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【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练23 统计、统计案例 文


【高考领航】2016 届高考数学二轮复习 限时训练 23 统计、统计案 例 文
(建议用时 45 分钟) 1.从某校高三年级学生中抽取 40 名学生,将他们高中学业水平考试的数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),?,[90,100]后得到如图 的频率分布直方图.

(1)若该校高三年级有 640 人, 试估计这次学业水平考试的数学成绩不低于 60 分的人数及相 应的平均分(平均分保留到百分位); (2)若从[40,50)与[90,100]这两个分数段内的学生中随机选取 2 名学生, 求这 2 名学生成绩 之差的绝对值不大于 10 的概率. 解:(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1, 解得 a=0.03. 根据频率分布直方图,成绩不低于 60 分的频率为 1-10×(0.005+0.01)=0.85. 由于高三年级共有学生 640 人,可估计该校高三年级数学成绩不低于 60 分的人数为 640×0.85=544. 可估计不低于 60 分的学生数学成绩的平均分为: 640×?0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.1×95? ≈77.94. 544 (2)成绩在[40,50)分数段内的人数为 40×0.05=2, 成绩在[90,100]分数段内的人数为 40×0.1=4, 若从这 6 名学生中随机抽取 2 人,则总的取法有 15 种, 如果 2 名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这 2 名学生 的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在 [90,100]分数段内,那么这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 则所取 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的取法为 7 种, 7 所以所求概率 P= . 15

1

2.(2015·邢台市摸底)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试,每 个科目的成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级,该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图 所示,其中“铅球”科目的成绩为 E 的学生有 8 人.

(1)求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为 A 的人数; (2)已知该班学生中恰有 2 人的两科成绩等级均为 A, 在至少有一科成绩等级为 A 的学生中, 随机抽取 2 人进行访谈,求这 2 人的两科成绩等级均为 A 的概率. 解:(1)因为“铅球”科目中成绩等级为 E 的学生有 8 人,所以该班有 8÷0.2=40(人),所 以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为 A 的人数为 40×(1-0.375-0.375-0.15- 0.025)=40×0.075=3. (2)由题意可知,至少有一科成绩等级为 A 的有 4 人,其中恰有 2 人的两科成绩等级均为 A, 另 2 人只有一个科目成绩等级为 A. 设这 4 人为甲、乙、丙、丁,其中甲、乙是两科成绩等级都是 A 的同学,则在至少有一科成 绩等级为 A 的学生中,随机抽取 2 人进行访谈,基本事件空间为 Ω ={(甲,乙),(甲,丙), (甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},一共有 6 个基本事件. 设“随机抽取 2 人进行访谈,这 2 人的两科成绩等级均为 A”为事件 M,所以事件 M 中包含 1 的基本事件有 1 个,为(甲,乙),则 P(M)= . 6 3.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程, 分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情 况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

2

^

?
i=1

n

?ti- t ??yi- y ? ^ ^- ,a= y -b t .
n

b=

?
i=1

?ti- t ?

2

1 解:(1)由所给数据计算得 t = (1+2+3+4+5+6+7)=4, 7

y = (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

1 7

? (ti- t )2=9+4+1+0+1+4+9=28,
i=1

7

? (ti - t
i=1

7

)(yi - y ) = ( -3)×(- 1.4) + ( -2)×(- 1) + ( -1)×(- 0.7) +0×0.1+

1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,

^

?
i=1

7

?ti- t ??yi- y ?
7

b=

?
i=1

14 = =0.5, 28 ?ti- t ?
2

^

a= y -bt=4.3-0.5×4=2.3,
^ 所求回归方程为y=0.5t+2.3. (2)由(1)知,b=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平 ^ 均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程, 得y=0.5×9+2.3 =6.8,故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 4.(2014·高考新课标卷Ⅱ)(本小题满分 12 分)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随 机访问了 50 位市民.根据这 50 位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高), 绘制茎叶图如下: 甲部门 3 4 97 97665332110 98877766555554443332100 4 5 6 7 乙部门 59 0448 122456677789 011234688 00113449
3

^

6655200 632220

8 9 10

123345 011456 000

(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 解:(1)由所给茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 75,75, 故样本中位数为 75, 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.(2 分)(分 析) 66+68 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序, 排在第 25,26 位的是 66,68, 故样本中位数为 2 =67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67.(4 分)(分析) 5 8 (2)由所给茎叶图知, 50 位市民对甲、 乙部门的评分高于 90 的比率分别为 =0.1, =0.16, 50 50 故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16.(8 分)(计算) (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数,而且由 茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差, 说明该市市 民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评价差异较大.(12 分)(分 析)

4


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