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条件概率(公开课)


2.2.1 条件概率

浙江省富阳市新登中学高二数学备课组

2013-3-17

复习引入:
事件概率加法公式: 若事件A与B互斥,则. P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 A ? B (或 A ? B );

r />2.事件 A与 B都发生的事件叫做 A与 B的积事件 , 记为 A ? B (或 AB );

3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.

三张奖券中只有一张能中奖,现分 别由3名同学无放回地抽取,问最后 一名同学抽到中奖奖券的概率是否比 前两位小?
解:记“最后一名同学中奖”为事件B Ω 为所有结果组成的全体

?

B

一般地,n(B)表示 事件B包含的基本 事件的个数

由古典概型可知,最后一名同学抽到中奖奖券的 n( B ) 1 概率为:P ( B ) ? ? n(? ) 3
一般地,我们用?来 表示所有基本事件 的集合,叫做基本 事件空间(或样本 空间)

如果已经知道第一名同学没有抽到中奖 奖券,那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少? “第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B 第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下,最后 一名同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A)

二、内涵理解:
为什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)?

样本空间不一样

P(B)以试验下为条件,样本空间是 ?
P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A

Ω
B A

P(B |A)相当于把A看作 新的样本空间求AB发生 的概率

条件概率的定义:
一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,则

P ( AB ) P ( B A) ? P ( A)

在原样本空间 的概率

称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意: (1)条件概率的取值在0和1之间,即0≤P(B|A) ≤1 (2)如果B和C是互斥事件,则 P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A)

反思
求解条件概率的一般步骤:

(1)用字母表示有关事件
(2)求P(AB),P(A)或n(AB),n(A)

( 3 )利用条件概率公式求
P ( AB) n( AB) P ? B A? ? ? P ( A) n( A)

例1:在5道题中有3道理科题和2道文科题,如 果不放回地依次抽取2道题,求: (1)第一次抽取到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率;
解:设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题 为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.

(1)从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为

n(?) ? A ? 20
2 5

根据分步乘法计数原理,n( A) ? A ? A ? 12 n( A) 12 3 ? P ( A) ? ? ? n(? ) 20 5
1 3 1 4

例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回 地依次抽取2道题,求: (1)第一次抽取到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率;
解:设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题 为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.

(2) ? n( AB) ? A ? 6
2 3

n( AB ) 6 3 ? P ( AB ) ? ? ? n(? ) 20 10

例1:在5道题中有3道理科题和2道文科题,如 果不放回地依次抽取2道题,求: (1)第一次抽取到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率;

(3)在第一次抽到理科题的条件 下,第二次抽到理科题的概率。

法一:由(1)(2)可得,在第一次抽到理科题 的条件下,第二次抽到理科题的概率为
3 P( AB) 10 1 P( B A) ? ? ? 3 2 P( A) 5

法二:因为n(AB)=6,n(A)=12,所以
n( AB) 6 1 P( B A) ? ? ? n( A) 12 2

法三:第一次抽到理科题,则还剩下两道理科、 两道文科题,故第二次抽到理科题的概率为1/2

例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字
(1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对 的概率;

都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款 机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:

(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超 过2次就按对的概率。
1 9? 1 1 (1) P( A) ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? ? ? 10 10? 9 5 1 4? 1 2 (2) P( A | B) ? P( A1 | B) ? P( A1 A2 | B ) ? ? ? 5 5?4 5

练习:设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二 等品,规定一、二等品为合格品.从中任取1 件, 求 (1) 取得一等品的概率; (2) 已知取得的是合格品,求它是一等品的概率.

设B表示取得一等品,A表示取得合格品,则 70 P( B) ? ? 0.7 (1)因为100 件产品中有 70 件一等品, 100 (2)方法1:因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以 ? B ? A ? AB ? B



P( AB) 70 100 P( B A) ? ? ? 0.7368 P( A) 95 100

70 P ( B A) ? ? 0.7368 95 方法2:

?
5

B

70

95

A

反思
求解条件概率的一般步骤:

(1)用字母表示有关事件
(2)求P(AB),P(A)或n(AB),n(A)

( 3 )利用条件概率公式求
P ( AB) n( AB) P ? B A? ? ? P ( A) n( A)

例题2 在某次外交谈判中,中外双方都为了自身的利益 而互不相让,这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理,否则按中 方的决议处理,假如你在现场,你会如何抉择? 解1: 设A={出现的点数不超过3}={1,2,3} B={出现的点数是奇数} ={1,3,5}
只需求事件 A 发生的条件下, ? 事件 B 的概率即P(B|A) 5 1 3

n( AB) 2 P( B | A) ? ? n( A) 3

B

2 4,6

A

解法一(减缩样本空间法)

例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
(1)若已知 某一家有一个女孩,求这家另一个是男孩 的概率; (2)若已知 某家第一个是男孩,求这家有两个男孩 (相当于第二个也是男孩)的概率 (假定生男生女为等可能)

