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2014乌鲁木齐 理科数学试题参考答案及评分标准(最新)


乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 选项 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 A 8 D 9 A 10 D 11 A 12 A

1.选 B. 【解析】 ∵ A ? ? x ?1 ? x ? 1? ,?R B ? ? x x ? 0? , ∴ A ? ? ?R B ? ? ? x 0 ? x ? 1? . 2.选 B.【解析】∵
2i ?1 ? i ? 2i 2i ? ? ?1 ? i ,∴ 的实部为 ?1 . 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 1? i

3.选 D.【解析】∵ S5 ?

a1 ?1 ? q 5 ? 1? q

?

S 31 1 31 a1 , a3 ? a1 , ∴ 5 ? . 16 4 a3 4
x

4.选 C. 【解析】 由函数奇偶性定义得 y ? x3 , y ? tan x 是奇函数,y ? 2 是偶函数, ∵ y ? lg x 的定义域为 ? 0, ?? ? ,∴ y ? lg x 既不是奇函数,又不是偶函数. 5.选 A.【解析】由图可知, zmin ? 2 ? m ? 解得 m ? 3 .
m?3 ? 3, 4

6.选 C.【解析】该几何体的直观图,如图所示 可知, ?PAB, ?PBC, ?PAD 是直角三角形, ∵ PC 2 ? PA2 ? AC 2 ? 9 , PD2 ? PA2 ? AD2 ? 8 ,
CD 2 ? 5 , PD2 ? PC 2 ? CD2 , ?PCD 不是直角三角形.

7.选 A.【解析】∵图象经过点 P 1 ? ?1, 0 ? , P 2 ? 0,1? ,
?? ? ? ? k1? ? ?sin ? ?? ? ? ? ? 0 ? ∴? ,解得 ? ?, ? ? 2k2? ? ? ?sin ? ? 1 ? ? 2

由 ? ? 0, ? ?

?
2

及函数在区间 ? 0,1? 上是单调函数,可得 ? ? ? ?

?
2

,∴ T ? 4

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3 3 8.选 D.【解析】由题意知, C8 P ?1 ? P ? ? 5

1 5 5 1 2 3 2 C8 P ?1 ? P ? ,即 ?1 ? P ? ? P , 25 25

解得 P ?

5 5 (舍) ,或 P ? . 6 4
1 ,i ?1 2013

9.选 A.【解析】执行第一次运算时: a ? 2014, b ? ?
1 2013 ,b ? ,i ? 2 2013 2014 2013 执行第三次运算时: a ? , b ? 2014, i ? 3 2014 ∴输出 i ? 3

执行第二次运算时: a ? ?

10.选 D.【解析】设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,准线为 l0 ,分别过点 A, B 作直 线 l0 的 垂线,垂足分别为 M , N ,由抛物线定义,得 AB ? AF ? BF ? AM ? BN ?
xA ? p p ? xB ? ? xA ? xB ? p ? 2 xC ? p ? 8 .( C 是 AB 的中点) 2 2

11.选 A.【解析】设 AB, AC 中点分别为 M , N ,
???? ? ???? ? ???? 1 ??? ? ??? ? ???? ? 1 ? ???? ? ??? 则 OM ? AM ? AO ? AB ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? s ? AB ? t AC 2 ?2 ?

?

?

???? ???? ???? 1 ???? ??? ? ???? ? 1 ? ???? ??? ? ON ? AN ? AO ? AC ? s ? AB ? t ? AC ? ? ? t ? AC ? s AB 2 ?2 ?

?

?

???? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ???? 由外心 O 的定义知,OM ? AB, ON ? AC ,因此,OM ? AB ? 0 ,ON ? AC ? 0
? ???? ? ??? ? ? 2 ???? ??? ? ?? 1 ? ??? ?1 ? ??? ?? 2 ? s ? AB ? t AC ? ? AB ? 0 ,∴ ? 2 ? s ? AB ? t AC ? AB ? 0 ?① ? ? ? ?? ?

? ? 1 ? ???? 2 ???? ??? 同理: ? ? t ? AC ? s AC ? AB ? 0 ?② ?2 ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ∵ BC ? AC ? AB ,∴ BC ? AC ? AB

?

?

