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矩阵与行列式练习题


矩阵与行列式练习题
§1
?1 0? ? ? ?1 1 0 ? 1.设 A ? ? 1 1 ? , B ? ? ?1 0 1 ? ?, ? ? ? 0 2? ? ?
(1) 计算 AB , BA 。问 AB ? BA 是否成立? (2)计算 ( AB)T , AT B T 。问 ( AB) T ? AT B T 是否成立?

向量

与矩阵

3? ??3 6 ? ? 2.设 a , b 为 3 维列向量,且 ab ? ? 1 ? 2 ? 1? ,求 a T b 。 ?? 2 4 2? ? ? 1 0 2 0 ? ? ? ? ?0 0 1 1? 3.若 (1, 0, 6, x)? ? (1, 6, 1, 0) ,求 x 。 0 1 0 0? ? ? ? 0 0 1 0? ? ? ? 2 ? 1? 4.设 f ( x) ? x 2 ? 5x ? 3 , A ? ? ?? 3 3 ? ? ,求 f ( A) 。 ? ?
T

a12 ? a1n ? ? d1 ? ? ? ? a 22 ? a 2 n ? d2 ? ? ,D ?? ? ?。 ? ? ? ? ? ? ? a n 2 ? a nn ? dn ? ? ? ? (1)求 AD 和 DA ; (2)若 D 满足 d i ? d j ( i, j ? 1,2, ?, n ,且 i ? j ) ,证明与 D 相乘可交换的方阵
必是对角矩阵。 6.设 A 是方阵。若 AT ? A ,则称 A 是对称矩阵。若 AT ? ? A ,则称 A 是反对 称矩阵。 (1)设 A , B 是对称矩阵,证明: AB ? BA 是对称矩阵, AB ? BA 是反对称矩 阵; (2)设 A , B 是对称矩阵,证明: AB 是对称矩阵的充要条件是 AB ? BA ; (3)设 A 对称矩阵, B 是反对称矩阵,证明: AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB ? BA ; (4)对于任何方阵 A ,证明: A ? AT 是对称矩阵, A ? AT 是反对称矩阵; (5)证明任何方阵 A 均可以表成对称矩阵与反对称矩阵之和。 ?1 a? ?1 0? 100 7.设 A ? ? ?0 1? ? ,求实数 a 的值,使 A ? ? ?0 1? ?。 ? ? ? ?

? a11 ? ? a 21 5.设 A ? ? ? ? ?a ? n1

?0 ? ?0 8.设 A ? ? 0 ? ?0 ?

1 0 0 0

0 1 0 0

0? ?a ? ? 0? ?0 ,B ?? ? 1 0 ? ? ? ? 0? ?0

b a 0 0

c d? ? b c? ,证明 AB ? BA 。 a b? ? 0 a? ?

?1 1 1? ? ? 9.设 A ? ?1 1 1? ,求 A n ( n ? N ? ) 。 ?1 1 1? ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1? ? ? ? ? 1 1 ? 1 ? 1? 10.设 A ? ? ,求 A n ( n ? N ? ) 。 ? ?1 ?1 1 ?1 ? ? ??1 ?1 ?1 1 ? ? ? ?1 0 1? ? ? 11.设 A ? ? 0 2 0 ? ,求 An ? 2 An?1 ( n ? 2 ) 。 ?1 0 1? ? ? ?0 1 1? ? ? 12.设 A ? ? 0 0 1 ? ,求所有与 A 相乘可交换的方阵。 ? 0 0 0? ? ? 1 13. 设 A ,B 是 n 阶方阵, 且 A ? (B ? I n ) , 证明 A 2 ? A 的充要条件是 B 2 ? I n 。 2 ? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? a 21 a 22 ? a 2 n ? 14.对于 n 阶方阵 A ? ? ,称 tr ( A) ? a11 ? a22 ? ? ? ann 为 A 的 ? ? ? ? ? ? ?a ? a ? a n2 nn ? ? n1
迹。证明: (1)对于任何 n 阶方阵 A , B ,成立 tr ( AB) ? tr ( BA) ; (2)不存在 n 阶方阵 A , B ,满足 AB ? BA ? kI n ( k ? 0 ) 。 15. 证明: 若 n 阶方阵 A 与 B 相乘可交换, 则 A 的多项式 f ( A) 与 B 的多项式 g ( B ) 相乘也可交换。 16.设 n 阶方阵 A , B 满足 A2 ? ? A , B 2 ? ? B ,且 ( A ? B) 2 ? ? A ? B ,证明: AB ? O 。

