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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(71)


加试模拟训练题(71) (附详细答案) 1、AB 为半圆 O 的直径,其弦 AF、BE 相交于 Q,过 E、F 分别作半圆的切线得交 点 P,求证:PQ⊥AB。 K P E 1 Q H 图 9-3 2 F B A 2.已给实数 a>1,构造一个有界无穷数列 x0,x1,x2,…,使得对每一对不同的非 负整数 i、j 有 |xi-xj|·|i - j|a≥1 3 有 19

96 个电灯,分别标以 1,2,…,1996 号,最初,所有灯都处于关的状态,对于正整 数 k, 操作 Pk 将所有编号是 k 的倍数的灯, 变为相反的状态. 如果依次进行了操作 P1, P2, …, P1996,求最终为开的电灯的个数. 4.将与 105 互素的所有正整数,从小到大排成一个数列,试求出该数的第 1000 项. 加试模拟训练题(71) 1、AB 为半圆 O 的直径,其弦 AF、BE 相交于 Q,过 E、F 分别作半圆的切线得交点 P,求证:PQ⊥AB。 分析、延长 EP 到 K,使 PK=PE,连 KF、AE、EF、BF, 直线 PQ 交 AB 于 H(图 9-3)。 因∠ EQF= ∠ AQB=(90 ?-∠ 1)+(90 ? + ∠ 2)= ∠ ABF+ ∠ BAE=∠QFP+∠QEP, 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK, 故∠EQF+ ∠K=∠QFK+∠QEK=180?,从而 E、Q、F、K 四点共圆。由 PK=PF=PE 知,P 为△EFK 的外心,显然 PQ=PE=PF。于是∠ 1+ ∠ AQH= ∠ 1+PQF= ∠ 1+ ∠ PFQ= ∠ 1+ ∠ AFP= ∠ 1+ ∠ ABF=90 ?。由此知 QH⊥AH,即 PQ⊥AB。 K P E 1 Q H 图 9-3 2 F B A 2.已给实数 a>1,构造一个有界无穷数列 x0,x1,x2,…,使得对每一对不同的非 负整数 i、j 有 |xi-xj|·|i - j|a≥1 【题说】第三十二届(1991 年)国际数学奥林匹克题 6.本题由荷兰 提供. 【解】设 p 为正整数,q 为非负整数. 因此恒有 并且对每一对不同的非负整数 i、j,由(1) , 3 有 1996 个电灯,分别标以 1,2,…,1996 号,最初,所有灯都处于关的状态,对于正整 数 k, 操作 Pk 将所有编号是 k 的倍数的灯, 变为相反的状态. 如果依次进行了操作 P1, P2, …, P1996,求最终为开的电灯的个数. 【题说】 1996 年日本数学奥林匹克预选赛题 11. 【解】 易知,最终第 n 号电灯开的充要条件是:n 的约数个数为奇数,即 n 为平方数.因 为 442=1936<2025=452 即 1 至 1996 间有 44 个平方数.所以,最终为开的电灯有 44 个. 4.将与 105 互素的所有正整数,从小到大排成一个数列,试求出该数的第 1000 项. 【题说】1994 年全国联赛二试题 2. 【解】105=3×5×7.由容斥原理,每连续 105 个数中,有 个数与 105 互素. 1000=48×20+40=48×20+48-8 a48×20=105×20=2100 而自 105 向前倒数,第 9 个与 105 互素的数是 86,所以 a1000=2100+86=2186

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