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直线的方向向量和平面的法向量


直线的方向向量和 平面的法向量

前面,我们把

平面向量

推广到

空间向量

向量 渐渐成为重要工具

立体几何问题
( 研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几

何中的应用.
2

一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置

⑴点 在空间中,我们取一定点O 作
为基点,那么空间中任意一点 P 的位 ??? ? 置就可以用向量 OP 来表示,我们把 ??? ? 向量 OP 称为点 P 的位置向量.

P

O

一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置

⑵直线 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定.
对于直线 l 上的 P ,存在实数 t 任一点 ??? ? ??? ? 使得 AP ? t AB
? a

P B A

??? ? ? 或 AP ? ta

一、用向量来表示点、直线、平面在空间中 的位置

⑶平面 空间中平面 ? 的位置可以由? 内两
条相交直线(两个不共线向量)来确定.
对于平面 ? 上的任 一点 P ,存在有序实数 对 ( x, y) ,使得

? b

P
? a

? O

??? ? ? ? OP ? xa ? yb

为了用向量的方法研究空间的线面位置关系,我 们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的 “方向”呢?
1、直线的方向向量

l
?

? a

e

直线 l上的非零向量 e 以及与 e 共线的非零向量叫做直 线 l 的方向向量
6

?

?

例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
法1:
???? ? ????? ????? 1 ????? 1 ???? ? ∵ MN ? C1 N ? C1 M ? C1 B1 ? C1C 2 2 ? 1 ???? ? 1 ????? ???? ? ( D1 A1 ? D1 D ) ? DA1 , ???? ? ???? ? 2? ???? 2
D!
N A!

C! M

∴ MN ∥ DA1 ,∴ MN ∥ 平面A 1B D

B!

法2:

???? ? ????? ????? 1 ????? 1 ???? ? ∵ MN ? C1 N ? C1 M ? D1 A1 ? D1 D D C 2 2 ? ??? ? 1 ????? ???? ? 1 ??? ? ( DB ? BA) ? ( D1 A1 ? A1 D ) A B 2 2 ? 1 ???? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ? 1 ??? ? 1 ???? ? ??? ? 1 ??? ? DB ? DA1 ? ( BA ? DA) ? DB ? DA1 ? BD ? DA1 ? 0 ? BD 2 2 2 2 2 2 2

? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ???? 即MN可用 DA1与 DB 线性表示,故MN与 DA1 , DB

是共面向量,∴MN∥平面A1BD

二、平面的法向量

? (1)定义 如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂
直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记

? ? ? 作 n⊥ ? ,如果 n ⊥? ,那么向量 n 叫做平面

? 的法向量.
?

? n

二、平面的法向量 (2)理解

? n
?

1.平面的法向量是非零向量; 2.一个平面的法向量不是唯一的,其所 有法向量都互相平行;

? 3.向量 n 是平面? 的法向量, ?? ? ?? 若 m ∥? ,则有 n ? m ? 0

二、平面的法向量 (3)法向量确定平面的位置

给定一点A和一个向量 ? ,那 n 么过点A以向量 ? 为法向量的平面 n ? 是完全确定的.
n

?

A

二、平面的法向量

例2 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求证: ???? ? DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证:设正方体棱长为 1, ??? ? ???? ???? ? 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底, 建立如图所示空间坐标系 D ? xyz ??? ? ???? ? DB1 ? (1,1,1) , AC ? (?1,1,0) , ???? ? AD1 ? (?1,0,1) ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? DB1 ? AC ? 0 ,所以 DB1 ? AC , ???? ? ???? ? 同理 DB1 ? AD1 又因为 AD1 ? AC ? A ???? ? ???? ? 所 以 DB1 ? 平 面 ACD , 从 而 DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
12

例 3 已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平 面的一个法向量 ? 比 如 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 已 知 A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C (0, 0, 2) ,试求平面? ABC 的一个法 n ? (4, 3, 6) 向量. ? 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 n ? AB , n ? AC .∵ AB ? (?3,4,0) , AC ? (?3,0, 2) 3 ? y? x ?( x, y, z ) ? ( ?3,4,0) ? 0 ? ?3 x ? 4 y ? 0 ? ? 4 ∴? 即? ∴ ? ( x , y , z ) ? ( ? 3,0, 2) ? 0 ? 3 x ? 2 z ? 0 ? ? 3 ? z? x ? ? ? 2 取 x ? 4 ,则 n ? (4, 3,6) ? ∴ n ? (4, 3,6) 是平面 ABC 的一个法向量.

