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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第4章 第2节 同角三角函数的基本关系及诱导公式


第四章

第二节

一、选择题 1.(文)已知 sin10° =a,则 sin70° 等于( A.1-2a2 C.1-a2 [答案] A [解析] 由题意可知,sin70° =cos20° =1-2sin210° =1-2a2,故选 A. 5 (理)已知△ABC 中,tanA=- ,则 cosA=( 12 12 A. 13 5 C.- 13

[答案] D [ 解析 ] 在△ ABC 中,由 tanA =- 5 <0 知,∠ A 为钝角,所以 cosA<0,1 + tan2A = 12 B. ) 5 13 ) B.1+2a2 D.a2-1

12 D.- 13

sin2A+cos2A 1 169 12 = 2 = ,所以 cosA=- ,故选 D. cos2A cos A 144 13 [点评] 学习数学要加强多思少算的训练,以提高思维能力,尤其是选择题,要注意结合 5 其特点选取.本题中,tanA=- ,A 为三角形内角,即知 A 为钝角,∴cosA<0,排除 A、B; 12 又由勾股数组 5、12、13 及 tanA= sinA 12 知,|cosA|= ,故选 D. cosA 13

1 2.(文)(2014· 重庆七校联盟联考)向量 a=( ,tanα),b=(cosα,1),且 a∥b,则锐角 α 的 3 余弦值为( 1 A. 3 C. 2 3 ) 2 B. 3 2 2 D. 3

[答案] D [解析] ∵a∥b, 1 1 ∴ -tanαcosα=0?sinα= . 3 3 ∵α 为锐角,∴cosα= 1 2 2 1- = . 9 3

-1-

(理)(2014· 广东广州模拟)已知函数 f(x)=sinx-cosx, 且 f ′(x)=2f(x), 则 tan2x 的值是( 4 A.- 3 3 C.- 4 [答案] C 4 B. 3 3 D. 4

)

[解析] ∵f(x)=sinx-cosx,所以 f ′(x)=cosx+sinx,于是有 cosx+sinx=2(sinx-cosx), 2×3 2tanx 3 整理得 sinx=3cosx,所以 tanx=3,因此 tan2x= =- ,故选 C. 2 = 4 1-tan x 1-32 π π ? ?cos?2x+6?,x≥0, 3.(2014· 湖北重点中学阶段性测试)已知函数 f(x)=? 则 f(-2013)等 ?f?-x?, ? x<0, 于( ) 1 A. 2 C. 3 2 1 B.- 2 D.- 3 2

[答案] B 2013π π [解析] f(-2013)=f(2013)=cos( + ) 2 6 π 1 =-sin =- . 6 2 2 4. (2013· 山东青岛高三教学评估)若△ABC 的内角 A 满足 sin2A= , 则 sinA+cosA=( 3 A. 5 C. 3 [答案] A [解析] ∵0<A<π,∴0<2A<2π. 2 2 π 又∵sin2A= ,即 2sinAcosA= ,∴0<A< . 3 3 2 5 ∵(sinA+cosA)2=sin2A+cos2A+2sinAcosA= , 3 ∴sinA+cosA= 5. 15 . 3 ) 1 B.- 2 15 3 B.- 5 D.- 3 15 3 )

sin?-250° ?cos70° 的值为( cos2155° -sin225° 3 2

A.-

-2-

1 C. 2 [答案] C

D.

3 2

-sin?270° -20° ?cos?90° -20° ? [解析] 原式= cos225° -sin225° = cos20° sin20° sin40° cos50° 1 = = = ,故选 C. cos50° 2cos50° 2cos50° 2

