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免费2013走向高考数学3-1角的概念的推广与任意角的三角函数


高考数学总复习

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第3章

三角函数与三角形

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第3章

三角函数与三角形

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/>
●课程标准 一、任意角的三角函数 1.任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度 的互化. 2.三角函数 ①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义.
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②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( ±α,π±α的正弦、余弦、正切),能画出y=sinx,y= cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性.

π 2

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③借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切 函数在
? π π? ?- , ? ? 2 2?

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上的性质(如单调性、最大和最小值、图

象与x轴交点等).

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④理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x= sinx 1, =tanx. cosx ⑤结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意 义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+φ)的图 象,观察参数A,ω,φ对函数图象变化的影响. ⑥会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角 函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
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二、三角恒等变换 1.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、 余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了 解它们的内在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出 积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆).
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三、解三角形 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握 正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量 问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决 一些与测量和几何计算有关的实际问题.
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●命题趋势 从近几年的各省高考试卷看,试题内容主要有以下 几种类型:一是重点考查两域(定义域、值域)四性(单 调、奇偶、周期、对称),尤其是图象变换、周期、单调 性与最值,题型多为选择题、填空题,但也出现中低档 的解答题;二是考查三角函数式的恒等变形,利用公式 求值,解决简单综合问题,难度为中等或易题;
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三是简单的应用正、余弦定理判断三角形的形状的选 择、填空题,一般为容易题;四是将三角函数的图象与 性质,三角恒等变换,平面向量及不等式等融合在一 起,有一定的综合性的大题.但总体上来看,大题的难 度明显降低.
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角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进 行.对求角的集合的交、并等计算技能的考查,有一定 综合性,涉及的知识点较多,不过多比较浅显.三角函 数的意义与三角函数的符号一般在最基本的层面上用选 择、填空题的形式考查.
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三角函数的性质和图象主要考查三角函数的概念、 周期性、单调性、有界性、对称性及图象的平移和伸缩 变换等,多以小而活的选择题和填空题的形式出现,有 时也会出现以函数性质为主、结合图象的综合题.尤其 是y=Asin(ωx+φ)的图象与性质考查较多.
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三角函数的化简求值及最值问题,主要考查同角三 角函数的基本关系式,三角函数的诱导公式,和、差、 倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用,考查 利用三角公式进行恒等变形的技能,以及基本运算的能 力,特别突出算理方法的考查.
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解三角形主要考查应用正、余弦定理对已知式进行 变形、求值或判定三角形的形状. 近年高考命题强调以能力立意,加强对知识综合性 和应用性的考查,跨学科应用是三角函数的一个鲜明特 点、与不等式、平面向量、数列、解析几何、立体几何 等都可能结合起来,重点仍是与平面向量的结合.
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●备考指南 1.任意角的三角函数和三角恒等变换的复习,要立 足于教材,弄清公式的来龙去脉及适用条件,掌握基本的 三角变换,要注意对公式的正用、逆用、变形应用的训 练,以增强变换的意识;同时,要归纳解题思路及解题规 律,如在三角函数求值问题中,一般是用基本公式,把未 知角变换为已知角来解;
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在求最值、周期问题中,其思路是合理运用公式把已知 表达式化为一个角的一种三角函数式来求解,由于新课 标对三角变换的要求降低了很多,因此复习时选题不宜 太难,注重通性通法,要重视对有关结论的掌握,不要 刻意追求特别技巧.
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2.解三角形的复习应弄清应用正弦定理和余弦定理 解决三角形问题的基本题型与思路,会应用面积公式, 注意解的讨论. 体会如何用代数方法解决几何问题,学习将实际问 题中的长度、角度看成三角形中的边和角,将实际问题 转化为解斜三角形的问题,并注意边角关系与解析几 何、立体几何的联系问题.
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注意加强化简、求值或判断三角形的形状等问题的 训练和立体几何中的计算、与向量的结合等方面的练 习. 3.本章试题多以选择题、填空题的形式出现,因此 复习中要重视选择题、填空题的一些特殊解题方法训 练,如:数形结合法、代入检验法、特殊化法、待定系 数法、排除法等.另外,在求有关三角函数的最值问题 时,有时可用换元法将问题转化为一元二次函数的最值 来解决,这也是常用的方法
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4.三角函数是以实数为自变量的函数,复习时要注 意函数思想的应用,新教材突出了应用问题的地位,今 后的高考会继续体现,而对三角的综合考查将继续向三 角形问题中伸展及与平面向量综合,或与不等式、复 数、解析几何、立体几何相联系,故应注意这方面的训 练.与概率知识的交汇应予以关注. 5.注意单位圆在三角函数复习中梳理知识,探寻解 法等应用.
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第 一 节

角的概念的推广与任意角的三角函数

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重点难点 重点:①终边相同的角、轴线角和象限角的表示方 法; ②角度数与弧度数的换算; ③三角函数的定义; ④各三角函数值在每个象限的符号; ⑤特殊角的三角函数值.
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难点:①三角函数定义及符号. ②弧度制. 知识归纳 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋
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逆 转到另一个位置所成的图形,按___时针方向旋转所形成
顺 的角叫做正角,按___时针方向旋转所形成的角叫做负

角.若一条射线没作任何旋转,称它形成了一个零角.

