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(新课标)高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第六章 不等式、推理与证明第四节 基本不等式


第四节 基本不等式 基础盘查一 基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念 (一)循纲忆知 1.了解基本不等式的证明过程; 2.理解基本不等式及变形应用. (二)小题查验 判断正误 a+b (1)当a≥0,b≥0时, ≥ ab 2 2 2 ( √ ) a+b (2)两个不等式 a +b ≥2ab 与 2 ≥ ab成立的条件是相同的 ( × ) (3)(a+b)2≥

4ab(a,b∈R) (4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 (√ ) (√ ) 基础盘查二 利用基本不等式求最值问题 (一)循纲忆知 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. (二)小题查验 1.判断正误 1 (1)函数y=x+x的最小值是2 ( × ) x y (2)x>0且y>0是y+x≥2的充分不必要条件 1 (3)若a≠0,则a + 2的最小值为2 a 2 ( √) (√ ) 2.(人教 A 版教材习题改编)设 x,y∈R ,且 x+y=18,则 xy 81 . 的最大值为___ 1 16 . 3.若 x,y∈(0,+∞),且 x+4y=1,则 xy 的最大值是_____ 1 解析:∵x,y∈(0,+∞),则1=x+4y≥4 xy,即xy≤ . 16 + 考点一 利用基本不等式证明不等式 (重点保分型考点——师生共研) [必备知识] a+b 1.基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab (a,b∈R). b a (2)a+b≥2(a,b同号). ?a+b? ?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). ? ? ? a2+b2 ? ?a+b?2 (4) ≥? (a,b∈R). ? 2 ? 2 ? [典题例析] bc ac ab 设a,b,c都是正数,求证: a + b + c ≥a+b+c. bc ca ab 证明:∵a,b,c都是正数,∴ a , b , c 都是正数. bc ca ∴ a + b ≥2c,当且仅当a=b时等号成立, ca ab b + c ≥2a,当且仅当b=c时等号成立, ab bc c + a ≥2b,当且仅当a=c时等号成立. ?bc ca ab? 三式相加,得2? a + b + c ?≥2(a+b+c), ? ? bc ca ab 即 a + b + c ≥a+b+c,当且仅当a=b=c时等号成立. [类题通法] 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情 况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式 条件的可通过“变形”来转换, 常见的变形技巧有: 拆项, 并项, 也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等. [演练冲关] 1 1 设a,b均为正实数,求证: 2+ 2+ab≥2 2. a b 1 1 证明:由于a,b均为正实数,所以 2+ 2≥2 a b 1 1 2 ·= , a2 b2 ab 1 1 当且仅当 2= 2,即a=b时等号成立, a b 2 2 2 又因为ab+ab≥2 ab=2 2,当且仅当ab=ab时等号成立, ab· 1 1 2 所以 2+ 2+ab≥ab+ab≥2 2, a b ?1 1 ?a2=b2, 当且仅当? ? 2 =ab, ?ab 4 即a=b= 2时取等号. 考点二 利用基本不等式求最值 (题点多变型考点——全面发掘) [必备知识] 已知x>

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