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福建省福州八中2014届高三第六次质检考试数学(理)试题


第I卷 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的 2 1. 复数 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 2 ? z 等于 z A. 1 ? 2i B. 1 ? 2i C. ?1 D. ?1 ? 2i 2.命题 p :若 a , b ? R ,则 | a | ? | b |? 1 是 | a ? b |? 1 的充分不必要条件;命题 q : 函数 y ? | x ? 1 | ?2 的定义域是 ( ?? , ?1] [3, ?? ) ,则 A.“p 或 q”为假 C. p 真 q 假 B.“p 且 q”为真 D. p 假 q 真
s=2i -s 开始

i=1,s=0

? ? 3. 函数 y ? tan( x ? ) 的部分图象如图所示,则 4 2 y
(OA ? OB) ? AB =
1

i=i+2
B

A.6 B.4 C. ?4 D. ?6

O

A

x

i ? 10



是 第 3 题图 输出 s

4.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 s 值为 A.102 C.614 B.410 D. 1638
结束 (第 5 题)

m 5. 设函数 f ? x ? ? x ? ax 的导数 f ? ? x ? ? 2 x ? 3, 则数列 ?

? ?

? 1 ? ? ? ? n ? N ? 的前 ? ? f ?n? ? 2 ? ?
D.

n 项和是
A.

n n ?1

B.

n ?1 2 ? n ? 1?

C.

n 2 ? n ? 2?

? n ? 1?? n ? 2 ?

n

6.小胖同学忘记了自己的 QQ 号,但记得 QQ 号是由一个 1,一个 2,两个 5 和两 个 8 组成的六位数,于是用这六个数随意排成一个六位数,输入电脑尝试,那么他找到 自己的 QQ 号最多尝试次数为. A.96 B.180 C.360
本卷第 1 页(共 13 页)

D.720

7.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列四个命题中,正确的是 A.若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n C.若 ? ? ? ,m ? ? ,则 m ? ? B.若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? ,m ? ? ,m ? ? ,则 m∥ ?

8.如果实数 x, y 满足等式 y 2 ? x ,那么 A.-1 B.1

y 的最大值是 x ?1 1 C.2

D.

1 2

9.已知两点 M (0, 0) , N ( ? 12 , ? 6 ) , 给出下列曲线方程: ①4x+2y-1=0; ②x2+y2=3; 5 5 2 2 x x 2 2 ③ ? y =1; ④ ? y =1.在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 2 2 A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 10.若函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 有两个不同的零点 x1 , x 2 ,且 1 ? x1 ? x 2 ? 3 ,那么在

f (1), f (3) 两个函数值中
A.只有一个小于 1 C.都小于 1 B.至少有一个小于 1 D.可能都大于 1 第Ⅱ卷 二、.填空题:本大题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11.已知数列 ?an } 满足, a1= 1’ a2 ? 2, an+2= 则

an ? an ?1 , n ? N * .令 bn ? an ?1 ? an , 2

bn ?1 = bn

.

12.已知 f ( x) ? ?

?log 2 (1 ? x), ( x ? 0) , 则f (3) 的值等于 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2)( x ? 0)

.

13.如图是一建筑物的三视图(单位:米) ,现需将其外壁用油漆刷一遍,若每平方 米 用 漆 1 千 克 , 则 共 需 油 漆 的 总 量 为 ___ 千

本卷第 2 页(共 13 页)

克. 14.给出下列四个结论: ①“若 am 2 ? bm 2 则 a ? b ”的逆否命题为真; ②若 f ( x0 ) 为 f ( x) 的极值,则 f ?( x0 ) ? 0 ; ③函数 f ( x) ? x ? sin x (x ? R )有 3 个零点; ④对于任意实数 x,有

f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) 且 x>0 时, f ?( x) ? 0, g ?( x) ? 0 ,则 x<0 时 f ?( x) ? g ?( x) .
其中正确结论的序号是 15. 定义: min{a, b} ? ? .(填上所有正确结论的序号)

? a, a ? b ?0 ? x ? 2 ,在区域 ? 内任取一点 P ( x, y ) ,则 x 、 ?b, a ? b ?0 ? y ? 6

y 满足 min{x 2 ? x ? 2 y, x ? y ? 4} ? x 2 ? x ? 2 y 的概率为____________.
三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)

0 3 1 2 1 1 1 一道题,甲做对的概率为 ,乙、丙 a b P 2 4 24 做对的概率分别为 m 和 n ( m > n ), 且三位学生是否做对相互独立.记 ? 为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为:
(Ⅰ)求 m , n 的值; (Ⅱ) 记事件 E ? {函数 f ( x) ? ?2 x 2 ? 3? x ? 1 在区间 [?1,1] 上不单调},求 P ( E ) ; (Ⅲ)令 ? ? 12 E (? ) ? 10 ,试计算

甲,乙,丙三位学生独立地解同

?