2

??? ? 2 ??? ? ??? ? ??? ?2 ? AC ? 2 AC ? AB ? AB

???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 1 ? ? ?③ ∴ AC ? AB ? 2 2 ?1 ? 2 s ? t ? 0 4 3 把③代入①②得 ? ,解得 s ? , t ? . 5 5 ? 4 ? s ? 8t ? 0

12.选 A.【解析】易知, f ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? x ? 0 ? 为增函数,
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∴若 0 ? a ? b ,则有 f ? a ? ? f ? b ? ,又 2a ? 2b ?3b ,∴ f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b , 即 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b 成立, ∴它的逆否命题:若 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b ,则 a ? b 成立;
g ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 2 x 在 ? 0, ln 2 ? 递增,在 ? ln 2, ?? ? 递减,

g ? x ?max ? g ? ln 2 ? ? ?2 ln 2 ; g ? x ? ? ? ??, ?2 ln 2?

3? ? ? 3 ? ? ? x ? ? ln ? e x ? 1? ? 3x 在 ? 0, ln ? 递增,在 ? ln , ?? ? 递减, 2? ? ? 2 ?

? ? x ?max ? ? ? ln ? ? 2 ln 2 ? 3ln 3 , ? ? x ? ? ? ??, 2ln 2 ? 3ln 3? ; 2
?

? ?

3?

当 y0 ? 2 ln 2 ? 3ln 3 时,方程 g ? x ? ? y0 有两解 x1 , x4 ,不妨设 x1 ? x4 ; 方程 ? ? x ? ? y0 也有两解 x2 , x3 ,不妨设 x2 ? x3 ; 又当 x ? 0 时, g ? x ? ? ? ? x ? ,∴ x1 ? x2 ? x3 ? x4 , 这样当 f ? a ? ? 2a ? f ? b ? ? 3b ? y0 时,就有 a ? b ,或 a ? b ,故,C. D.不正 确. 二、填空题 :共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 填 135 . 【 解 析 】 此 二 项 式 的 展 开 式 的 通 项 为
Tr ?1 ? C ? 3x ?
r 6 6?r 3 6? r ? 1 ? r 6?r 2 , ? ? ? C6 3 x ? x? r

3 令 6 ? r ? 0 , r ? 4 ,∴常数项为 T5 ? C64 32 ? 135 . 2 1 b 14.填 5 .【解析】根据题意得,此双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,∴ ? 2 , a 2

∴e ? 5 . 15. 填 1 . 【 解 析 】
? 1 ? ∵ ? ? 是 公 差 为 1 的 等 差 数 列 , ∴ ? an ? 1 ?

1 1 ? ? ? n ? 1? ?1 ? n , an ? 1 a1 ? 1

∴ an ?

1 n ?1 n ?1 ,∴ lg an ? lg ?1 ? ? lg ? n ? 1? ? lg n n n n

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∴数列 ?lg an ? 的前 9 项和为 S9 ? ? lg 2 ? lg1? ? ? lg 3 ? lg 2 ? ? ? ? ? lg10 ? lg 9 ? ? 1 .
?3 3 ? 16.填 ? , ? . 【解析】如图,设 P ? ABCD 的外接球的 ?4 2 ?

球心 为 G ,∵ A, B, C, D 在球面上, ∴球心在正方体 ABCD? A 1 B 1 C 1 D 1 上下底面中心连线
O1O 上,点 P 也在球上,∴ GP ? GA ? R

∵棱长为 1,∴ OA ?

2 ,设 O1 P ? x, O1G ? y , 2

则 OG ? 1 ? y ,在 Rt ?GO1P 中,有 R 2 ? x 2 ? y 2 ?①,

? 2? 3 2 在 Rt ?GOA 中, R ? ? ?②,将①代入②,得 x 2 ? ? 2 y , ? 2 ? ? ? ?1 ? y ? 2 ? ?
2

2



0? x?

2 2


2 y ? ? ?



1 3 ? y? 2 4





R2 ?

?

3 ? x2 ? 2 ? 2

?

2

9 ?3 3 ? 3 ? 1 ? 2 ,于是 ? ? 1? y ? y R?? , , ?y. 1 ? 4 2 6? ? 2 ?

4

三、解答题 17.(12 分)
a 2 ? b2 ? c2 ? ? 0 ,∴ ? C ? ? ,故 ? ? 2C ? 2? (Ⅰ)∵ a ? b ? c ,∴ cos C ? 2ab 2
2 2 2

?? 1 1 4? 2? ? 由 sin ? 2C ? ? ? ,得 cos2 C ? ? ,∴ 2C ? ,即 C ? ; 2? 2 3 2 3 ?
6分
?? ? sin A ? sin ? ? A ? 1 sin A ? 3 cos A a ? b sin A ? sin B ?3 ??2 2 ? ? (Ⅱ) 2? c sin C 3 sin 3 2
? 2 ?? ? sin ? A? ? 3? 3 ?

?

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由C ?

3 ?? 2? ? ? ? 2? ? ? sin ? A ? ? ? 1 ,知 0 ? A ? ,故 ? A ? ? ,∴ 2 3? 3 3 3 3 3 ?



