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对数函数图象课时1


北师大高中数学必修1第三章 指数函数与对数函数

对数函数图象和性质
1

一.教学目标:1.知识技能:①对数函数的概念, 熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的 性质,能初步运用性质解决问题.2.过程与方法:让 学生通过观察对数函数的图象,发现并归纳对数函数 的性质.3.情感、态度与价值观:①培养学生数形结 合的思想以及分析推理的能力;②培养学生严谨的科 学态度. 二.学法与教法 1.学法:通过让学生观察、思考、交流、发现函数 的性质;2.教法:探究交流,讲练结合。 三.教学重难点:1、重点:理解对数函数的定义, 掌握对数函数的图象和性质.2、难点:底数a对图象 的影响及对数函数性质的作用. 四.教学过程
2

抽象概括: y=logax(0<a≠1)在底数a>1及0<a<1,这两种情况下的图象和性质总结如 表3-10

a>1
3

0<a<1
2.5 2

3

2.5

2

1.5

1.5

1

1
-1

1

1

0.5

图 象

0.5

0

1

-0 .5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0 .5

1

2

3

4

5

6

7

8
-1

-1 .5

-1

-2

-1 .5
-2 .5

-2

-2 .5

过点(1,0),即当x=1时,y=0

定义域: 值域: 性 质
x ? (0,1)

(0,+∞)
( ??,??)
? y ?0
x ? (0,1)

x ? (1 ,??)

? y ?0
? y ?0

? y?0 增

x ? (1 ,??)

减 在(0,+∞)上是 函数
3

在(0,+∞)上是函数

探究:选取底数 a ( a >0,且 a≠1)的若干不同的值,在同一 平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象.观 察图象,你能发现它们有哪些特征吗?


作法:用多媒体再画出
y ? log 1 x
4

4

y ? log4 x

y ? log3 x 和

y ? log 1 x
3



2

y ? log4 x
y ? log3 x
5

-5

0
-2

y ? log 1 x
3

y ? log 1 x
4

提问:通过函数的图象,你能说出底数与函数图象的关系吗? 函数的图象有何特征,性质又如何? -4
4

例4 求下列函数定义域:
(1)y=㏒a x2
;

(2) y=㏒a (4-x)

解 (1)因为 x2 >0, 即x≠0,

所以函数的定义域为{x| x≠0 };
(2)因为4-x>0即x<4, 所以函数的定义域为{x| x<4}.

5

例5 比较下列各题中两个数的大小: (1)㏒25.3, ㏒24.7 (2) ㏒ 0.27,㏒0.29 (3) ㏒3 ∏ ,㏒∏ 3 (4) ㏒a 3.1,㏒a5.2 (a>0,a≠1) 解(1)因为2>1,函数y=㏒2 x是增函数, 5.3>4.7,所以 ㏒25.3>㏒24.7; (2)因为0<0.2<1,函数y=㏒0.2x是减函数, 7<9,所以 ㏒ 0.27>㏒0.29;
6

(3)因为函数y=㏒3x是增函数,∏>3 所以 ㏒3 ∏ > ㏒3 3 =1, 同理1= ㏒∏∏>㏒∏3,所以 ㏒3 ∏ >㏒∏ 3 ;
(4)(对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还 是小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大,因 此需要对底数a进行讨论) 当a>1时,函数y=㏒ax在(0, +∞)上为增函数,此时 , ㏒a 3.1<㏒a5.2 当0<a<1时函数y=㏒ax在(0, +∞)上为减函数,此 时, ㏒a 3.1>㏒a5.2
7

例3 比较下列各组中两个值的大小: ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 . 提示 : log aa=1 提示: log a1=0 解: ⑴ ∵ log67>log66=1 log76<log77=1

⑵ ∵

log3π>log31=0
log20.8<log21=0

∴ log67>log76



log3π>log20.8

说明:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小. 当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入 一 个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大 小
8

例6 观察在同一坐标系内函数y=㏒2x与 函数y=2x的图象,分析他们之间的关系
解 可以看出,点P(a,b)与点Q(b,a)关于直 线y=x对称。 函数 y=㏒2x与函数y=2x互为反函数, 对应于函数图象y=㏒2x上任意一点P(a,b), P点关于直线y=x的对称点Q(b,a)总在函数 y=2x图象上, 所以,函数y=㏒2x的图象与y=2x的图象关于 直线对称。

9

思考交流 (1)根据下表的数据(精确到0.01), 画出函数y=㏒2X y=㏒3X和y=㏒5X的图象并观察图象, 说明三个函数图象的相同与不同之处。
x y=㏒ 2X y=㏒ 3X … … … 0.5 -1 1 0 1.5 2 0.58 1 3 1.58 4 2 1.26 … … … 1000 … 9.73 … 6.29 …

-0.63 0

0.37 0.63 1

y=㏒ 5X



-0.43 0

0.25 0.43 0.68

0.86



4.29



10

(2)对数函数y=㏒ a x ,当底数a>1时,a变化对函 数图象有何影响? (3)仿照前面的方法,请你猜想,对数函数y=㏒ a X, 当0<a<1时,变化对函数图象有何影响?
结论 (1)相同点:都经过(1,0)点, 在(0,+∞)上单调递增,值域为R, x>1时y>0,0<x<1时y<0; 不同点:随着x的增大, 它们的函数值增加的快慢不一样。 (2)当底数a>1时,a越大函数图象越靠近x轴. (3)当0<a<1时, a越小函数图象越靠近x轴。
11

例7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象。 在考古工作中,常用14C的含量来确定有机物的年代, 已知放射性物质的衰减服从指数规律:C(t)=C0 e –r
t,

其中t表示衰减的时间, C0 放射性物质的原始质量, C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量。为了计算衰 减的年代,通常给出该物质衰减一半的时间,称其为 该物质的半衰期,14C的半衰期大约为5730年,由此 可确定系数r。人们又知道,放射性物质的衰减速度与 质量成正比。1950年在巴比伦发现一根刻Hammurbi 王朝字样的木炭,当时测定,其14C分子衰减速度为 4.09个(g/min),而新砍伐烧成的木炭中14C分子衰 减速度为6.68个(g/min),请估算出Hammurbi 王朝 所在年代。
12



14C的半衰期

为5730年,所以建立方程

1/2=e-5730r 解得r=0.000121,由此可知14C的衰减服从指数型函数 C(t)=C0 e -0.000121 t 设发现Hammurbi 王朝木炭的时间(1950年)为t0 年,放射性物质的衰减速度是与质量成正比的,所以 C(t0)/C0= 4.09/6.68 于是 e -0.000121 t0 = 4.09/6.68 两边取自然对数,得-0.000121 t0 =㏑ 4.09- ㏑6.68, 解得 t0 ≈4050(年) 即Hammurbi 王朝大约存在于公元前2100年。

13

小结:本节课学习了对数函数的定义、 图象和性质 ①对数函数的概念必要性与重要性; ②对数函数的性质,列表展现.

14



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