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四川省广元市广元中学2016届高三上学期第三次段考数学试卷


高 2013 级高三第三次段考试题





(全卷共 120 分钟,满分 150 分。命题人: ) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填入到答题卷相应的方格内。 ) 1、已知集合 A={x|x2+x-2≤0},集合 B 为正整数集,则 A∩B 等于 A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{1,2} D.{1}

2、设 a, b, c, d ? R ,且 a ? b, c ? d ,则下列结论中正确的是 A. a ? c ? b ? d B. a ? d ? b ? c C. ac ? bd D.

a b ? d c

3、已知向量 a ? (1, 2) , b ? (2, ?3) .若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , c ? (a ? b) ,则 c ? A. ( , )

7 7 9 3

B. ( ?

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

4、已知正项数列{an}为等比数列,且 5a2 是 a4 与 3a3 的等差中项,若 a2=2,则该数列的前 6 项的和为 A.126 B.63 C.64 D.127

y≤x, ? ? 5、若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, A.3 B.4 C.5

且 z=2x+y 的最大值为

D.6

6、已知命题 p:若 a>b>0,则 ax>bx 恒成立;命题 q:在等差数列{an}中,m+n=p+q 是 an +am=ap+aq 的充分不必要条件(m,n,p,q∈N*).则下面选项 中真命题是 A.( P )∧( q ) C.p∨( q )
?

?

?

B.( P )∨( q ) D.p∧q
S ? S ? 2k ? k

?

?

7、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 n 的值为 8,则输出 S 的值为 A、546 B、547 C、1067 D、1066 8、函数 y=ln (2-x-x2)的单调递减区间为 A.(-∞, -

1 ] 2

B.(-2, -

1 ] 2

C.[ -

1 ,+∞) 2

D.( -

1 ,1) 2
1

1 1 9、设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=2,a+b=4,则 + 的最大值为 x y A.2 3 B. 2 C.1 1 D. 2

10、 (理科)已知等差数列 {an } 的公差 d ? (0,1) ,且

sin 2 a3 ? sin 2 a7 ? ?1 ,当 n ? 10 时, sin(a3 ? a7 )
)

数列 {an } 的前 n 项和 S n 取得最小值,则首项 a1 的取值范围是( A. (?

5? 9? 5? 9? 5? 9? C. (? D. [? ,? ] ,? ) ,? ] 8 16 4 8 4 8 (文科)设 D 是函数 y ? f ( x) 定义域内的一个子区间,若存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? ? x0 ,
B. [? 则 称 x0 是 f ( x ) 的 一 个 “ 次 不 动 点 ” , 也 称 f ( x ) 在 区 间 D 上 存 在 次 不 动 点 , 若 函 数

5? 9? ,? ) 8 16

f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? 2a ?
A. ( ??, 0)

3 3 在区间 [ ?3, ? ] 上存在次不动点,则实数 a 的取值范围是 2 2 1 , 0] 4
C. [ ?

B. [ ?

3 , 0] 14

D. [ ?

3 1 ,? ] 14 4

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案填入到答题卷上相应的横线上。 )
3?1+i?2 11、设 i 为虚数单位,则 = i-1 ▲ .

12、 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 并且 f(x+2)= ? = ▲ .

1 , 当 0≤x≤3 时, f(x)=x, 则 f(-105) f ( x)

13、在棱长为 2 的正方体内任取一点,则这点到正方体某一顶点的距离小于 1 的概率为 ▲ .

?2 x?2 ? , 14、 (理科)已知函数 f(x)= ? x ,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根, 3 ?( x ? 1) , x ? 2 ?
则实数 k 的取值范围是 ▲ (文科)已知函数 f(x)= ? .