§2
1.计算下列行列式:

行列式

1 2 0 ?1 (1) 1 0 0 1

1 2 1 3

4 1 ; 3 1

1 1 1 2 ? x2 (2) 2 3 2 3

2 3 2 3 ; 1 5 1 9 ? x2

0 a (3) b a

a 0 a b

b a 0 a

a b ; a 0

1? a a 0 0 0 ?1 1? a a 0 0 (4) 0 ?1 1? a a 0 。 0 0 ?1 1? a a 0 0 0 ?1 1? a

x y z x y z 2.已知 3 1 2 ? 1 ,求 3x ? 3 3 y ? 1 3z ? 2 。 1 2 1 3 6 3
3.证明

sin 2? sin( ? ? ? ) sin( ? ? ? ) sin( ? ? ? ) sin 2? sin( ? ? ? ) ? 0 。 sin( ? ? ? ) sin( ? ? ? ) sin 2?
?1 ? 4.设 A 为 3 阶方阵,且 | A |? 8 ,求 ? A ? 。 ?2 ?
5.设 A , B 是同阶方阵,且 AAT ? I , BBT ? I , | A |? ? | B | ,求 | A ? B | 。 6.设 a ? (1, 0, ? 1) T , A ? aa T ,其中 a 为实数, n 为正整数。求 | aI ? A n | 。
2

? 1 0 1? ? ? 7.已知 A ? ? 0 2 0 ? ,若 3 阶矩阵 B 满足 A 2 B ? A ? B ? I 3 ,求 | B | 。 ? ? 2 0 1? ? ?
8.设 n 阶实对称矩阵 A 满足 A 2 ? 6 A ? 8 I ? 0 ,求 | A ? 3 I | 。 9.证明:

1 1 1 1

x1 ? a1 x2 ? a1 x3 ? a1 x4 ? a1

x12 ? b1 x1 ? b2 2 x2 ? b1 x2 ? b2 2 x3 ? b1 x3 ? b2 2 x4 ? b1 x4 ? b2

x13 ? c1 x12 ? c2 x1 ? c3 1 x1 3 2 x2 ? c1 x2 ? c2 x2 ? c3 1 x2 ? 3 2 x3 ? c1 x3 ? c2 x3 ? c3 1 x3 3 2 x4 ? c1 x4 ? c2 x4 ? c3 1 x4

x12 2 x2 2 x3 2 x4

x13 3 x2 。 3 x3 3 x4

10.计算下列行列式( D n 为 n 阶行列式) :

a 0 (1) Dn ? ? 0 1

0 a ? 0 0

? 0 1 ? 0 0 ? ? ; ? a 0 ? 0 a

1 2 3 ? n ?1 n 2 3 4 ? n 1 3 4 5 ? 1 2 (2) Dn ? ; ? ? ? ? ? ? n ?1 n 1 ? n ? 3 n ? 2 n 1 2 ? n ? 2 n ?1

1 ? a1 a2 a3 a1 1 ? a2 a3 (3) Dn ? a1 a2 1 ? a3 ? ? ? a1 a2 a3

? an ? an ? an ; ? ? ? 1 ? an

2 1 0 ? 0 0 1 2 1 ? 0 0 0 1 2 ? 0 0 (4) Dn ? ; ? ? ? ? ? ? 0 0 0 ? 2 1 0 0 0 ? 1 2

0 a 2 ? a1 (5) Dn ? a3 ? a1 ? a n ? a1 x1 a12 x1 x 2 (6) Dn ? x1 x 2 ? ? x1 x 2

a1 ? a 2 0 a3 ? a 2 ? an ? a2 a13 a 23 x3 ? x3

a1 ? a3 a 2 ? a3 0 ? a n ? a3

? a1 ? a n ? a2 ? an ? a3 ? a n ? ? ? 0

( a1a 2 ? a n ? 0 ) ;

? a1n ? a2n ? a3n ; ? ? ? xn

(7) D2 n

a 0 0 ? 0 0 b 0 a 0 ? 0 b 0 0 0 a ? b 0 0 ?? ? ? ? ? ? ?。 0 0 b ? a 0 0 0 b 0 ? 0 a 0 b 0 0 ? 0 0 a

1 1 1 2 ? x2 11.求方程 2 3 2 3
12.求下面方程的根:

2 3 2 3 ? 0 的根。 1 5 1 9 ? x2

1 1 1 1 1? x 1 1 1 2? x ? ? ? 1 1 1
13.证明: n 阶行列式 1 1

? 1 ? 1 ? 0。 ? 1 ? ? ? n ?1? x

? 1 ?n 1 1 ? ?n 1 n ( n ?1) ? ? ? ? ? ? (?1) 2 (n ? 1) n?1 。 1 ?n ? 1 1 ?n 1 ? 1 1