?

?
??

(1 ? 2 | x |) dx 的值.

本卷第 3 页(共 13 页)

17. (本小题满分 13 分) 如图,在六面体 ABCDEFG 中,平面 ABC∥平面 DEFG,AD⊥平面 DEFG,ED⊥ DG,EF∥DG.且 AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1. (1) 求 证 : BF ∥ 平 面 ACGD ;

(2)求二面角 D—CG—F 的余弦值. 18. (本小题满分 13 分) 若 向 量 a ? ( 3 cos? x , sin? x ),b ? (sin? x , 0), 其 中 ω ? 0 , 记 函 数

1 f ( x) ? (a ? b) ? b ? ,若函数 f ( x) 的图像与直线 y ? m ( m 为常数)相切,并且切点 2
的横坐标依次成公差为 ? 的等差数列.
本卷第 4 页(共 13 页)

(1)求 f ( x) 的表达式及 m 的值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

?
12

, 得到 y ? g ( x) 的图像, 当 x?( ,

? 7?
2 4

) 时,

y ? g ( x) 与 y ? cos ? 图象的交点横坐标成等比数列,求钝角 ? 的值.

20. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 常数).

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? ln(a ? 1) (其中 a 为 3

(1)若 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围; (2)若存在一条与 y 轴垂直的直线和函数 F ( x) ? f ( x) ? (a ? 1) x ? ln x 的图象相切,
2

且切点的横坐标 x0 满足 x0 ? 2 ,求实数 a 的取值范围; (3)记函数 y ? f ( x) 的极大值点为 m ,极小值点为 n ,若 2m ? 5n ?

3 sin x 对于 cos x ? 2

x ? [0, ? ] 恒成立,试求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,多作不给 分,满分 14 分. (1) 已知 a, b ? R , 矩阵 A ? ?

?? a 1? ? 所对应的变换将直线 x ? y ? 1 ? 0 变换为自身. ? 2 b?

①求 a,b 的值;②求矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 . ?x=4-2t, x2 (2)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数),P 是椭圆 4 +y2=1 上任意一 ?y=t-2 点,求点 P 到直线 l 的距离的最大值.
本卷第 5 页(共 13 页)

(3)设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a >0. ①当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; ②若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1},求 a 的值.

福州八中 2013—2014 高三毕业班第六次质量检查 数学(理)试卷参考答案及评分标准

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤) 16. (本小题满分 13 分) 解:设事件 A ={甲做对},事件 B ={乙做对},事件 C ={丙做对},由题意知,

P( A) ?

1 , P( B) ? m, P(C ) ? n . 2
1 1 (1 ? m)(1 ? n) ? , ????1 分 2 4

(Ⅰ) 由题意知 P(? ? 0) ? P( ABC ) ?

1 1 mn ? , ??????????2 分 2 24 7 1 整理得: mn ? ,m ? n ? . 12 12 1 1 由 m ? n ,解得 m ? , n ? . ????????????????4 分 3 4 (Ⅱ)由题意知 a ? P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) 1 1 1 11 ? (1 ? m)(1 ? n) ? m(1 ? n) ? (1 ? m)n ? , ????????5 分 2 2 2 24 2 函数 f ( x) ? ?2 x ? 3? x ? 1 在区间 [?1,1] 上不单调, 3 4 4 ? 对称轴 x ? ? ? (?1,1) ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ,或 ? ? 1 ????????7 分 4 3 3 1 11 17 ???????????????8 分 ? ? P( E ) ? P (? ? 0) ? P(? ? 1) ? ? 4 24 24 1 (Ⅲ) b ? P (? ? 2) ? 1 ? P (? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) = , 4 13 ∴ E (? ) ? 0 ? P (? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? 2 ? P(? ? 2) ? 3 ? P(? ? 3) ? ????10 分 12 ? ? ? 12 E (? ) ? 10 ? 3 P(? ? 3) ? P( ABC ) ?

本卷第 6 页(共 13 页)



? ??

?
?? 0
?3

(1 ? 2 | x |)dx ? ? (1 ? 2 | x |) dx
?3
3 0

3

2 3 (1 ? 2 x)dx ? ? (1 ? 2 x)dx ? ( x ? x 2 ) |0 ?3 ? ( x ? x ) |0 ? ?12

???13 分

17. (本小题满分 13 分)解析: 方法一:(1)设 DG 的中点为 M,连接 AM,FM.则由已知条件易证四边形 DEFM 是平行 四边形. ∴MF∥DE,且 MF=DE. ∵平面 ABC∥平面 DEFG, ∴AB∥DE , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 分

∵AB=DE. ∴MF∥AB,????????????3 分 又 MF=AB,∴四边形 ABFM 是平行四边形,

本卷第 7 页(共 13 页)