[点评] 怎样计算任意角的三角函数值 计算任意角的三角函数值,主要是运用诱导公式化任意角三角函数为锐角三角函数,其 一般步骤是: (1)负化正: 当已知角为负角时, 先利用-α 的诱导公式把这个角的三角函数值化为正角的 三角函数值; (2)正化主:当已知角不在区间[0° ,360° )时,可用 k· 360° +α 的诱导公式把这个角的三角 函数值化为主区间[0° ,360° )上的角的三角函数值; (3)主化锐:当已知角是 90° 到 360° 间的角时,可利用 180° ± α,360° -α 的诱导公式把这个 角的三角函数值化为 0° 到 90° 间的角的三角函数值 (对于非特殊角用查表或用计算器求出结 果). 6.(文)设 cos(-80° )=k,那么 tan100° =( A. C. 1-k2 k k 1-k2 ) B.- D.- 1-k2 k k 1-k2

[答案] B [解析] ∵sin80° = 1-cos280° = 1-cos2?-80° ?= 1-k2, 1-k2 sin80° ∴tan100° =-tan80° =- =- . cos80° k (理)已知 tan140° =k,则 sin140° =( A. k 1+k2 k 1+k2 ) B. 1 1+k2 1 1+k2

C.-

D.-

[答案] C [解析] k=tan140° =tan(180° -40° )=-tan40° , ∴tan40° =-k,∴k<0,sin40° =-kcos40° , sin140° =sin(180° -40° )=sin40° ,

-3-

∵sin240° +cos240° =1, ∴k2cos240° +cos240° =1, ∴cos40° = 二、填空题 sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] 7.化简 =______(k∈Z). sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α? [答案] -1 [解析] 对 参 数 k 分 奇 数 、 偶 数 讨 论 . 当 k = 2n + 1(n ∈ Z) 时 , 原 式 = -k 1 ,∴sin40° = 2 . k +1 k +1
2

sin?2nπ+π-α?· cos?2nπ-α? sin?2nπ+2π+α?· cos?2nπ+π+α? = sin?π-α?· cosα sinα· cosα = =-1. sinα· cos?π+α? sinα· ?-cosα?

当 k=2n(n∈Z)时,原式 = = sin?2nπ-α?· cos?2nπ-π-α? sin?2nπ+π+α?· cos?2nπ+α? -sinα· ?-cosα? =-1. -sinα· cosα

sin?kπ-α?· cos[?k-1?π-α] 所以 =-1. sin[?k+1?π+α]· cos?kπ+α? 8.函数 y= tanx+lg cosx 的定义域是________________. π [答案] {x|2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z} 2
? ?tanx≥0, [解析] 由题意知? ?cosx>0, ?

π 如图,由 tanx≥0 得,mπ≤x<mπ+ ,m∈Z, 2 π π 由 cosx>0 得,2nπ- <x<2nπ+ ,n∈Z. 2 2 π ∴2kπ≤x<2kπ+ ,k∈Z. 2

1 π 9. (2015· 唐山海港高级中学月考)已知 sinαcosα= , 且 α∈(0, ), 则 cosα-sinα=________. 4 4

-4-

[答案]

2 2

π [解析] ∵α∈(0, ),∴cosα>sinα,∴cosα-sinα>0, 4 1 1 ∵sinαcosα= ,∴(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα= , 4 2 ∴cosα-sinα= 三、解答题 3π 10.(文)(2013· 长沙一中月考)已知 6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0,α∈( ,2π). 2 (1)求 tanα 的值; π (2)求 cos(α+ )的值. 3 3π [解析] (1)∵α∈( ,2π),∴cosα≠0, 2 ∵6sin2α+5sinαcosα-4cos2α=0, 4 1 ∴6tan2α+5tanα-4=0,解得 tanα=- 或 tanα= . 3 2 3π ∵α∈( ,2π),∴tanα<0. 2 1 4 故 tanα= (舍去),∴tanα=- . 2 3 3π 4 (2)∵α∈( ,2π),∴由 tanα=- , 2 3 4 3 求得 sinα=- ,cosα= . 5 5 π π π ∴cos(α+ )=cosαcos -sinαsin 3 3 3 3 1 4 3 3+4 3 = × -(- )× = . 5 2 5 2 10 π π π (理)(2014· 山东青岛阶段测试)是否存在 α∈(- ,), β∈(0, π), 使等式 sin(3π-α)= 2· cos( 2 2 2 -β), 3cos(-α)=- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理 由. 2 . 2