?? x ? 2,
x ?1 ?2 ,

x ?1 x ?1

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则

实数 k 的取值范围是 ▲ . 15、 (理科)在梯形 ABCD 中, AB ? 2 DC , BC ? 6 , P 为梯形 ABCD 所在平面上一点, 且满足 AP + BP + 4 DP = 0 , DA ? CB ? DA ? DP ,Q 为边 AD 上的一个动点,则 PQ 的 最小值为 ▲ . → → → → (文科)已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=( 2cosα, 2sinα),则向量OA与向
2

??? ?

????

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

→ 量OB的夹角的取值范围是 ▲ .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
16、 (本小题 12 分) 在某高校自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表 达”两个科目的考试,成绩分为 A, B, C , D, E 五个等级. 某考场考生的两科考试成绩数据统计 如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人.

(Ⅰ)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (Ⅱ)若等级 A, B, C , D, E 分别对应 5 分, 4 分, 3 分, 2 分, 1 分,求该考场考生“数学与逻辑”科目 的平均分; (Ⅲ) (理科)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A . 在至少一科成 绩为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,设这两人中两科成绩均为 A 的人数为 ? ,求 ? 的 分布列及数学期望.(文科)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A . 在 至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率. 17. (本小题满分 12 分) 四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB ? 1 , BC ? 3 , CD ? DA ? 2 . (Ⅰ)求角 C 的大小和线段 BD 的长度; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积. 18、 (本小题 12 分) (理科)已知数列{an}的各项均为正数,前 n 项和为 Sn,且 Sn= (1)求证:数列{an}是等差数列; (2)设 bn=

an (an ? 1) ,n∈N*. 2

1 7 ,Tn=b1+b2+…+bn,求证: 1 ? Tn ? 。 2 an 4

n-1 (文科)已知数列{an}满足 a1=1,an= · an-1(n≥2)。 n (1)求{an}的通项公式 (2)设 bn= an 2 ,Tn=b1+b2+…+bn,求证: Tn ? 19、 (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ?

7。 4

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a (a, b ? R ) ,其导函数 f ?( x) 的图象过原点. 3 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的图象在 x ? 3 处的切线方程; (Ⅱ)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值。 20、 (本小题 13 分)
3

已知向量 m ? (a sin x ? cos x,1), n ? (cos x, ? ) , 函数 f ( x) ? m ? n 的图象的一条对称轴为 直线 x ?

??

?

?
6

1 2

?? ?



(1)求 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调增区间; (3)作出函数 f ? x ? 在 x ? ? 0, ? ? 上的图象简图(列表,画图) 。
]

21、 (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?

a . x
]

(I)当 a = - 3 时,求函数 f ( x) 的单调增区间; (II)若函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为
2

3 ,求实数 a 的值; 2

(Ⅲ)若函数 f ( x) ? x 在 (1, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

4

高 2013 级高三第三次段考试题答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 B 5 A 6 B 7 A 8 D 9 A 10 D(理)B(文)

二、填空题 11、 10 3-3i 12、 -1,3 13、

?
6

14、

(0,1) 15、

? ? 5? ? 4 2 (文) .(理)? 3 ?12 ,12 ? ?

10



16、 【解析】 (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 .................................3 分

5

?
P

0
2 c2 2 c4

1
1 c1 2 c2 2 c4

2
2 c2 2 c4

1 4 1 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 6 6 6 (理)
17 、

?1? .设x ? BD, 分别在ΔABD, ΔBCD中,对角A, C用余弦定理, 则
1 ? 4-x 2 9 ? 4-x 2 , cos C ? .? A ? C ? π, cos A ? cos C ? 0 2?2 2? 2?3 1 π 联立上式解得x ? 7, cos C ? , 所以, C ? ,BD ? 7. 2 3 cos A ?

? 2 ? .? A ? C ? π, C ?