∴BF∥AM.??????????????4 分 又 BF?平面 ACGD,AM?平面 ACGD, 故 BF∥平面 ACGD.??????????6 分 (2)由已知 AD⊥平面 DEFG,∴DE⊥AD.又 DE⊥DG, ∴DE⊥平面 ADGC.∵MF∥DE,∴MF⊥平面 ADGC. 在平面 ADGC 中,过 M 作 MN⊥GC,垂足为 N,连接 NF,则∠MNF 为所求二面角的 平面角. 连接 CM. ∵平面 ABC∥平面 DEFG, . ??????8 分

2 5 5 MN 6 6 ∴cos∠MNF= = = .∴二面角 DCGF 的余弦值为 .????13 分 FN 2 30 6 6 5 方法二:由题意可得,AD,DE,DG 两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标 系 .

本卷第 8 页(共 13 页)

则 A(0,0,2),B(2,0,2),C(0,1,2),E(2,0,0),G(0,2,0),F(2,1,0).??????2 分 → → (1)BF=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2),CG=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2),??????4 分 → → ∴BF=CG,所以 BF∥CG. 又 BF?平面 ACGD,故 BF∥平面 ACGD.????????6 分 → (2)FG=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0). 设平面 BCGF 的法向量为 n1=(x,y,z),

本卷第 9 页(共 13 页)

? ?n · CG=y-2z=0, 则? → ? ?n · FG=-2x+y=0.
1 1



??????????9 分

令 y=2,则 n1=(1,2,1).则平面 ADGC 的法向量 n2=(1,0,0).??????11 分 n1· n2 1× 1 6 ∴cos〈n1,n2〉= = 2 2 2 2 2 2= 6 . |n1|· |n2| 1 +2 +1 × 1 +0 +0 6 由于所求的二面角为锐二面角,∴二面角 DCGF 的余弦值为 .???13 分 6 18. (本小题满分 13 分) (1)解:

a ? ( 3 cos ? x,sin ? x), b ? (sin ? x, 0), 1 1 ? ? f ( x) ? (a ? b) ? b ? ? 3 sin ? x cos ? x ? sin 2 ? x ? ? sin(2? x ? ) ??4 分 2 2 6
由题意可知其周期为 ? ,故 ? ? 1 ,则 f ( x) ? sin(2 x ?

?

(2)解:将 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) 的图像向左平移

?
12

6

) , m ? ?1 .????7 分

,得到 g ( x) ? sin 2 x ,??9 分

由其对称性,可设交点横坐标分别为 x1 ,

3? 9 ??????11 分 ? x1 ) 2 ? x1 (? ? x1 ), 则x1 ? ? 2 16 9? ? 5? 5? 则? ? ??13 分 cos ? ? sin ? ? sin ? cos 8 8 8 8 (
19.(本小题满分 14 分) (1)由题意可知直线 l 的方程为 bx ? cy ? (3 ?
2 2

3? ? x1 , ? ? x1 , 有 2

2 )c ? 0 ,????2 分
3c ? 3c ? 2c b ?c
2 2

因为直线与圆 c2 : x ? ( y ? 3) ? 1 相切,所以 d ? 即 a ? 2c , 从而 e ?
2 2

? 1 ,??4 分

2 ; 2

???????6 分

(2)设 P ( x, y ) 、圆 C 2 的圆心记为 C 2 ,则

x2 y2 ? ? 1 ( c ﹥0) , 2c 2 c 2
2 2

又 PM ? PN ? ( PC 2 ? C 2 M ) ? ( PC 2 ? C 2 N ) ? PC 2 ? C 2 N = x 2 ? (3 ? y ) 2 ? 1 ? ?( y ? 3) 2 ? 2c 2 ? 17(?c ? y ? c) . ???????10 分 ①当 0 ? c ? 3时, ( PM ? PN ) MAX ? ?(?c ? 3) 2 ? 17 ? 2c 2 ? 49, 解得c ? 5 2 ? 3但

c ? 5 2 ? 3 ? 3, 故舍去;?????????????????12 分
2 2 ②当 c ? 3时, ( PM ? PN ) MAX ? 17 ? 2c 2 ? 49, 解得c ? 4, 此时椭圆方程为 x ? y ? 1 .

32

16

综上所述,椭圆的方程为

x y ? ? 1. 32 16

2

2

???????14 分

20. (本小题满分 14 分)解: (Ⅰ)

f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? ln(a ? 1) , 3

??????????1 分 ? f ?( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1 因为函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 不单调,所以函数 f ?( x) 在 (?1,1) 上存在零点.
本卷第 10 页(共 13 页)

而 f ?( x) ? 0 的两根为 a ? 1 , a ? 1 ,区间长为 2 , ∴ f ?( x) 在区间 (?1,1) 上不可能有 2 个零点. 所以 f ?(?1) f ?(1) ? 0 , ??????????????2 分 即 a 2 (a ? 2)(a ? 2) ? 0 ,又由题意可知: a ? ?1 ∴ a ? (?1,0) (0, 2) .????????????????????4 分 ( Ⅱ )

F ( x) ? f ( x) ? (a 2 ? 1) x ? ln x ?