?sinα= 2sinβ,① [解析] 由条件,得? ? 3cosα= 2cosβ.②
1 ①2+②2 得 sin2α+3cos2α=2,∴cos2α= . 2 π π π π 又∵α∈(- , ),∴α= 或 α=- . 2 2 4 4

-5-

π 3 将 α= 代入②,得 cosβ= . 4 2 π 又 β∈(0,π),∴β= ,代入①可知符合. 6 π 3 将 α=- 代入②,得 cosβ= . 4 2 π 又 β∈(0,π),∴β= ,代入①可知不符合. 6 π π 综上可知,存在 α= ,β= 满足条件. 4 6

一、选择题 11.(2014· 龙岩月考)已知 α 为第二象限角,sinα+cosα= A.- C. 5 9 5 3 B.- D. 5 3 5 9 3 ,则 cos2α=( 3 )

[答案] A [解析] 由 sinα+cosα= 2 即 sin2α=- . 3 又 α 为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0, ∴cosα-sinα=- ?cosα-sinα?2=- ∴cos2α=cos2α-sin2α= 15 . 3 3 1 平方得:1+sin2α= , 3 3

3 15 5 ×(- )=- .故选 A. 3 3 3

解答本题要注意到 sinα± cosα 与 sinαcosα 之间的关系. 12.已知 tanθ>1,且 sinθ+cosθ<0,则 cosθ 的取值范围是( A.(- 2 ,0) 2 B.(-1,- 2 ) 2 )

C.(0,

2 ) 2

D.(

2 ,1) 2

[答案] A [解析] 如图,依题意结合三角函数线进行分析可知,2kπ+ 5π 3π <θ<2kπ+ ,k∈Z,因此 4 2

-6-



2 <cosθ<0.选 A. 2

π 13.(文)已知 tanx=sin(x+ ),则 sinx=( 2 -1± 5 A. 2 C. 5-1 2

) B. D. 3+1 2 3-1 2

[答案] C π [解析] ∵tanx=sin(x+ ),∴tanx=cosx, 2 ∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0, -1± 5 解得 sinx= , 2 ∵-1≤sinx≤1,∴sinx= 5-1 .故选 C. 2

C (理)(2013· 北京海淀期中)已知关于 x 的方程 x2-xcosA· cosB+2sin2 =0 的两根之和等于两 2 根之积的一半,则△ABC 一定是( A.直角三角形 C.等腰三角形 [答案] C 1 C [解析] 由题意得,cosAcosB= · 2sin2 ? 2 2 1-cosC cosA· cosB= ?2cosA· cosB=1+cos(A+B) 2 ?2cosA· cosB=1+cosA· cosB-sinA· sinB ?cosA· cosB+sinA· sinB=1?cos(A-B)=1?A-B=0?A=B,所以△ABC 一定是等腰三 角形,故选 C. 二、填空题 π 1 14.(2014· 上海崇明期末)若 tan( -θ)= ,则 sinθcosθ=________. 4 2 [答案] 3 10 ) B.等边三角形 D.钝角三角形

-7-

1-tanθ 1 π 1 [解析] tan( -θ)= = ,得 tanθ= , 4 2 3 1+tanθ sinθcosθ tanθ 3 = = = . 10 sin2θ+cos2θ tan2θ+1 1 +1 9 1+cos109° 3 1 ,c= cos81° + sin99° ,将 a、b、c 用“<”号连 2 2 2 1 3

∴sinθcosθ=

2tan70° 15.设 a= ,b= 1+tan270° 接起来________. [答案] b<c<a

2tan70° 2sin70° cos70° [解析] a= = =sin140° , 1+tan270° cos270° +sin270° b= 1+cos109° = 2 1-cos71° =sin35.5° =sin144.5° , 2

c=sin60° cos81° +cos60° sin81° =sin141° , ∵y=sinx 在(90° ,180° )内单调递减, ∴a>c>b. π 1 16.若 3cos( -θ)+cos(π+θ)=0,则 cos2θ+ sin2θ 的值是________. 2 2 [答案] 6 5