2 3 a?b 2 a?b 2 ? ? ? , 即1 ? ? 3 c c 3 3 2 3

?

12 分 18.(12 分) 如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2, 则有 A ? 0, 0, 0 ? , B ? 2, 0, 0 ? , C ? 2, 2, 0 ? , D ? 0, 2, 0 ? ,
E ?1, 0, 0 ? , B1 ? 2, 0, 2 ?
???? ??? ? (Ⅰ) B1 E ? ? ?1, 0, ?2 ? , ED ? ? ?1, 2, 0 ? ,

设平面 B1 ED 的法向量 n1 ? ? a, b, c ? ,

???? ? n ? ? a ? 2c ? 0 ? B1 E ? 0 则 ? 1 ??? ,即 ? ,取 a ? 2 ,则 b ? 1, c ? ?1 , n1 ? ? 2,1, ?1? ? a ? 2 b ? 0 ? n ? ED ? 0 ? ? 1 ??? ? 设 P ? 2, ? , 2 ? ? ? ,则 PB ? ? 0, ?? , ? ? 2 ?
??? ? ??? ? ∵ PB ? 平面 B1 ED ,∴当且仅当 n1 ? PB ,即 n1 ? PB ? 0 时, PB ∥平面

B1 ED

∴ ?? ? ? ? ? 2 ? ? 0 , ? ? 1 ,∴ P ? 2,1,1? , 即
B1 ED ;

P



B1C





点 ?6 分





PB







???? ??? ? (Ⅱ) B1 E ? ? ?1, 0, ?2 ? , EC ? ?1, 2, 0 ? ,设平面 B1 EC 的法向量 n2 ? ? x, y, z ?

???? ? ?x ? 2z ? 0 ?n2 ? B1E ? 0 n2 ? ? 2, ?1, ?1? 由 ? ??? , 得, , 取 x ? 2, 则 y ? z ? ?1 , ? ? ?x ? 2 y ? 0 ? ?n2 ? EC ? 0
设二面角 D ? B1E ? C 的平面角为 ? ,易知 0 ? ? ? ∴
cos ? ? n1 ? n2 2 ? . n1 n2 3

?
2



?12 分

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19.(12 分) (Ⅰ)工资薪金所得的 5 组区间的中点值依次为 3 000,5 000,7 000,9 000,11000 ,

x 取这些值的概率依次为 0.15, 0.3, 0.4, 0.1, 0.05 ,算得与其相对应的“全
月应纳税所得额”依次为 0,1500,3500,5500,7500 (元) ,按工资个税的计 算公式,相应的工资个税分别为: 0 (元) , , 1500 ? 3% ? 0 ? 45 (元) , 3500 ?10% ?105 ? 245 (元) , 5500 ? 20% ? 555 ? 545 (元) ; 7500 ? 20% ? 555 ? 945 (元) ∴该市居民每月在工资薪金个人所得税总收入为 ; ? 45 ? 0.3 ? 245 ? 0.4 ? 545 ? 0.1 ? 945 ? 0.05? ?106 ? 2.1325 ?108 (元) 分 (Ⅱ)这 5 组居民月可支配额 y 取的值分别是 y1 , y2 , y3 , y4 , y5
y1 ? 3000 (元) ; y2 ? 5000 ? 45 ? 4955 (元) ; y3 ? 7000 ? 245 ? 6755 (元) ; y4 ? 9000 ? 545 ? 8455 (元) ; y5 ? 11000 ? 945 ? 10055 (元) ;

?6

∴ y 的分布列为:
3000 4955 6755 8455 0.15 0.3 0.4 0.1 P ∴该市居民月可支配额的数学期望为:

y

10055 0.05

Ey ? 3000 ? 0.15 ? 4955 ? 0.3 ? 6755 ? 0.4 ? 8455 ? 0.1 ? 10055 ? 0.05

? 5986.75

(元) 20.(12 分)

?12 分

x2 y 2 (Ⅰ)已知直线直线 x ? y ? 1 ? 0 经过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的短轴端点 a b

? 0, b ?


和右焦点 F ? c, 0 ? ,可得 b ? c ? 1 ,∴ a 2 ? b2 ? c2 ? 2 椭 圆
C













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x2 ? y 2 ? 1; 2

?5 分

(Ⅱ)由椭圆 C 的方程可得右焦点为 F ?1, 0 ? ,因为直线 AB 的斜率为 k ,且直线 经过右焦点 F ,所以直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 1? , 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则点 D 的坐标为 ? x1 , ? y1 ?
2 x2 x12 2 2 ⑴当 k ? 0 时,因为点 B, D 在椭圆 C 上,∴ ? y2 ? 1, ? ? ? y1 ? ? 1 ?① 2 2 2 x12 ? x2 2 ? ? y12 ? y2 ? ? 0 ,依题意知 x1 ? x2 2

∴?