1 3 x ? ax 2 ? ln x ? ln(a ? 1) 3



1 F ?( x) ? x 2 ? 2ax ? , x 存在一条与 y 轴垂直的直线和函数 F ( x) ? f ( x) ? (a 2 ? 1) x ? ln x 的图象相切,且切 点的横坐标 x0 , 1 1 1 ? F ?( x0 ) ? x0 2 ? 2ax0 ? ? 0 ? a ? ( x0 ? 2 ) , ( x0 ? 2) ??????6 分 x0 2 x0 1 1 1 2 令 h( x) ? ( x ? 2 ) ( x ? 2) ,则 h?( x) ? (1 ? 3 ) 2 x 2 x 1 2 当 x ? 2 时, h?( x) ? (1 ? 3 ) ? 0 , 2 x 1 1 ? h( x) ? ( x ? 2 ) 在 (2, ??) 上为增函数, 2 x 1 1 9 从而 h( x0 ) ? ( x0 ? 2 ) ? h(2) ? ,又由题意可知: a ? ?1 2 x0 8 9 ?????????????????????9 分 ?a ? 8

(Ⅲ) f ?( x) ? x ? 2ax ? a ? 1 , ,
2 2

由 h?( x) ? 0 ? x ? 当 x ? [0,

2? 2? ) 时, h?( x) ? 0 ,当 x ? ( , ? ] 时, h?( x) ? 0 , 3 3 2? 2? 时, h( x) 取最大值为 h( ?当 x ? ) ? 1 ,???????????13 分 3 3 为满足题意,必须 2m ? 5n ? h( x) max ,所以 7 a ? 3 ? 1 ,
本卷第 11 页(共 13 页)

2? , 3

2 ????????????????14 分 7 21. (本小题满分 14 分) (1)①取直线 x ? y ? 1 ? 0 上两点(0,1) , (1,0) ,
又由题意可知: a ? ?1 , ? a ? ? 由?

在矩阵 A 所对应的线性变换作用下的的象是 ( 1, b) (-a, , 2) 仍在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 代入直线方程,得 a=1,b=0??????????????4 分 m n? ?1 0? ,得 ?m n ? ?? 1 1? ?1 0? ?1 ②设 A ?1 ? ? ? p q ? ,由 AA ? ? ? p q ? ? 2 0 ? ? ?0 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?0 1 ?
?m ? 0 ? ? m ? 2n ? 1 ? 1 ? ? m?0 0 ∴? ,解得: ? ?n ? 2 ,即 A ?1 ? ? ? ? ? p ?1 ?? p ? 2 q ? 0 ?1 ? ? ? p ?1 ?q ? 1 ? ? ? 2

?? a 1? ?0? ?1? ?? a 1? ?1? ?? a ? ? ? ? ? ? ?, ? ?? ? ? ? ? ? 2 b ? ?1? ?b ? ? 2 b ? ?0? ? 2 ?

1? 2 ? ??????????7 分 1? ? 2?
?1? ? 0 ? 2? ? ? ?1? ? ? ?1 ? 2? ? 1? ??????7 分 2? 1? ? 2?

另解:∵ A ? ? 1 1 ? ?2 ,由公式,得∴
2 0

? 0 ? A ? ?? 2 ?2 ? ?? 2
?1

?x=4-2t, ? (2)直线 l 的参数方程为? (t 为参数),故直线 l 的普通方程 ? ?y=t-2 x2 为 x+2y=0.??1 分 因为 P 为椭圆 +y2=1 上任意点,故可设 P(2cosθ,sinθ),其中 4

|2cosθ+2sinθ| 2 2 sin(? ? ) 4 ,?5 分 θ∈R.??2 分 因此点 P 到直线 l 的距离是 d= = 12+22 5 π 2 10 所以当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,d 取得最大值 .??????????????7 分 4 5 (3)①当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤-1. 故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x|x≥3 或 x≤-1}.????????3 分 ②由 f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0. 此不等式化为不等式组 x≥a, x≤a, ? ? ? ? ? ? ?x≥a ?x≤a ? 或? 即? a 或? a ??????5 分 ? ? ?x-a+3x≤0 ?a-x+3x≤0 x≤ , x≤- . ? ? 2 ? 4 ? 因为 a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤- }.由题设可得- =-1,故 a=2.??7 分 2 2

?

a

a

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