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2.象限角 使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴
终边 重合.角的_____落在第几象限,就说这个角是第几象限
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角. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一 个集合{β|β=α+k· ,k∈Z}或{β|β=α+2kπ, 360° k∈Z},前者α用角度制表示,后者α用弧度制表示.

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第一节

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4.弧度制
半径 把长度等于____长的弧所对的圆心角叫1弧度的

角.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制,它 的单位符号是rad,通常略去不写.度与弧度的换算关系 如下:
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180° π =__rad,1° =

π 180 rad,1rad=( π )° . 180

5.弧度制下弧长公式和扇形面积公式
1 lr |α|·r 2 扇形弧长 l=_____,扇形面积 S=____.
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6.任意角的三角函数的定义 直角坐标系中任意大小的角 α 终边上一点 P 的坐标 y (x,y),P 到原点的距离是 r(r>0),那么 sinα= ,cosα r x y = ,tanα= (x≠0)分别叫做角 α 的正弦、余弦、正切. r x
第3章 第一节

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7.正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数 sinα cosα tanα 定义域 R R π {α|α≠kπ+ ,k∈Z} 2
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8.各象限内角的三角函数值的符号如下图所示:
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三角函数正值口诀:Ⅰ全正,Ⅱ正弦,Ⅲ两切,Ⅳ 余弦.

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误区警示 1.引入弧度制后,角的表示要么采用弧度制,要么 采用角度制,两者不可混用. 2.(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却 不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差 360° 的整数倍.解三角方程时,一定要注意终边相同的 角.
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(2)角的集合的表示形式不是惟一的,如:终边在y π 轴的负半轴上的角的集合可以表示为{x|x=2kπ- ,k∈ 2 3π Z},也可以表示为{x|x=2kπ+ ,k∈Z}等. 2 3.在三角函数中,角和三角函数值的对应关系是多 对一,即给定一个角,它的各个三角函数值是惟一确定 的(不存在的情况除外);反过来,给定一个三角函数 值,有无穷多个角和它对应.
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π 4.正切函数y=tanx的定义域是{x∈R|x≠kπ+ ,k 2 ∈Z},不是R. 5.判断三角函数值的符号时,应特别注意角所在象 限的确定,不要忽略角的终边落在坐标轴上的情况. 6.下列概念应注意区分 小于90° 的角;锐角;第一象限的角;0° ~90° 的 角. 7.三角函数定义中,角α的三角函数值仅仅与角α 的终边位置有关,而与终边上点P的位置无关.
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一、构造思想 [例 1]
? π? 已知:α∈?0,2 ?,求证:sinα<α<tanα. ? ?
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分析: 构造单位圆, 利用单位圆中的三角函数线及三 角形和扇形的面积来证明.

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证明:设角 α 与单位圆交于 P,则 MP=sinα,AT= ︵ tanα,如图所示,PA的长 l=α.连结 AP. 1 1 △POA 的面积= OA· MP= sinα. 2 2 1 1 扇形 OAP 的面积= l· OA= α. 2 2 1 1 △OAT 的面积= OA· AT= tanα. 2 2 1 1 1 ∵S△POA<S 扇形 OAP<S△OAT,即 sinα< α< tanα. 2 2 2 ∴sinα<α<tanα.
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二、解题技巧 1.利用三角函数的定义解决问题,一般可在角的终 边上任取一点或取某个特殊点. 2.解简单三角不等式通常是利用单位圆中的三角函 数线求解. α α 3.利用单位圆判断 2α、3α、 、 所在象限问题. 2 3
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[例 2]

已知角 α 是第 n(n=1、2、3、4)象限的角,

α 问 是第几象限的角? 2

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解析:如图:把单位圆在各象限的圆弧都 2 等分(2 α 是 的分母),从∠AOB 开始逆时针依次标上 1、2、3、4, 2 α 再循环一遍,直到填满为止,则有标号 n 的就是 所在象 2 限数. α 如 n=4, 是第二或第四象限的角.用同样的方法也 2 α α 可求 , 所在象限. 3 4
第3章 第一节

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α α 上图左是求 的方法,上图右是求 的方法. 3 4

