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浙江省台州中学2014-2015学年高二上学期期中考试(数学文)


台州中学 2014 学年第一学期期中试题 高二 数学(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知直线 l 的方程为 y=x+1,则直线 l 的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.135° 2.直线 2 x ? y ? 7 与直线 2 x ? y ? 1 ?

0 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.重合 ) D.异面

3.已知二面角 α-l-β 的大小为 60° ,m,n 为异面直线,且 m⊥α,n⊥β,则 m,n 所成的 角为( ) B.60° D.120° )

A.30° C.90°

4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

5.若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x ? y ? ? x ? ? y ? ? 的圆心,则实数 a 的值为( A. ? 1 B.1 C.3 D. ? 3

?

?



6.如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, 异面直线 A1D 与 D1C 所成的角为 ( A. 30 B. 45 C. 60 ) D. 90 )
A A1

D1 B1

C1

D B

C

7.点 P 在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值是( A.2 8.给岀四个命题: B.

6

C. 2 2

D. 10

(1) 若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等; (2) ? ,? 为两个不同平面,直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a∥ ? ,b∥ ? , 则? ∥ ?; (3) ? ,? 为两个不同平面,直线 m⊥ ? ,m⊥ ? 则? ∥ ?; (4) ? ,? 为两个不同平面,直线 m∥ ? ,m∥ ? , 则? ∥ ?. 其中正确的是( )

A. (1) B. (2) C. (3) D. (4) 2 2 2 2 9.圆 x +y -4x+6y=0 和圆 x +y -6x=0 交于 A、B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A.x+y+3=0 C. 2x-y-5=0 B.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0

10.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上, AB ? BC ? AC ? 3 ,若四面体 ABCD 体 积的最大值为 3 ,则这个球的表面积为( A. )

289? 16

B. 8?

C.

169 ? 16

D.

25? 16

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分。 ) 11.过点 P(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程是 12.若 P(x,y)在圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 上运动,则

. .

y 的最大值为 x

13.直线 l 过点 M(-1,2),且与 x 轴,y 轴交于 A、B 两点,若 M 恰为 AB 的中点,则直线 l 的 方程为 . 7 14.过点 A(0, ),B(7,0)的直线 l1 与过(2,1),(3,k+1)的直线 l2 和两坐标轴围成的四边形 3 内接于一个圆, 则实数 k 的值为 . 15. 已知正 ?ABC 的边长为1, 那么 ?ABC 的直观图 ?A?B?C ? 的面积为 16.如图,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的 水,若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r , 则 .

R ? ____________ . r

17.如图,在长方形 ABCD 中,AB= 3 ,BC=1,E 为线段 DC 上一动点,现将 ? AED 沿 AE 折起,使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上,当 E 从 D 运动到 C,则 K 所形成轨迹 的长度为 .
D E C
D' K B D E C

A

B

A

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 49 分。解答应写出文字说明,证明过程或者演算步骤) 18. (本小题满分 8 分)直线 l 过点 P(4,1), (1)若直线 l 过点 Q(-1,6),求直线 l 的方程; (2)若直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍,求直线 l 的方程.

19 . (本小题满分 9 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形,

PD ? 底面ABCD ,点 E 为 PB 的中点. 且 PD ? 2 AB
(1)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (2)求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

20. (本小题满分 10 分)已知圆 C 经过点 A(2, ?1) ,和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线

y ? ?2 x 上.
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l 经过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 10 分)如图,直角梯形 ABCD 中, AB CD, AB ?

1 CD , AB ? BC , 2

平面 ABCD? 平面 BC E , ?BCE 为等边三角形, M , F 分别是 BE, BC 的中点,

点N在线段CD上,DN ?
(1)证明: EF ? AD ;

1 DC. 4

(2)证明: MN 平面 ADE ; (3)若 AB ? 1, BC ? 2 ,求几何体 ABCDE 的体积.

22. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 (1) 求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A、B; (2) 求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线; (3) 若定点 P(1,1)满足 PB ? 2 AP ,求直线 l 的方程。

台州中学 2014 学年第一学期期中答案

高二

数学(文科)

三、解答题:(本大题共 5 题满分共 49 分) y-1 x-4 18.解:(1)直线 l 的方程为6-1=-1-4,化简,得 x+y-5=0. ………4 分 (2)由题意知直线有斜率,设直线 l 的方程为 y-1=k(x-4),l 在 y 轴上的截距为 1-4k, 1 1 1 1 在 x 轴上的截距为 4-k,故 1-4k=2(4-k ),得 k=4或 k=-2,直线 l 的方程为 y=4x 或 y =-2x+9. ………8 分

19.(1)∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD, ∵ PD ? 底面ABCD , ∴PD⊥AC,∴AC⊥平面 PDB, ∴平面 AEC ? 平面PDB . ………4 分 (2)设 AC∩ BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O,∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点,∴OE//PD, OE ?

