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等比数列前n项和公式的推导和应用


复习:等比数列 {an}

(1) 等比数列:
(2) 通项公式: (3) 重要性质:
m+n=p+q

an+1 an =q (定值) an=a1?q n-1
an= am?qn-m an?am = ap?aq
这两个重要性质的 变化.应用可大哩! 你掌握了吗?

注:以上 m

, n, p, q 均为自然数

一、导入新课:
国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说。 国王要奖赏国际象棋的发明者,问他有什么要求,发明者 说:“请在棋盘的第一个格子里放上1粒麦子,在第2个 格子里放上2粒麦子,在第3个格子里放上4粒麦子,在 第4个格子里放上8粒麦子,依此类推,每个格子里放的 麦子数都是前一个格子里放的麦子数的2倍,直到第64 个格子。请给我足够的粮食来实现上述要求。”你认为国 王有能力满足发明者上述要求吗? 由于每个格子里的麦子数都是前一个格子里的麦子数的2倍, 且共有64个格子,所以各个格子里的麦粒数依次是:

1,2,22,23,…,263

二、新课讲解
即 S ? 1? 2 ? 2 ? 2 ??? 2 ,
2 3 63


64

2S ?

2 ? 2 ? 2 ??? 2

2

3

63

?2



②-①得 2S ? S ? 264 ? 1,

即 S ? 2 64 ? 1.

由此对于一般的等比数列,其前 n 项和

Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? ? a1qn?1 ,如何化简?

等比数列前n项求和公式
推导公式 已知: n 等比数列 { n}, 1,q,

a a

求:Sn
解:Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + 作 减 法

q n=a1q

s

(1-q)Sn=

Sn=

{

a -a q a 1-q )
1 1
1(

2 3 … n n-1 a 1 q a 1 q + a 1 q + + + + a1q

n n

n· a1

1-q

(q=1)

(q=1)
通项公式:

an=a1? q n-1

等比数列前n项求和公式 等比数列 {an} n a 1 (1 - q )

Sn=

Sn=

{a a aq {a
1-q

(q=1) (q=1)

n· 1
n

1-

a1q n

a1?qn-1?q
anq

1-q

(q=1) (q=1)

n· 1

去看看练习吧!
通项公式:

an=a1? q n-1

例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 1 1 , , ,? 2 4 8

(2)a1 ? 27, a9 ?

1 ,q ? 0 243

1 1 ,q ? (1) 因为 a1 ? 解: 2 2
Sn ? 1 2

所以当n ? 8时

8 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 255 1 256 1? 2

1 1 ? 27 ? q 8 ( 2) 由a1 ? 27 , a9 ? , 可得 : 243 243

又由q ? 0, 可得:

q??
Sn

于是当n ? 8时

8 ? ? 1? ? 27 ?1 ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 1640 ? 1 81 1 ? (? ) 3

1 3

例2、在等比数列?a n ? 中,求满足下列条件的 量 :
(1)a1 ? a3 ? 2, 求sn

1 (2)q ? 2, n ? 5, a1 ? .求an 和sn 2 (3)a1 ? 1,a n ? ?512 ,s n ? ?314.求q和n 1 1 a1 ? an q 解: ( 1 ) ? a ? a ? 2 2 ? q ? 2 , n ? 5 , a ? 1 3 ? ?1 (3)将a1 ? ,a 512 , S ? ? 341 代入 S ? 可得 n n n 1? q 2 2 2 n ?q ? 1 即q n ? ? 1 a 1 ? q ?1 1 说明: 在利用公式,一定要注 意 q的取值,应把它 代入a n1 ? a q , s ? 得: )q .1 ? 1 ( ?512 n 1 ? q ? ? .解得: q? ?2 S ? na ? 2n 当 q341 ? 1时,数列为常数列 2 , 2 , 2 , ? ,所以 n 1 1 作为第一要素来考虑。 1 ?q 4 4 a5 ? a1q ? ? 2 ? 8 n n 2n ?1 a1 (a 在五个变量 , q , n , a , S 中,只知三可求二, 1 ? q ) 2 [ 1 ? ( ? 1 ) ] (?2) n ?1 n 2 . 1 n n 因为 a ? a q , 所以 ? 512 ? 1 ? n时, 1 当q ? 1 ?1 S n5 ? 1?q ? 1?(?1) ? 1 ? (?1) 并且要根据具体题意, 选择适当的公式。 ? 1 ?10 2 解得: n ? 1 31 5 2 s5 ? ? ? 2 ?1 ? 1? 2 2 2

?