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θ 一般地,要确定n所在的象限,可以把各个象限都 n 等分,从 x 轴的非负半轴起,按逆时针方向把这 4n 个区 域依次循环标上号码 1、2、3、4,则标号是几的区域, θ θ 就是 θ 为第几象限的角时,n终边落在的区域,n所在的 象限就可直观地看出.
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角的概念与终边相同的角
π 已知 α 角的终边与 的终边相同, 在[0,2π)内哪些 3

[例 1]

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α 角的终边与 角的终边相同? 3 π 解析:∵α 角的终边与 的终边相同, 3 π α 2kπ π ∴α=2kπ+ (k∈Z).∴ = + (k∈Z). 3 3 3 9 α 2kπ π 又 0≤ <2π,∴0≤ + <2π(k∈Z). 3 3 9
第3章 第一节

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α π 7π 13π 当 k=0、1、2 时,有 = 、 、 ,它们满足条 3 9 9 9 件. π 7π 13π ∴ 、 、 为所求. 9 9 9
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点评: 迅速进行角度和弧度的互化, 准确判明角所在 的象限, 熟练掌握终边相同的角的表示是学习三角函数知 识必备的基本功. 涉及到角度和弧度互化关系和终边相同 角的问题,基本公式 180° =πrad 在解题中起关键作用, 若要确定一个绝对值较大的角所在的象限, 一般是先将角 化成 2kπ+α(0<α<2π)(k∈Z)的形式, 然后再根据 α 所在 的象限予以判断,这里要特别注意是 π 的偶数倍,而不
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是 π 的整数倍,若要求出在某一指定范围内的某种特殊 的角,通常是化为不等式去求出对应的 k 值.另外,还要 注意理解区间角的概念,并能掌握好 α 角的取值范围与 α 2α、 角的取值范围间的相互关系. 2
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若 sinθ<cosθ,且 sinθ· cosθ<0,则 θ 在( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)
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解析:由条件可知:cosθ>0>sinθ,则 θ 为第四象限 角,故选 D. 答案:D

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三角函数的定义
[例 2] (文)若一个角 α 的终边上有一点 P(-4,a), )
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3 且 sinα· cosα= ,则 a 的值可能为( 4 A.4 3 C.-4 3 B.± 3 4 D. 3

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解析:依题意可知 α 角的终边在第三象限,点 P(-4, 3 3 a)在其终边上且 sinα· cosα= ,易得 tanα= 3或 , 4 3 4 3 则 a=-4 3或- . 3
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答案: C

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(理)α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 2 cosα= x,则 sinα 的值为( 4 10 A. 4 2 C. 4 )
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6 B. 4 10 D.- 4

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x 2 解析:∵OP= x +5,∴cosα= 2 = x x +5 4
2

又因为 α 是第二象限角, ∴x<0,得 x=- 3 5 10 ∴sinα= 2 = ,故选 A. 4 x +5

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答案:A

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7π 7π 已知角 α 的终边经过点 P(sin ,cos ),则 sinα+ 4 4 cosα 的值为________. 2 2 解析:已知 P(- , ),∴r=1, 2 2 2 2 ∴sinα= ,cosα=- ,∴sinα+cosα=0. 2 2 答案:0
第3章 第一节

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三角函数值的符号的判断
sin?cosθ? (1)若 θ 是第二象限角, 判断 的符号; cos?sin2θ?

[例 3]

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(2)确定 lg(cos6-sin6)的符号. 分析:确定符号,关键是看角所在象限.

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π 解析:(1)∵2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z), 2 ∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π, -1≤sin2θ<0, ∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0. sin?cosθ? sin?cosθ? ∴ <0.∴ 的符号是负号. cos?sin2θ? cos?sin2θ?
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(2)∵6 为第四象限的角 ∴cos6>0,sin6<0,故 cos6-sin6>0 ∵(cos6-sin6)2=1-2sin6cos6=1-sin12>1 (12 是第四象限的角) ∴cos6-sin6>1,∴lg(cos6-sin6)>0. ∴lg(cos6-sin6)的符号为正号.
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第3章

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点评: 此题主要考查三角函数在各象限内的符号, 当 用弧度表示的角不好判定所在象限时, 可转化成角度来表 示.
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点 P(sin2012° ,tan2012° )位于( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

)
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解析:∵2012° =360° ×5+212° 为第三象限角, ∴tan2012° >0,sin2012° <0,∴点 P 在第二象限. 答案:B

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弧长公式的应用
[例 4] 已知一扇形的中心角是 α, 所在圆的半径是 R
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(1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在 的弓形面积. (2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度 时,该扇形有最大面积?

