 49? ,所以应填 49? . 2
【考点】三棱柱外接球的体积. 三、解答题 17.在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 1 , a2 ? 2 ,前三项和 S3 ? 7 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)记 bn ? log 2 an , cn ?

1 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn . bn ?1 ? bn ? 2
n . n ?1

【答案】(Ⅰ) an ? 2n?1 ,(Ⅱ)

【解析】试题分析:(Ⅰ)由在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 1 , a2 ? 2 ,前三项和 S3 ? 7 可得

a2 ? a1q ? 2 ; S3 ? a1 (1 ? q ? q2 ) ? 7

从而求出得 a1 , q 可得数列 ?an ? 的通项公式

( Ⅱ ) 由(Ⅰ)数列 ?an ? 的通项公式 , 可得数列 ?bn ? 的通项公式,再由已知可得数列∴

?cn ? 的通项公式,由通项公式的特点,选择裂项求和求得数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .
试题解析:(Ⅰ)由 a2 ? a1q ? 2 ; S3 ? a1 (1 ? q ? q2 ) ? 7

? a1 ? 1 ? 得 ?q ? 2
所以 an ? 2n?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)中, an ? 2n?1 , bn ? log2 an ? log2 2n?1 ? n ?1 ∴ cn ?

1 1 1 1 ? ?( ? ) bn?1 ? bn? 2 n ? (n ? 1) n n ?1
1 2 1 2 1 3 1 n 1 1 n ) ?1? ? n ?1 n ?1 n ?1

∴ Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ?

【考点】求数列的通项公式及裂项求和法求数列的前 n 项和. 【方法点睛】 (1)观测数列的通项公式特点形式,看使用什么方法求和.使用裂项法求 第 6 页 共 12 页

和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项, 未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源和目的.(2)在做 题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简,这样给做题带来方便,掌握常见 求和方法,如分组转化求和,裂项法,错位相减. 18. 某同学用“五点法”画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ? 的图象时,列表并填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周期内

(I)请直接写出上表的 x1 、 x2 、 x3 ,并直接写出函数的解析式;

2 个单位得到函数 g ( x) 的图象, P 、 Q 分别为 3 函数 g ( x) 图象的最高点和最低点(如图) ,求 ?OQP 的大小.
(II)将 f ( x ) 的图象沿 X 轴向右平移 【答案】 (I) f ( x) ? 3sin(

?

x ? ) (II) ? =30o 2 3

?

【解析】试题分析: (I)将表中的数据代入 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ?

?
2

) 中,

得到关于 ? , ? 的方程组,求得 ? , ? 的值,得到函数的解析式,进一步求得 x1 、 x2 、 x3 的值; (II)将 f ( x ) 的图像平移得到函数 g ( x ) ?

3 sin

?
2

x , 求出图像的最高点和最低点

的坐标,再求出三角形 OPQ 的边长,利用余弦定理求得 ?OQP 的大小.

2 4 10 ? ? , x 2 ? , x3 ? , 所以f ( x) ? 3sin( x ? ) 3 3 3 2 3 ? 2 (II)将 f ( x ) 的图像沿 x 轴向右平移 个单位得到函数 g ( x ) ? 3 sin x 2 3
试题解析: (I) x1 ? ? 因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,所以 P(1, 3), Q(3, ? 3) 所以 OP ? 2, PQ ? 4, OQ ? 12,

? cos? ?

? OQ 2 ? PQ 2 ? OP 2 3 ,所以 ? ? ? 2OQ ? QP 2 6

【考点】求函数的解析式及余弦定理. 第 7 页 共 12 页

19 .某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以 ?160,180? , ?180, 200? ,

?200, 220? , ?220, 240? , ?240, 260? , ?260, 280? , ?280,300? 分组的频率分布直方
图如图.

(I)求直方图中 x 的值; (II)求月平均用电量的众数和中位数; (III)在月平均用电量为 ? 220, 240? ,? 240, 260? ,? 260, 280? ,? 280,300? 的四组用 户中, 用分层抽样的方法抽取 11户居民, 则月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户中应抽取 多少户? 【答案】 (I) 0.0075 , (II)230,224; (III)5 【 解 析 】 试 题 分 析 :( I ) 由 频 率 分 布 直 方 图 性 质 可 得

?0.002 ? 0.0095 ? 0.011? 0.0125 ? x ? 0.005 ? 0.0025? ? 20 ? 1 求出

x 的值

(II) 由频率分布月平均用电量的众数为最高矩形上端的中点可得中位数在 ? 220, 240? 内,设中位数为 a ,由 ? 0.002 ? 0.0095 ? 0.011? ? 20 ? 0.0125? ? a ? 220? ? 0.5 得解; (III)通过计算各段用户分别为 25,15,10,5,抽取比例 ? 月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户中应抽取 25 ? 试题解析: (I)由 ? 0.002 ? 0.0095 0.011 ? 0.0125 ?

11 1 ? ,可得 25 ? 15 ? 10 ? 5 5

1 ? 5 户. 5

?0.005 x? 0.0025 ? 20 ? ?1 ?