14.证明:若 a1a 2 ? a n ? 0 ,则 n 阶行列式

1 ? a1 2 3 ? n

1 2 ? an 3 ? n

1 2 3 ? a3 ? n

? 1 ? 2 n ? n ?? ja1 ? ? ?。 ? a a ? 1 ? ? 3 ?? ? ? ? j ?? 1 ? a j ?2 j ? ? j ? 2 ?? ? ? ? n ? an

15.证明:若 sin x ? 0 ,则 n 阶行列式 2 cos x 1

1

2 cos x 1 sin( n ? 1) x ? 。 ? ? ? sin x 1 2 cos x 1 1 2 cos x

16.已知 n 阶矩阵 A ? (aij ) ,记 Aij 为 a ij 的代数余子式( i, j ? 1, 2, ?, n ) 。证明

A11 A21 ? An?1,1
17.证明: n ? 1 阶行列式

A12 A22 ? An?1, 2

? A1,n?1 ? A2,n?1 ? a nn | A | n ?2 。 ? ? ? An ?1,n?1

a1n n a2 n a3 ? n an ?1

a1n ?1b1 n ?1 a2 b2 n ?1 a3 b3 ? n ?1 a n?1 bn ?1

a1n ?2 b12 n?2 2 a2 b2 n?2 2 a3 b3 ? n?2 2 a n ?1 bn ?1

? a1b1n ?1 b1n n ?1 n ? a 2 b2 b2 ? a3b3n ?1 b3n ? ? (ai b j ? a j bi ) 。 1?i ? j ? n ?1 ? ? ? n ?1 n ? a n ?1bn bn ?1 ?1 ? 1 1 ? Cn 2 ? Cn ?1 ? 1 。 ? ? n ?1 ? C2 n?2

18.证明: n 阶行列式

1 1 1 1 1 1 C2 C3 2 1 C32 C4 ? ? ? n ?1 n ?1 1 Cn Cn ?1
1 ?1 19.设 D ? 0 2

0 1 0 2 ?3 1 ,求 A41 ? A42 ? A43 ? A44 。 1 ?1 3 1 1 0

1 1 ? 1 0 2 ? 2 20.设 D ? ,求 D n 中所有元素的代数余子式之和。 ? ? ? ? 0 0 ? n

§3
1. 求下列矩阵的逆阵:





?1 1 1 1 ? ?5 2 0 0 ? ? ? ? ? ?1 0 1? ? ? ?1 1 ? 1 ? 1? ?2 1 0 0 ? (1) ? 3 3 4 ? ; (2) ? ; (3) ? 。 1 ? 1 1 ? 1? 0 0 1 ? 2? ? 2 2 3? ? ? ? ? ? ? ?1 ? 1 ? 1 1 ? ?0 0 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 1 ? 1? ? ? ? 1 ? 1? 2. 求 n 阶矩阵 A ? ? 的逆阵, 并求 | A | 中所有元素的代数余子式之和。 ? ?? ? ? ? 1? ? ?

? 1 1 ? 1? ?1 ?1 1? ? ? ? ? 3. 已知 A ? ? 0 2 2 ? ,B ? ? 1 1 0 ? 。若三阶方阵 X 满足 XA ? B ,求 X 。 ?1 ?1 0 ? ? 2 2 1? ? ? ? ? ? 1 2 3? ? 1 3? ? ? ? ? ? 2 1? ? C ? 2 0 4.已知 A ? ? 2 2 1 ? , B ? ? , ? ? 。若矩阵 X 满足 AXB ? C , ? 5 3? ? ? ? 3 4 3? ? 3 1? ? ? ? ?