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第3章

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解析:(1)设弧长为 l,弓形面积为 S 弓,因为 α=60° π 10 = ,R=10,所以 l= π(cm), 3 3 1 10 1 S 弓=S 扇-S△= × π×10- ×102· sin60° 2 3 2 π 3 =50( - )(cm2) 3 2
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C (2)∵扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴R= , 2+α 1 2 1 C 2 C2 α ∴S 扇= α· = α( R )= · 2 2 2+α 2 4+4α+α2 C2 1 C2 = · ≤ . 2 4 16 4+α+α 4 所以当且仅当 α=α,即 α=2(α=-2 舍去)时, C2 扇形面积有最大值 . 16

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点评: 涉及弧长和扇形面积的计算, 可用的公式有角 度和弧度表示的两种, 其中弧度表示的公式结构简单, 易 记好用,在使用前,应将圆心角用弧度表示. 1 2 弧长和扇形面积公式:l=|α|r,S= |α|r . 2
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已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2, 那么这个圆心 角所对弧长是( A.2 2 C. sin1 ) B.sin2 D.2sin1
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第3章

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解析:如图,∠AOB=2 弧度,过 O 点作 OC⊥AB

︵ 于 C,并延长 OC 交AB于 D.∠AOD=∠BOD=1 弧度,
1 AC 1 且 AC= AB=1, Rt△AOC 中, 在 AO= = , 2 sin1 sin∠AOC 2 从而弧 AB 的长为 l=|α|· r= .∴选 C. sin1
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答案:C
第3章 第一节

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点评:本题是据弧长公式 l=|α|r 求弧长,需先求半 径.

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一、选择题 1.(文)角 α 的终边经过点 P(-1,2),则 sinα=( 5 A. 5 5 C.- 5 2 5 B. 5 2 5 D.- 5 )
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[答案] B [解析]
2 2

由三角函数的定义知,x=-1,y=2,r=

y 2 5 x +y = 5,∴sinα=r = . 5
第3章 第一节

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(理)(2010· 富阳模拟)已知角 α 的终边过点 P(-8m, 4 -6sin30° ),且 cosα=- ,则 m 的值为( 5 1 A.- 2 3 C.- 2 [答案] B [解析] ∵P(-8m,-3),∴|OP|= 64m2+9, -8m 4 4 1 由 cosα=- 得, =- ,∴m= . 2 5 5 2 64m +9
第3章 第一节

)
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1 B. 2 3 D. 2

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2.(文)(2010· 深圳中学)若 sin2α>0 且 cosα<0,则 α 是( ) A.第二象限角 C.第三象限角 [答案] C B.第一或第三象限角 D.第二或第三象限角
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[解析] ∵sin2α=2sinαcosα>0,cosα<0,∴sinα<0, ∴α 为第三象限角.

第3章

第一节

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(理)设 0≤θ<2π,如果 sinθ>0 且 cos2θ>0,则 θ 的取 值范围是( ) π 3π B.0<θ< 或 <θ<π 4 4 3π 5π D. <θ< 4 4
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3π A.0<θ< 4 3π C. <θ<π 4

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[答案] B [解析] ∵0≤θ<2π,且 sinθ>0,∴0<θ<π. π π 又由 cos2θ>0 得,2kπ- <2θ<2kπ+ , 2 2 π π 即 kπ- <θ<kπ+ (k∈Z).∵0<θ<π, 4 4 π 3π ∴θ 的取值范围是 0<θ< 或 <θ<π. 4 4
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sinα 3. 若角 α 的终边落在直线 y=-x 上, 则 2 + 1-sin α 1-cos2α 的值等于( cosα A.0 C.-2 ) B.2 D.2tanα
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[答案]

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[解析] ∵角 α 的终边落在直线 y=-x 上, 3π ∴α=kπ+ 4 (k∈Z),∴sinα 与 cosα 符号相反,
2

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1-cos α sinα |sinα| sinα ∴ = + =0. 2 + cosα |cosα| cosα 1-sin α

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二、填空题 4. (2010· 南通模拟)已知点 P(tanα, cosα)在第三象限, 则角 α 的终边在第________象限.
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[答案] 二 [解析] ∵点 P
?tanα<0 ? 在第三象限,∴? ?cosα<0 ?

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∴角 α 的终边在第二象限.

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2016届高三数学一轮基础巩固 第4章 第1节 角的概念的推广与任意角的三角函数(含解析)新人教A版

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《2014数学高考》2014_高三数学(人教A版新课标)总复习同步练习4-1角的概念的推广与任意角的三角函数

《2014数学高考》2014_高三数学(人教A版新课标)总复习...4-1角的概念的推广与任意角的三角函数_数学_高中...∵0<θ<π, 4 4 π 3π ∴θ的取值范围是 0...


第五章 三角函数5.1角的概念的推广及其度量

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1.1角的推广及三角函数的概念

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2013三角函数概念,题型,拔高,错点

专题三:三角函数拔高答案 4页 免费 高考数学三角函数典型例题 15页 免费 三角...2013 三角函数概念题型及综合拔高联系 1角的概念的推广:平面内条射线绕着...

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