得:

x ? 0.0075 所以直方图中 x 的值 0.0075 . 220 ? 240 ? 230 ; (II)月平均用电量的众数是 2
因 为 ? 0. 002 ? 0. 0095 ?

0.?011 ? ?20
设 中

,所 以 0. ? 45 0. 5月 平 均 用 电 量 的 中 位 数 在 位 数 为

?220, 240?
?0
? . 0





a
5 ?





0?

?2

0 ?

?.a

?0

?

0 得: ? 9

0

.?

0

1

1

第 8 页 共 12 页

a ? 224 ,所以月平均用电量的中位数是 224 .
(III)月平均用电量为 ? 220, 240? 的用户有 0.0125 ? 20 ?100 ? 25 户,月平均用电量 为 ? 240, 260? 的用户有 0.0075 ? 20 ? 100 ? 15 户, 月平均用电量为 ? 260, 280? 的用户有

0.005 ? 20 ?100 ? 10 户,月平均用电量为 ? 280,300? 的用户有 0.0025 ? 20 ?100 ? 5
户,抽取比例 ?

11 1 ? , 25 ? 15 ? 10 ? 5 5 1 ? 5 户. 5

所以月平均用电量在 ? 220, 240? 的用户中应抽取 25 ? 【考点】频率分布直方图及分层抽样.

20.如图,四棱锥 ? ? ??CD ,底面 ?? CD 是 ???C ? 60? 的菱形,侧面 ??D 是边 长为 2 的正三角形,且与底面 ABCD 垂直, ? 为 ? C 的中点.

(I)求证: ?C ? ?D ; (II)求直线 DM 与平面 ??C 所成的角的正弦值. 【答案】 (I)证明见解析; (II)

2 6 5

【解析】试题分析:证明线线垂直常用线面垂直,证明线面垂直的方法:一是线面垂直 的判定定理;二是利用面面垂直的性质定理;三是平行线法(若两条平行线中的一条垂 直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面.解题时,注意线线、线面与面面关系的相 互转化.或定义法利用线面垂直的判断定理证明线面垂直,条件齐全,证明线线垂直时, 要注意题中隐含的垂直关系, 如等腰三角形的底边上的高, 中线和顶角的角平分线合一、 矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等. 试题解析: (I)取 ?D 中点 ? ,连接 ?? , ? C , ? C , 由题意可知 ???D , ??CD 均为正三角形. 所以 ?C ? ?D , ?? ? ?D . 又 ?C ? ?? ? ? , ?C ? 平面 ??C , ?? ? 平面 ??C , 所以 ?D ? 平面 ??C , 又 ?C ? 平面 ??C , 所以 ?C ? ?D . (II)方法 1:由(1)可知 ?? ? ?D , 又平面 ??D ? 平面 ?? CD ,平面 ??D ? 平面 ??CD ? ?D , ?? ? 平面 ??D , 所以 ?? ? 平面 ?? CD .即 ?? 为三棱锥 ? ? ?CD 的高. 在 Rt???C 中, ?? ? ?C ? 3 , ?C ? 在 ???C 中, ?? ? ?C ? 2 , ?C ?

6

6,

第 9 页 共 12 页

边 ? C 上的高 ?? ? ??2 ? ?? 2 ?

10 , 2

所以 ???C 的面积 S???C ?

1 1 10 15 . ?C ? ?? ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

设点 D 到平面 ??C 的距离为 h ,由 VD???C ? V???CD 得,

1 1 S ???C ? h ? S ??CD ? ?? , 3 3 1 又 S ??CD ? ? 2 3 ? 3 , 2
所以 ?

1 3

15 1 2 15 . ? h ? ? 3 ? 3 ,解得 h ? 2 3 5 2 15 . 5

故点 D 到平面 ??C 的距离为

设直线 DM 与平面 ??C 所成的角为 ?

h ? 则 sin ? ? DM

2 15 5 ?2 6, 5 10 2
2 6 . 5

所以直线 DM 与平面 ??C 所成的角的正弦值为

方法 2:用空间向量来计算. 【考点】线线垂直,直线与平面所成的角的正弦值. 【方法点睛】利用向量法证明立体几何问题:(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直 角坐标系,准确写出相关点的坐标,从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是 解题的关键.(2)证明证线线垂直,只需要证明直线的方向向量垂直; (3)把向量夹角的 余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4)空间向量将空间位置关系转化为向量运 算,应用的核心是要充分认识形体特征,建立恰当的坐标系,实施几何问题代数化.同 时注意两点:一是正确写出点、向量的坐标,准确运算;二是空间位置关系中判定定理 与性质定理条件要完备. 21.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? 1? 的左右焦点为 F1,F2,抛物线 C:y2=2px 以 F2 为焦 a2 a2 ?1