π 3 , sin A ? sin C ? 3 2 四边形ABCD面积S ABCD ? SΔABD ? S ΔBCD 1 1 3 AB ? AD ? sin A ? CB ? CD ? s in C ? (1 ? 3) ? 2 3. 2 2 2 所以,四边形ABCD面积为2 3. ?

a1?a1+1? 18、 (1)∴当 n=1 时,a1=S1= (an>0),∴a1=1. 2
?2Sn=a2 ? n+an, 2 当 n≥2 时,由? 得 2an=a2 n+an-an-1-an-1. 2 ? 2 S = a + a , ? n-1 n-1 n-1

即(an+an-1)(an-an-1-1)=0,∵an+an-1>0,∴an-an-1=1(n≥2). ∴数列{an}是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列. (理) n-1 n-2 1 (文)∵an= a (n≥2),∴an-1= a - ,…,a2= a1. n n-1 2 n-1 n 2 以上(n-1)个式子相乘得

6

n-1 a1 1 12 1 an=a1· · · …· = = .当 n=1 时也满足此等式,∴an= . 23 n n n n

bn ?
(2)

1 1 1 ? 2 bn ? a 2n ? 2 2 a n n (理) n (文)
1 1 1 5 7 n=2 时, + =1+ = < ; a1 a2 4 4 4

1 7 证明 当 n=1 时, =1< ; a1 4



1 1 1 1 1 当 n≥3 时, = 2< = - , an n ?n-1?n n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 此时 + + +…+ =1+ + 2+ 2+…+ 2<1+ + + +…+ a1 a2 a3 an 4 3 4 n 4 2×3 3×4 n?n-1? 1 1 5 1 1 7 1 7 1 1 1? ?1 1? - ?= + - = - < , - + - +…+? =1+ +? 4 ?2 3? ?3 4? ?n-1 n? 4 2 n 4 n 4 1 1 1 7 所以对一切正整数 n,有 + +…+ < . a1 a2 an 4 19、.解:(Ⅰ)因为 f ?( x) ? x ? (a ? 1) x ? b ,由已知, f ?(0) ? 0 ,则 b ? 0 . 所以 f ?( x) ? x( x ? a ? 1) .
2

1 3 x ? x 2 ? 1 , f ?( x) ? x( x ? 2) ,则 f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3 . 3 故函数 f ( x) 的图象在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3 x ? y ? 8 ? 0 . (Ⅱ) 由 f ?( x) ? ?9 ,得 x( x ? a ? 1) ? ?9 .
当 a ? 1 时, f ( x) ? 当 x ? 0 时, ? a ? 1 ? ? x ?

9 9 9 ? (? x) ? (? ) ? 2 (? x) ? (? ) ? 6 ,所以 a ? ?7 . x x x
----12 分

当且仅当 x ? ?3 时, a ? ?7. 故 a 的最大值为 ?7 . 20、

2)列表 ---------------------------------------------10 分

7

f ?x ? 在 x ? [0, ? ] 上的图象简图如下图所示.

21

③若 ?e ? a ? ?1 , 当 1 ? x ? ? a 时,f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x) 在 (1, ? a ) 上为减函数, 当 ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (? a, e) 上为增函数, ∴ [ f ( x)]min ? f ( ? a ) ? ln( ? a ) ? 1 ? (3)∵ f ( x) ? x ,∴ ln x ?
2

3 ,∴ a ? ? e 综上所述, a ? ? e .………9 分 2

a ? x 2 .∵ x ? 0 ,∴ a ? x ln x ? x 3 在 (1, ??) 上恒成立, x 1 1 ? 6 x2 3 2 令 g ( x) ? x ln x ? x , h( x ) ? g ?( x ) ? 1 ? ln x ? 3 x ,则 h?( x) ? ? 6 x ? . x x ∵ x ? 1 ,∴ h?( x) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立,∴ h( x) 在 (1, ??) 上是减函数, ∴ h( x) ? h(1) ? ?2 ,即 g ?( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 (1, ??) 上也是减函数,∴ g ( x) ? g (1) ? ?1 . 2 ∴当 f ( x) ? x 在 (1, ??) 恒成立时, a ? ?1 .……………………………………12 分

8


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