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一元二次不等式解法和集合(BK)


一元二次不等式解法和集合
一、 一元二次不等式的解法 (1) 将不等式的右端化为零,左端化为二次项系数大于零的不等式 ax2 ? bx ? c( a ? 0 ) 或

ax2 ? bx ? c( a ? 0 ) ;
(2)求出相应一元二次方程的根; (3)利用二次函数的图像与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集; (4)一元二次不等式的解集.

? ? b 2 ? 4ac

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

的图像

ax2 ? bx ? c ? 0 的根 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集
二、分式不等式的解法 (1)

x1, 2 ?

?b? ? 2a
2 1

x1 ? x2 ? ?

b 2a

?
R

?x x ? x 或x ? x ?
?x x
1

? x ? x2 ?

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ? ?

?

? f ( x) g ( x) ? 0(? 0) f ( x) f ( x) ? 0(? 0) ? f ( x) g ( x) ? 0(? 0) ; (2) ? 0(? 0) ? ? g ( x) g ( x) ? 0 g ( x) ?

三、分段不等式解法

? f ( x), x ? I1 ,若 f ( x) ? 0 ,则其解集为 D1 ? D2 ,其中 D1、D2 分别为 f 1 ( x ) 在 f ( x) ? ? 1 ? f 2 ( x), x ? I 2
I 1 与 f 2 ( x) 在 I 2 上的解集.

相关习题
一、解下列不等式 (1) 2 x ? x ? 1 ? 0 ;
2

(2) ( x ? 2)(1 ? x) ? 0 ; (5) x ? 3x ? 1 ? 0 ;
2

(3) ? x ? 2 x ? 15 ? 0 ;
2

(4) x ? x ? 1 ? 0 ;
2

(6) ? 2 ? x ? 3x ? 4 ;
2

(7)

x ?1 ?0; 3? x

(8) 2 ?

1 ; 1? x

(9) x 2 ? (2m ? 1) x ? m(m ? 1) ? 0 ; (11) x ? (a ?
2

(10) ( x ? a )( x ?

1 ) ? 0( 0 ? a ? 1) ; a

1 ) x ? 1 ? 0(a ? 0) ; a

(12) 2 x ? 3 ? 3 ; (13) 2x ? 1 ? 5 ? x ;

(14) 3 ? 2x ? 1 ? 5 ;

(15) x ? 2 ? x ?1 ? 5 ; (16) f ( x) ? ?

? x 2 ? 2 x ? 3( x ? 0) , f ( x) ? 0 . 2 ? 1 ? x ( x ? 0)

二、二次函数性质 1.已知 a,b,c∈R,函数 A.a>0,4a+b=0 C.a >0,2 a + b =0

f ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,若 f ? 0? ? f (4) ? f ?1? ,则(
B.a < 0,4 a + b =0 D.a < 0,2 a +b=0



2.二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 满足 f ( x) ? 0 在实数范围内恒成立,则 a 的取值范围 是 ; ;

3.函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 满足 f ( x) ? 0 在实数范围内恒成立, a 的取值范围是 4. f ( x) ? lg(ax2 ? 2ax ? 1) 的定义域为一切实数,a 的取值范围是
2



5.已知函数 f ? x ? ? x , g ? x ? ? x ? 1 ,若 ?x ? R ,使 f ? x ? ? b ? g ? x ? ,求实数 b 的取值范围;

2 6.已知不等式 x ? 2 ? 1的解集与不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集相同,求 a ? b 的值.

6. 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0 的 解 集 是 ?x | ?3 ? x ? 4? , 求 不 等 式
2

5 bx 2 ? 2ax ? c ? 0 的解集. 4



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