点且与椭圆相交于点 M(x1,y1) 、N(x2,y2) ,点 M 在 x 轴上方,直线 F1M 与抛物线 C 相切. (I)求抛物线 C 的方程和点 M、N 的坐标; (II) 设 A,B 是抛物线 C 上两动点,如果直线 MA,MB 与 y 轴分别交于点 P,Q.△MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线 AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值, 若不是说明理由. 【答案】 (1) (1,2) 、 (1,﹣2) ; (2)-1. 【解析】试题分析: (1)由椭圆方程可得 c ,从而得到椭圆两焦点坐标.又由抛物线 C 的焦点,可得 p 的值,可得抛物线 C 的方程,∵点 M 在抛物线 C 上,表示出直线 F1M 的 第 10 页 共 12 页

方程 代入抛物线得一元二次方程,由 F1M 与抛物线 C 相切,则△=0,
2 2

可得 M,N 的坐标.

y y (2)先设出 A( 3 , y3 ) , B( 4 , y 4 ) .写出则 k MA , k MB , 因为△MPQ 是以 MP,MQ 4 4
为腰的等腰三角形,可得 kMA=﹣kMB.可得 y3 ? y4 ? ?4 ,可得 kAB= ? ?1 的斜率为定值﹣1. 试题解析: (1)由椭圆方程得半焦距 c ? ∴椭圆焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) . 又抛物线 C 的焦点为 ( 所以直线 AB

a 2 ? (a 2 ? 1) ? 1 .

p ,0) ,∴ 2

,解得 p=2.

∴抛物线 C 的方程:y =4x. ∵点 M(x1,y1)在抛物线 C 上,∴ y1 ? 4x1 . 直线 F1M 的方程为 .
2

2

代入抛物线 C 得 y1 ( x ? 1) 2 ? 4x( x1 ? 1) 2 ,即 4 x1 ( x ? 1) 2 ? 4 x( x1 ? 1) 2 .
2

∴ x1 x 2 ? ( x1 ? 1) x ? x1 ? 0 ∵F1M 与抛物线 C 相切, ∴△= ( x1 ? 1) 2 ? 4x1 ? 0 , ∴x1=1. ∴M、N 的坐标分别为(1,2) 、 (1,﹣2) . (2)直线 AB 的斜率为定值﹣1.
2 2

2

y y 证明如下:设 A( 3 , y3 ) , B( 4 , y 4 ) . 4 4
则 k MA ?

2

2

y3 ? 2 y3 ?1 4
2

?

4 4 ,同理 k MB ? , y3 ? 2 y4 ? 2

∵△MPQ 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形, ∴kMA=﹣kMB.即 y3 ? y4 ? ?4 ∴kAB=

y 4 ? y3 y y4 ? 3 4 4
2 2

?

4 ? ?1 y3 ? y 4

所以直线 AB 的斜率为定值﹣1. 【考点】求抛物线方程及定值问题 22.已知函数 g ? x ? ?

x , f ? x ? ? g ? x ? ? ax . ln x
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(I)求函数 g ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值. 【答案】 (I) 当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 , 所以函数 g ( x) 的增区间是 (e,??) , 当0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 的单调减区间是 (0,1), (1, e) ;(II) 1 4 【解析】试题分析: (I)先求出函数 g ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1,??) , 再求出 g ?( x ) , 由 g ?( x) ? 0 ,得到函数 g ( x) 的增区间,由 g ?( x) ? 0 ,可得函数 g ( x) 的单调减区间 (II)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数, f ?( x) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立,可得当 x ? (1, ??) 时,

f ?( x)max ? 0 .
从而可得 a 的最小值 试题解析: (I)由已知得函数 g ( x) 的定义域为 (0,1) ? (1,??) ,

函数 g ?( x ) ?

ln x ? x ?

1 x ? ln x ? 1 , 2 (ln x) (ln x) 2

当 x ? e 时, g ?( x) ? 0 , 所以函数 g ( x) 的增区间是 (e,??) ; 当 0 ? x ? e 且 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,所以函数 g ( x) 的单调减区间是 (0,1), (1, e) , (II)因 f(x)在 (1, ??) 上为减函数,且 f ( x ) ?

x ? ax . ln x

1 ? a ? 0 在 (1, ??) 上恒成立. 故 f ?( x) ? ln x ?2 (ln x)
所以当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) max ? 0 .
1?a ?? 1 又 f ?( x) ? ln x ?2 ln x (ln x)

? ?

2

? 1 ?a ?? 1 ?1 ln x ln x 2

?

?a, ? ?1 4
2

故当 1 ? 1 ,即 x ? e2 时, f ?( x)max ? 1 ? a . 4 ln x 2 所以 1 ? a ? 0, 于是 a ≥ 1 ,故 a 的最小值为 1 . 4 4 4 【考点】函数的单调性及导数的关系,求参数的取值范围 【方法点睛】(1)函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函 数性质的基础,因此,我们一定要树立函数的定义域优先意识; (2)可导函数 f ?x ? 在 指定的区间 D 上单调递增 (减) , 求参数问题, 可转化为 f ??x ? ? 0 或f ??x ? ? 0 恒成立, 从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到. (3)对于恒成立的问题,常用到以下两个 结论: (1) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?max , (2) a ? f ?x?恒成立 ? a ? f ?x?min

?

?

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