求X。 5. 设 n 阶方阵 A 满足 A 2 ? A ? 6 I n ? O ,证明 A , A ? I n 和 A ? 4 I n 都可逆,并求 它们的逆阵。 ?1 0 1? ? ? 6.设 A ? ? 0 2 0 ? ,若 3 阶矩阵 B 满足 B ? AB ? A 2 ? I ,求 B 。 ?1 0 1? ? ? ? 1 1 ? 1? ? ? 7. 已知 A ? ? ? 1 1 1 ? ,3 阶矩阵 B 满足 A* B ? A?1 ? 2B ,求 B 。 ? 1 ?1 1 ? ? ? ?1 ?1 0 0 ? ? 2 1 3 4? ? ? ? ? ?0 1 ?1 0 ? ? 0 2 1 3? 8. 设 B ? ? , C ?? ,若 4 阶矩阵 A 满足 0 0 1 ? 1? 0 0 2 1? ? ? ? ? ?0 0 0 1 ? ? 0 0 0 2? ? ? ? ? ?1 T T A( I ? C B) C ? I ,求 A 。 9.证明:对称矩阵的逆阵还是对称矩阵;反对称矩阵的逆阵还是反对称矩阵。 10.设 P 是 m ? n 矩阵,且 PP T 可逆。记 A ? I n ? P T ( PP T ) ?1 P 。证明 A 是对称 矩阵,且 A 2 ? A 。 11. (1)设 A 是可逆矩阵,证明: (A ?1 ) * ? ( A* ) ?1 ; (2)设 A , B 是同阶可逆矩阵,证明: ( AB) * ? B * A* 。 12.设 A , B 为 n 阶矩阵,且 | A |? 2 , | B |? ?3 ,求 | 2 A* B ?1 | 。 ?1 0 0 0? ? ? ? 0 1 0 0? * 13 . 设 A 的 伴 随 矩 阵 A ? ? ,若 4 阶矩阵 B 满 足 1 0 1 0? ? ? ?0 ? 3 0 8? ? ? ?1 ?1 ABA ? BA ? 3I ,求 B 。 1 14.设 n 维向量 α ? (a, 0, ?, 0, a)T ( a ? 0 ) 。记 A ? I n ? αα T , B ? I n ? αα T 。 a ?1 若 B ? A ,求 a 。 15.设 α 是 n 维非零列向量,记 A ? I n ? αα T 。证明: (1) A 2 ? A 的充分必要条件是 α T α ? 1 ; (2)当 α T α ? 1 时, A 是不可逆矩阵。 16.设 A , B , C 是 n 阶矩阵,且 A , B 可逆,化简矩阵算式 ( BC T ? I n ) T ( AB ?1 ) T ? [( BA ?1 ) T ] ?1 。 17.设可逆矩阵 A 的每行元素之和都为 a ,证明: A ?1 的每行元素之和都为 a ?1 。 18. (1)设 A 是 m 阶可逆方阵, D 是 n 阶可逆方阵, B 是 m ? n 矩阵, C 是 n ? m 矩阵,证明降阶公式: | D || A ? BD ?1C |?| A || D ? CA?1 B | 。 (2)利用等式

?0 2 3 ? n? ? ? ? ?1 ? ?1? ? ? ? ?1 0 3 ? n? ? ?2 ? ? ?1? ? ? A? 1 2 0 ? n ?? ? ? ? ? ??1, 2, ?, n ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? n? ? ?1? ?1 2 3 ? 0? ? ? ? 和(1)的结论计算 | A | 。 (3)利用等式 ? a12 a1 a 2 ? 1 ? a1a n ? 1 ? ? a1 1? ? ? ? ? 2 a2 ? a 2 a n ? 1? ? a 2 a1 ? 1 ? a 2 1? ?1 ? a1 a 2 ? a n ? B?? ? ? ?I n ? ? ? ??I 2 ? ?1 1 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ?a a ?1 a a ?1 ? ? an ? ? a n 1? n 2 ? n 1 和(1)的结论计算 | B | 。 19.用 Cramer 法则解下列线性方程组: ?2 x1 ? 3x2 ? 11x3 ? 5 x4 ? 6, ? x ? x ? 5 x ? 2 x ? 2, ? 1 2 3 4 ? ? 2 x1 ? x2 ? 3x3 ? 4 x4 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 3x3 ? 4 x4 ? 2. 20.若线性方程组 ? x1 ? x2 ? x3 ? ax4 ? 0, ? x ? 2 x ? x ? x ? 0, ? 1 2 3 4 ? ? x1 ? x2 ? 3x3 ? x4 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? ax3 ? bx4 ? 0 有非零解,问 a , b 应满足什么条件? 21.设 a 2 ? b 2 ,证明线性方程组 ? ax1 ? bx 2 n ? 1, ? ax ? bx 2 n ?1 ? 1, ? 2 ? ?? ? ?ax n ?1 ? bx n ? 2 ? 1, ? ? ax n ? bx n ?1 ? 1, ? ? bx n ? ax n ?1 ? 1, ?bx n ?1 ? ax n ? 2 ? 1, ? ?? ? ? bx ? ax 2 n ?1 ? 1, ? 2 ? ? bx1 ? ax 2 n ? 1
有唯一解,并求其解。


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