∴直线 BD 的斜率 k BD ?

y2 ? ? ? y1 ? x2 ? x1

?

1 x1 ? x2 2 y1 ? y2

则直线 BD 的方程为 y ? y2 ?

1 x1 ? x2 ? x ? x2 ? ?② 2 y1 ? y2

由①②得

? x1 ? x2 ? x ?
2

? y2 ? y1 ? y ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ?③ 2
2 x2 ?? k ? x ? 1? ? ?1, ? ? 2

把直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程得 即 ?1 ? 2k 2 ? x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ?④

4k 2 2k 2 ? 2 ∵ x1 , x2 是方程④的两个实数解,∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ?⑤ 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

又 y1 ? k ? x1 ? 1? , y2 ? k ? x2 ? 1? , ∴ y1 y2 ? k ? x1 ? 1? k ? x2 ? 1? ? k 2 ? ? x1 x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 1? ? ?⑥
2 ? 4k 2 ?k 2 2 ? 2k ? 2 y y ? k ? ? 1 ? 把⑤代入⑥得, 1 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 1 ? 2k 2 ?⑦ ? ?

4k 2 x 2k 2 ? 2 1 ?k 2 ? ? ? y2 ? y1 ? y ? ? ? ?1 把⑤⑦代入③得, 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2



2k 2 4k 2 x ? y ? y y ? ,令 y ? 0 ,解得 x ? 2 ? ? 2 1 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

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此时,直线 BD 过定点 ? 2, 0 ? ⑵当 k ? 0 时, 点 A, B 为椭圆 C 的长轴端点, 故点 D 与点 A 重合, 此时直线 BD 即为 x 轴,而 x 轴过点 ? 2, 0 ? ,则直线 BD 也过点 ? 2, 0 ? 综
, ?2 ? .


0









线



线 ?12 分

BD







21.(12 分) (Ⅰ)令 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ?
x3 , ? x ? 0? 3

则 g ? ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? x 2 ? e x ? e ? x ? 2 ? x 2 , g ?? ? x ? ? f ? x ? ? 2 x , ∵ g ??? ? x ? ? f ? ? x ? ? 2 ? e x ? e ? x ? 2 当 x ? 0 时, e x ? 0, e? x ? 0 ,∴ e x ? e? x ? 2 e x ? e ? x ? 2 ?① ∴ g ??? ? x ? ? 0 ,∴函数 y ? g ?? ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数, ∴ g ?? ? x ? ? g ?? ? 0 ? ? 0 ,即 f ? x ? ? 2 x ? 0 ?② ∴函数 y ? g ? ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数, ∴ g ? ? x ? ? g ? ? 0 ? ? 0 ,即 e x ? e? x ? 2 ? x 2 ?③ ∴函数 y ? g ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数, ∴ g ? x ? ? g ? 0? ? 0 , 即当 x ? 0 时,f ? x ? ? 2 x ? 6分 (Ⅱ)⑴当 a ? 2 时,∵ H ? x ? ? f ? x ? ? ax ∴ H ? ? x ? ? f ? ? x ? ? a ? e x ? e? x ? a ? 2 e x ? e? x ? a ? 2 ? a ? 0 ∴函数 y ? H ? x ? ? x ? R ? 为增函数, 当 x ? 0 时, H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 ,当 x ? 0 时, H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 , ∴当 a ? 2 时,函数 y ? H ? x ? 的零点为 x ? 0 ,其零点个数为 1 个
x3 成立; 3

?