[分析] 利用诱导公式可将条件式化简得到 sinθ=kcosθ(或 tanθ=k)结合 sin2θ+cos2θ=1 可求得 sinθ 与 cosθ 代入待求式可获解(或将待求式除以 1=sin2θ+cos2θ,分子分母都化为 tanθ 的表示式获解). π 1 [解析] ∵3cos( -θ)+cos(π+θ)=0,即 3sinθ-cosθ=0,即 tanθ= . 2 3 cos2θ+sinθcosθ cos2θ+sinθcosθ 1 ∴cos θ+ sin2θ= = 2 1 sin2θ+cos2θ
2

1+tanθ = = 1+tan2θ 三、解答题

1 4 1+ 3 3 6 = = . 1 2 10 5 1+? ? 3 9

17.(2014· 沈阳监测)已知函数 f(x)=sinx- 3cosx+2,记函数 f(x)的最小正周期为 β,向 β π 7 量 a=(2,cosα),b=(1,tan(α+ ))(0<α< ),且 a· b= . 2 4 3 2π 4π (1)求 f(x)在区间[ , ]上的最值; 3 3 (2)求 2cos2α-sin2?α+β? 的值. cosα-sinα

-8-

π [解析] (1)f(x)=sinx- 3cosx+2=2sin(x- )+2, 3 2π 4π π π ∵x∈[ , ],∴x- ∈[ ,π], 3 3 3 3 π ∴sin(x- )∈[0,1], 3 ∴f(x)的最大值是 4,最小值是 2. (2)由题意知 β=2π, 7 ∴a· b=2+cosαtan(α+π)=2+sinα= , 3 1 ∴sinα= , 3 ∴ 2cos2α-sin2?α+β? 2cos2α-sin2α = =2cosα cosα-sinα cosα-sinα 4 2 . 3

=2 1-sin2α=

3π? 18.(文)(2014· 龙湾中学月考)已知向量 a=(cosα,1),b=(-2,sinα),α∈? ?π, 2 ?,且 a ⊥b. (1)求 sinα 的值; π? (2)求 tan? ?α+4?的值. [解析] (1)∵a=(cosα,1),b=(-2,sinα),且 a⊥b. ∴a· b=(cosα,1)· (-2,sinα)=-2cosα+sinα=0. 1 ∴cosα= sinα. 2 4 ∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α= . 5 3π 2 5 π, ?,∴sinα=- ∵α∈? . 2? ? 5 (2)由(1)可得 cosα=- 5 ,则 tanα=2. 5

π tanα+1 α+ ?= tan? ? 4? 1-tanα=-3. (理)已知向量 m=(-1,cosωx+ 3sinωx),n=(f(x),cosωx),其中 ω>0,且 m⊥n,又函 3 数 f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为 π. 2 (1)求 ω 的值;

-9-

π α+ ? sin? 4? ? 3 π 23 ? (2)设 α 是第一象限角,且 f? ?2α+2?=26,求cos?4π+2α?的值. [解析] (1)由题意得 m· n=0,所以, f(x)=cosωx· (cosωx+ 3sinωx) = 1+cos2ωx π 1 3sin2ωx 2ωx+ ?+ , + =sin? 6? 2 ? 2 2

根据题意知,函数 f(x)的最小正周期为 3π. 1 又 ω>0,所以 ω= . 3 2 π? 1 (2)由(1)知 f(x)=sin? ?3x+6?+2. 3 π? ? π? 1 所以 f? ?2α+2?=sin?α+2?+2 1 23 =cosα+ = , 2 26 5 解得 cosα= , 13 12 因为 α 是第一象限角,故 sinα= , 13 π? 2 sin? ?α+4? 2 ?sinα+cosα? 所以, = = cos2α cos?4π+2α? cos2α-sin2α = 2 1 13 2 · =- . 2 cosα-sinα 14 π? sin? ?α+4?

- 10 -


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