1 PD , 2

又∵ PD ? 底面ABCD ,∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, OE ?

1 2 PD ? AB ? AO , 2 2

∴ ?AOE ? 45? ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45? . ………9 分

20.解: (Ⅰ)设圆心的坐标为 C (a,?2a) ,

则 (a ? 2) ? (?2a ? 1) ?
2 2

| a ? 2a ? 1 | 2

2 ,化简得 a ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 .

? C (1,?2) ,半径 r ?| AC |? (1 ? 2) 2 ? (?2 ? 1) 2 ? 2 .

? 圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .………5 分
(Ⅱ)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x ? 0 ,此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2,满足条件。 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ,由题得

|k ?2| 1? k 2

? 1 ,解得

3 k?? , 4 3 ? 直线 l 的方程为 y ? ? x . 4
综上所述:直线 l 的方程为 x ? 0 或

3 .………10 分 y?? x 4

?BCE 为等边三角形, F 是 BC 的中点,? EF ? BC 21.(1)证明: 又因为平面 ABCD ? 平面 BCE ,交线为 BC , EF ? 平面 BCE 根据面面垂直的性质定理得 EF ? 平面 ABCD ; 又 AD ? 平面 ABCD ? EF ? AD ……3 分
(2)证明:取 AE 中点 G,连接 MG, DG

AG ? GE, BM ? ME

? GM

AB ,且 GM ?

1 AB 2

1 1 AB CD, AB ? CD , DN ? DC 2 4 1 ? DN AB ,且 DN ? 2 AB ? 四边形 DGMN 是平行四边形 又 DG ? 平面 ADE , MN ? 平面 ADE

?DG

MN

? MN

平面 ADE

……7 分

(3)解:依题,直角梯形 ABCD 中, AB CD, AB ? BC , AB ? 1,CD ? 2, BC ? 2

1 1 ( AB ? CD) ? BC ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 2 2 ABCD E ? ABCD 由(1)可知 EF ? 平面 , EF 是四棱锥 的高
则直角梯形 ABCD 的面积为 S梯形ABCD ? 在等边 ?BCE 中,由边长 BC ? 2 ,得 EF ? 2 ? sin 600 ? 3 故几何体 ABCDE 的体积为

V

E ? ABCD

1 1 ? ? S梯形ABCD ? EF ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3

………10 分

22.解: (Ⅰ)解法一:圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 的圆心为 C (0,1) ,半径为 5 。 ∴圆心 C 到直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 的距离 d ?

?m m2 ? 1

?

m 2m

?

1 ? 5 2
………4 分

∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; 方法二:∵直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 过定点 P(1,1) , 而点 P(1,1) 在圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 内, ∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (Ⅱ)法一:当 M 与 P 不重合时,连结 CM、CP,则 CM ? MP , ∴ CM
2

y

B C M A O

l

? MP ? CP

2

2

设 M ( x, y)( x ? 1) ,则 x2 ? ( y ?1)2 ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 , 化简得: x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0( x ? 1) 当 M 与 P 重合时, x ? 1, y ? 1 也满足上式。 故弦 AB 中点的轨迹方程是

P(1,1)

x

x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0.
1 2
2

………8 分
2

法二: 设 M ( x, y ) 则 ( y ? 1)( y ? 1) ? ? x( x ? 1) ? ( x ? ) ? ( y ? 1) ? 圆 (Ⅲ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 PB ? 2 AP 得, ∴ x2 ? 1 ? 2(1 ? x1 ) ,化简的 x2 ? 3 ? 2x1 ………………① 又由 ?

1 1 轨迹是半径为 的 2 4

?mx ? y ? 1 ? m ? 0 消去 y 得 (1 ? m2 ) x2 ? 2m2 x ? m2 ? 5 ? 0 ……………(*) 2 2 x ? ( y ? 1) ? 5 ?

2m 2 ………………………………② 1 ? m2 3 ? m2 由①②解得 x1 ? ,带入(*)式解得 m ? ?1 , 1 ? m2
∴ x1 ? x2 ? ∴直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0. ………12 分


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