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⑵当 a ? 2 时,∵对 ?x ? R , H ? ? x ? ? ? H ? x ? ∴函数 y ? H ? x ? 为奇函数,且 H ? 0 ? ? 0 ?④ 下面讨论函数 y ? H ? x ? 在 x ? 0 时的零点个数: 由(Ⅰ)知,当 x0 ? 0 时, e x0 ? e? x0 ? 2 ,令 a ? e x0 ? e? x0 ∴ H ? x ? ? f ? x ? ? ? e x0 ? e ? x0 ? x ? x ? 0 ? 则 H ? ? x ? ? f ? ? x ? ? ? e x0 ? e ? x0 ? , H ?? ? x ? ? f ?? ? x ? ? e x ? e ? x 当 x ? 0 时, e x ? 1,0 ? e? x ? 1 ,∴ e x ? e? x ? 0 ,∴ H ?? ? x ? ? 0 ∴函数 y ? H ? ? x ? ? x ? 0 ? 为增函数 ∴当 0 ? x ? x0 时,H ? ? x ? ? H ? ? x0 ? ? 0 ; 当 x ? x0 时,H ? ? x ? ? H ? ? x0 ? ? 0 ∴函数 y ? H ? x ? ? x ? 0 ? 的减区间为 ? 0, x0 ? ,增区间为 ? x0 , ?? ? ∴当 0 ? x ? x0 时, H ? x ? ? H ? 0 ? ? 0 ?⑤ 即对 ?x0 ? ? 0, x0 ? 时, H ? x ? ? 0 ?⑥ 又由(Ⅰ)知, H ? x ? ? f ? x ? ? ? e x0 ? e ? x0 ? x ? 2 x ?
? x2 ? ? x ? ? e x0 ? e ? x0 ? 2 ? ?3 ?

x3 ? e x0 ? e ? x0 x 3

?

?

?

?

2 ? 当 x0 ? 0 时,由③知 e x0 ? e ? x0 ? 2 ? x0

2 x0 ? 2 ,∴ 3 e x0 ? e? x0 ? 2 ? x0 3

?

?

故,当 x ? 3 e x0 ? e? x0 ? 2 ? 0 时,

?

?

x2 ? e x0 ? e ? x0 ? 2 ? 0 3

?

?

? x2 ? x ∴ ? ? e x0 ? e ? x0 ? 2 ? ? 0 ,即 H ? x ? ? 0 ?⑦ ?3 ?

?

?

由函数 y ? H ? x ? ? x ? x0 ? 为增函数和⑥⑦及函数零点定理知, 存在唯一 实数
x? ? x0 , 3 e x0 ? e? x0 ? 2 ? 使得 H ? x ? ? ? 0 ,又函数 y ? H ? x ? , x ? R 为奇 ? ?
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?

?

?

函数 ∴ 点. 函 数
y?

?H ? ,

? xR

x ,















?12 分

22.(10 分) (Ⅰ)∵ ?CDE ? ?ODB ? ?OBD 又∵ AC 与 ? O 切于点 A , AD 是弦,∴ ?DAE ? ?OBD ∴ ?CDE ? ?DAE ; ?5 分 (Ⅱ)∵ ?CDE ? ?CAD ,?C ? ?C ,∴ ?CDE ∽ ?CAD CD DE DE ∴ ,∴ CD ? AC ? ?① ? AC AD AD DE AE 而 ?ADE ∽ ?BAE ,∴ ?② ? AD AB AE 由①②得 CD ? AC ? AB 又∵ AC ? AB ,∴ AE ? CD . ?10 分 23.(10 分)
? x ? 2 cos ? (Ⅰ)曲线 C 的参数方程为 ? ,设 P ? 2 cos ? , 2sin ? ? , M ? x, y ? ? y ? 2sin ?

2 cos ? ? 2 ? x? ? cos ? ? 1 ? 2 ? 2 则? ,即 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 ? x ? 2? ; ? y ? 2sin ? ? sin ? ? ? 2

?5

分 (Ⅱ)设 M ? cos ? ? 1,sin ? ? ,
3? ? 2 ? cos ? ? 1 ? ? ? sin ? 2? ? 5 ? cos ? 1 4 ? ? . 2 5 ? 4 cos ? 2 ? cos ? ? 1 ? 3? ? sin 2 ?
2

则 10 分

ME MF

?

?

24.(10 分)
?7 ? 2x ? x ? 3? ? (Ⅰ)设函数 y ? x ? 3 ? x ? 4 ,则 y ? ?1 ? 3 ? x ? 4? ,画出其图象,可知 ? ?2 x ? 7 ? x ? 4?
ym i n ? 1 ,
乌鲁木齐地区 2014 年高三年级第一次诊断性测验理科数学参考答案及评分标准第 10 页(共 11 页)

要使不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? m 的解集不是空集,需且只需 m ? 1 ∴
M ? ?1, ?? ? ;

m









围 ?5 分







(Ⅱ)∵ a, b ? M ,∴ a ? 1, b ? 1 ∵ a ? b ? ? ab ? 1? ? ? a ? ab ? ? ? b ? 1? ? ? a ? 1??1 ? b ? ∵ a ? 1 ? 0,1 ? b ? 0 ,∴ ? a ? 1??1 ? b ? ? 0 , ∴ a ? b ? ab ? 1 . 10 分 以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分. ?

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2014年高考湖北理科数学试题及答案(word解析版)

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2014年高考新课标Ⅱ理科数学试题及答案(精校版)

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