?

?

?

?

?

某商场今年销售计算机 5000 台,如果平均每年的销 售量 例3: 比上一年的销售量增加 10 %,那么从今年起,大约 几年 可使总销售量达到 30000 台(结果保留到个位) ?
分析:本例相当于在等 比数列?an ? ,求满足S n ? 30000 的n值。
解: 由题意可知,从今年起,每年的销售量成等比数列 a1 ? 5000 , q ? (1 ? 10%) ? 1.1, S n ? 30000

由公式得: 30000?
整理得 1.1n ? 1.6

5000 (1?1.1n ) 1?1.1

两边取对数,得 n lg1.1 ? lg1.6,

用计算器算得n ?

lg1.1 lg1.6

?

0.2 0.041

?5

答:从今年起,大约 5年可使总销售量达到 30000 台。

等比数列前n项和公式 你了解多少?

(1) 等比数列前n项和公式: 利用“错位相减法”推 n a1 (q=1) 导 n a1 (q=1) Sn= Sn= n

{

a1 (1 ? q ) (q=1)
1-q

{

a1 ? a n q
1-q

(q=1)

(2) 等比数列前n项和公式的应用: 1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提; 2.在使用公式时,要根据题意,适当选择公式。

1、求等比数列 1, x, x , x ,?的前n项和sn .
2、某家电厂去年的销售 量是a万台,计划在以后10内 每一年比上一年增加 10 %,问从今年起10年内该家电 厂的销售总量是多少万 台

2

3

3、 (1)在等比数列?an ? 中,a1 ? an ? 66, a2 an ?1 ? 128 , sn ? 126 , 求n、q (2)设等比数列?an ? 的前n项和为sn , 若sn ? 14, s2n ? 126 , 求s3n

1、求等比数列 1, x, x , x ,?的前n项和sn ?
解:由已知条件得, a1 ? 1, q ? x

2

3

? ? 1 时,S n ? 当 x ? 1 时,S n ? na1 ? n
当x
1? x n ? ? 1? x 所以S n ? ? ? ?n

1?(1? x n ) 1? x

1? x n 1? x

( x ? 1) ( x ? 1)

2、某家电厂去年的销售 量是a万台,计划在以后10内 每一年比上一年增加 10 %,问从今年起10年内该家电 厂的销售总量是多少万 台?
解:由题意得,从今年 起,每年家电厂的销售 总量组成等比数列。

a1 ? a(1 ? 10%) ? 1.1a,q ? 1 ? 10% ? 1.1,n ? 10

所以S10 ?

1.1a?(1?1.110 ) 1?1.1

? 1.1a (1.110 ? 1)

答:从今年起 10年内该家电厂的销售总 量是1.1a(1.110 ? 1)万台 .

3、 (1)在等比数列?an ? 中,a1 ? an ? 66, a2 an ?1 ? 128 , sn ? 126 , 求n、q
?a1 ? an ? 66 ?a1 ? an ? 66 ?1?? 解: ?? ?a2 an ?1 ? 128 ?a1an ? 128
2

?a1 ? 2 ?a1 ? 64 ? a1 , an是方程x ? 66x ? 128 ? 0的两根 解得: 或? ? ?an ? 64 ?an ? 2

? a1 ?a n ,? q ? 1

2?64 q 1? q



若a1 ? 2, an ? 64, 则sn ? ? 126,即q ? 2

a1 ? an q 1? q

? 126

又? an ? a1q n?1 ,? 64 ? 2 ? 2n?1 ,? n ? 6


若a1 ? 64, an ? 2, 则同理可得q ?

1 2

,n ? 6

综上所述, n ? 6, q ? 1 或2 2

(2)设等比数列?an ? 的前n项和为sn , 若sn ? 14, s2n ? 126 , 求s3n
解:若q ? 1, 则sn ? na1 ? 14, s2n ? 2na1 ? 126
矛盾 ?q ? 1 ?sn ? a1 1 ? q n ? 14 1? q ? ?? a ?s2n ? 1?1q 1 ? q 2n ? 126 ?

?

?

?

① ②

?

两式相比得: 1? qn ? 9 ? qn ? 8 a1 ① 代入 得: ? ?2 1? q

? s3n ?

a1 1?q

?1 ? q ? ?
3

a1 1?q

?1 ? q n 3 ? ? ?2 1 ? 83 ? 1022 ? ? ? ?

? ?

?

?


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