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§5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形(1)——正弦定理和三角形面积公式(新)


高一数学【学案】

第五章《正弦定理、余弦定理和解斜三角形——正弦定理》

§ 5.6.1

正弦定理、余弦定理和解斜三角形(1)——正弦定理和三角形面积公式

1.掌握用两边及夹角正弦表示的三角形面积公式; 2.经历正弦定理 及其推导过程; .... 3.会初步应用正弦定理解决两类三角形的问题:①已

知两角和一边, 解三角形; ②已知两边及一边所对的角,解三角形.

问1

三角形面积公式有哪些?

问2

什么是正弦定理及其扩充定理?如何推导正弦定理?

问3

正弦定理能解决哪类三角形问题?

例 1(1)在 ?ABC 中,已知 b ? 8 , a ? 6 , C ? 60? ,求 S ? ABC .
(2)在 ?ABC 中,已知 b ? 8 , a ? 6 , S? ABC ? 12 3 ,求 C 的大小.

例 2(1)在 ?ABC 中, c ? 10, A ? 45? , C ? 30? ,求 a, b 和 B .
[说明]已知两角和一边, 解三角形.

(2)在 ?ABC 中, b ? 3, B ? 60 , c ? 1 ,求 a 和 A, C . [说明]已知两边及一边所对的角,解三角形.
0

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高一数学【学案】

第五章《正弦定理、余弦定理和解斜三角形——正弦定理》

[练习](1)在 ?ABC 中, a ? 7 , B ? 30? , C ? 85? ,求 c (精确到 0.01) (2)在 ?ABC 中, A ? 40? , B ? 80? , a ? 5 ,求 b 、 c 与 ?ABC 的面积.

例 3(1)在 ?ABC 中, A ? 30? , c ? 8 , a ? 5 ,求 C 、 B 和 b (结果保留两位小数). ? (2)在 ?ABC 中, A ? 30 , c ? 3 , a ? 5 ,求 C 、 B 和 b (结果保留两位小数).

例 4 如图所示,已知圆 O 是 ?ABC 的外接圆,直径为 2R ,试用 R 与 A 、 B 、 C 的三角比来表示三
角形的三条边长.
C

O A

B

例 5 设 R 是 ?ABC 的外接圆的半径, S ? 是 ?ABC 的面积,求证: abc (1) S? ? ; 4R 2 (2) S? ? 2 R sin A sin B sin C .

【简单应用】 例 6 在 ?ABC 中, b ? 14 , A ? 30? , B ? 120? ,求 a 及 ?ABC 的面积.

例 7(1)在 ?ABC 中, sin A : sin C ? 5 : 2, ?B ? 60? ,且 S ?ABC ? 90 3 ,求 a、c 的值;
sin 2 A ? 2sin 2 B (2)在 ?ABC 中,若 a ? 2b ? 3c ,求 . sin 2 C
2 2 2

例8

已知下列各三角形的两边及取一边的对角,先判断三角形是否有解?有解的解此斜三角形. (1) a ? 7 , b ? 8 , A ? 105 ; (2) a ? 10 , b ? 20 , A ? 60 ;
?

? (3) b ? 10 , c ? 5 6 , C ? 60 ;

? (4) a ? 2 3 , b ? 6 , A ? 30 .

例 9(1)在 ?ABC 中“ a ? b ”是“ sin A ? sin B ”的_______________条件. (2)在 ?ABC 中“ A ? B ”是“ sin A ? sin B ”的_______________条件.
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高一数学【学案】

第五章《正弦定理、余弦定理和解斜三角形——正弦定理》 对自己负责, 请写明过程!

1、在 ?ABC 中, b ? 8 , a ? b , S ? ? 12 3 ,则 ?C 的大小为_______________. 2、在 ?ABC 中, a ? 80, b ? 100, ?A ? 30 ,则 ?B 的度数是__________.
?

3、在 ?ABC 中, “ a ? b ”是“ sin A ? sin B ”的_______________条件. 4、在 ?ABC 中, a sin A ? b sin B ,则 ?ABC 的形状是__________. 5、在 ?ABC 中,方程 x ? x cos A cos B ? sin A sin B ? 1 ? 0 的两根之和与两根之积相等,
2

则 ?ABC 的形状是__________. 6、在 ?ABC 中, ?A ? 60 , a ? 4 ,则 (a ? b ? c) : (sin A ? sin B ? sin C ) ? __________ .
?

7、在 ?ABC 中, b ?

2, ?A ? 60? , ?C ? 75? ,则 a ? __________ .

8、半径为 1 的圆内接三角形的面积为

1 ,则三边之积, abc ? __________ . 4
) (每个选项都要对应一幅图)
?

9、按下列条件解 ?ABC 时,其中有唯一解的是: ( A. a ? 20, b ? 28, A ? 40 ;
?

B. a ? 18, b ? 20, A ? 150 ;

C. b ? 20, b ? 34, A ? 70 ;
?

D. b ? 60, c ? 50, B ? 45 .
?

10、等腰三角形 ?ABC 底边长为 20,面积为

100 3 ,求它的腰长和各内角的大小. 3

11、如图已知 ? O 是 ?ABC 的外接圆, ? O 的直径 2R ? 4cm , A ? 105 , B ? 30 ,
?
?

求a与c.
c a B O

A b C

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高一数学【学案】 12、在 ?ABC 中,证明:

第五章《正弦定理、余弦定理和解斜三角形——正弦定理》

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B . ? c2 sin 2 C

对自己负责, 请写明过程!

13、在 ?ABC 中,已知 a ? 2 3, b ? 6, ?A ? 30 ,求 ?B、?C 及 c 和 ?ABC 的面积.
?

14、在等腰 ?ABC 中, AB ? AC ? 5, BC ? 6 ,求此三角形的外接圆半径.

15、在 ?ABC 中, ab ? 4, S?ABC ? 1 且 sin A ? cos B ,求 ?ABC 的三个内角大小.

16、在 ?ABC 中,证明 a ? cos

2

C A 1 ? c ? cos 2 ? (a ? b ? c) . 2 2 2

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