待定系数法求平面的法向量

13

问题:如何求平面的法向量? ? ⑴设平面的法向量为 n ? ( x, y, z )

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 ? ? 坐标 a ? (a1 , b1 , c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 )

⑶根据法向量的定义建立关于 x , y , z 的方程 ? ? ? ?n ? a ? 0 组 ?? ? ? ?n ? b ? 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
14

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
? ? ? ? 线线平行 l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ; ? ? ? ? 线面平行 l ∥ ? ? a ? u ? a ? u ? 0 ; ? ? ? ? 面面平行 ? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? kv .
注意:这里的线线平行包括线线重合,线 面平行包括线在面内,面面平行包 括面面重合.

三、用方向向量和法向量判定位置关系

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
? ? ? ? 线线垂直 l ⊥ m ? a ⊥ b ? a ? b ? 0 ;

三、用方向向量和法向量判定位置关系

线面垂直 l ⊥ ?

? ? ? ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

面面垂直 ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

例 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD 法3:建立如图所示的空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),
A! z D! N B! C!

M
C

? 设平面A1BD的法向量是 n ? ( x, y, z )

???? ? 1 1 A1(1,0,1),B(1,1,0).于是 MN ? ( ,0, ) 2 2
A x

D B

y

? ???? ? ? ??? ? ?x ? z ? 0 则 n ? DA1 ? 0且n ? DB ? 0, 得 ? x? y?0 ? ? 取x=1,得y=-1,z=-1, ∴ n ? (1, ?1, ?1)

???? ? ? ???? ? ? 1 1 又 MN ? n ? ( , 0, ) ? (1, ?1, ?1) ? 0,∴ MN ⊥ n 2 2 ???? ? ∴ MN ∥ 平面A1 BD

练习一
1.设

a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直

列条件,判断l1,l2的位置关系.

(1)a ? (2,?1,?2), b ? (6,?3,?6) (2)a ? (1,2,?2), b ? (?2,3,2) (3)a ? (0,0,1), b ? (0,0,?3)

平行

练习二
1.设

u, v

分别是平面α,β的法向量,根据 垂直 平行

下列条件,判断α,β的位置关系.

(1)u ? (?2,2,5), v ? (6,?4,4) (2)u ? (1,2,?2), v ? (?2,?4,4) (3)u ? (2,?3,5), v ? (?3,1,?4)

相交

练习三
1、设平面 ? 的法向量为(1,2,-2),平面 ? 的法向量为 4 (-2,-4,k),若 ? // ? ,则k= ;若 ? ? ? -5 则 k= 。 2、已知 l // ? ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面 ? -8 的法向量为(1,1/2,2),则m= .

3、若 l 的方向向量为(2,1,m),平面 ? 的法向量为 4 (1,1/2,2),且 l ? ? ,则m= .

课时小结

?? ?? ?? ?? 线线平行 l1 // l2 ? e1 // e2 ? e1 ? ? e2 ; ?? ?? ? ?? ?? ? 线面平行 l1 // ?1 ? e1 ? n1 ? e1 ? n1 ? 0 ; ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 面面平行 ?1 // ? 2 ? n1 // n2 ? n1 ? ? n2 . ? 设直线l的方向向量为e ? (a1 , b1 , c1 ), 平面?的 注意:这里的线线平行包括线线重合,线面平行 ? 法向量为 包括线在面内,面面平行包括面面重合 . ?n ? ? (a2 , b2 , c2 ),则 l // ? ? e ? n ? 0 ? a1a2 ? b1b2 ? c1c2 ? 0;

?? ?? 设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ?? ? ?? ? ?1 ,?2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则

一、平行关系:

二、垂直关系:

?? ?? 设直线 l1 , l2 的方向向量分别为 e1 , e2 ,平面 ?? ? ?? ? ?1 ,?2 的法向量分别为 n1 , n2 ,则
?? ?? ?? ?? 线线垂直 l1 ? l2 ? e1 ? e2 ? e1 ? e2 ? 0 ;
?? ?? ? ?? ?? ? 线面垂直 l1 ? ?1 ? e1 // n1 ? e1 ? ? n1 ;

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? 面面垂直 ?1 ? ?2 ? n1 ? n2 ? n1 ? n2 ? 0. ? ? 若e ? (a1, b1, c1 ), n ? (a2 , b2 , c2 ),则 ? ? ? ? l ? ? ? e // n ? e ? ? n ? a1 ? ?a2 , b1 ? ?b2 , c1 ? ?c2 .
? ? a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 ? 0时,e // n ? ? ? a2 b2 c2


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