1 1 例 3 设P(A|B)=P(B|A)= ,P(A)= ,求P(B). 2 3

例题2 在某次外交谈判中,中外双方都为了自身的利益 而互不相让,这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理,否则按中 方的决议处理,假如你在现场,你会如何抉择? 解2: 设A={出现的点数不超过3}={1,2,3} B={出现的点数是奇数} ={1,3,5}
只需求事件 A 发生的条件下,

?
5

1 p ( AB ) 3 2 P( B | A) ? ? ? p ( A) 1 3 解法二(条件概率定义法)

事件 B 的概率即P(B|A) 由条件概率定义得:

B

1 3

2 4,6

A

探究:
三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学 无放回的抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。

思考1?
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少?
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢? 一般地,在已知另一事件A发生的前提下,事件B发 生的可能性大小不一定再是P(B).即 P( B | A) ? P( B) 条件的附加意味着对样本空间进行压缩.

引例:
掷红、蓝两颗骰子,设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”
事件B=“两颗骰子点数之和大于8”

求(1)P(A),P(B),P(AB)

(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件B发生的概率?

(3)比较(2)中结果与P(AB)的大小及三者概率之间关系
P(A)=12/36=1/3 P(B)=10/36=5/18
n( AB) 5 P( B | A) ? ? n( A) 12

5 P( AB) 36 5 P( B | A) ? ? ? 1 12 P( A) 3

P(AB)=5/36

思 考
对于上面的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢?

n( AB ) n( AB ) P ( AB ) n (? ) P ( B | A) ? ? ? n( A) n( A) P ( A) n (? )
P(B |A)相当于把A看作新的 基本事件空间求A∩B发生的 概率

?

B

A

基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B,在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”,叫做条件概率。 记作P(B |A).

2.条件概率计算公式:

P ( AB) P( B | A) ? P( A)

注 : ⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤ 1 ; ? ⑵ 几何解释 : ⑶ 可加性: 如果 B和 C 互斥, 那么 P ? ( B ? C ) | A ? ? P ( B | A) ? P (C | A)

B

A

基本概念 3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB) 表示在样本空间? 中, 计算 AB发生 的概率, 而 P(B A ) 表示在缩小的样本空间? A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 中样本点数 P( B A ) ? , ? A 中样本点数 AB 中样本点数 P( AB) ? ? 中样本点数 一般来说, P(B A ) 比 P( AB) 大.

例1在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回
的依次抽取2道题 (1)第一次抽到理科题的概率 (2)第一次与第二次都抽到理科题的概率 (3)第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科 题的概率.

例1在5道题中有3道理科题和2道文科题,如果不放回
的依次抽取2道题 (1)第一次抽到理科题的概率 (2)第一次与第二次都抽到理科题的概率 (3)第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科 题的概率.

练习、
设“取出的是黄球”为事件B,“取出的是黑球”为事件C, 1、5个乒乓球,其中3个新的,2个旧的,每次取一个,不 10 10 15 5 放回的取两次,求: 则P(C)= ,( P C)=1- ? ,( P B)= 25 25 25 25 3/5 (1)第一次取到新球的概率; 5 ? B ? C, ?P (BC)=P(B)= 3/5 (2)第二次取到新球的概率; 25 P(BC) 1 (3)在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 ? 所求概率( P B|C)= ? P( C) 3

2、盒中有25个球,其中白球若干个,黄球5个,黑球 10个,从盒中任意取出一个球,已知它不是黑球,试 求它是黄球的概率。

条件概率计算中注意的问题 1、条件概率的判断: (1)当题目中出现“在……前提(条件) 下”等字眼,一般为条件概率。 (2)当已知事件的发生影响所求事件的概 率,一般也认为是条件概率。 2、相应事件的判断:

首先用相应的字母A、B表示出相应的事件,然 后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件 的概率。

当A ? B时,P(AB)=P(A)

例 2 一张储蓄卡的密码共有6位数字,每位数字都可从
0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时,忘 记了密码的最后一位数字,求:

(1)任意按最后一位数字,不超过2次就按对的概率;
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过2次就 按对的概率。

1 9? 1 1 (1) P( A) ? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? ? ? 10 10? 9 5 1 4? 1 2 (2) P( A | B) ? P( A1 | B) ? P( A1 A2 | B ) ? ? ? 5 5?4 5

例 3 甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象 记录,知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20% 和18%,两地同时下雨的比例为12%,问: (1)乙地为雨天时,甲地为雨天的概率为多少?

(2)甲地为雨天时,乙地也为雨天的概率为多少?
解:设A=“甲地为雨天”, B=“乙地为雨天”, 则 P(A)=0.20,P(B ) =0.18 , P ( AB ) =0.12 P( AB) 0.12 (1) P( A | B) ? ? ? 0.67 P( B) 0.18 P( AB) 0.12 (2) P( B | A) ? ? ? 0.60 P( A) 0.20

1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7, 活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种 动物活到25岁的概率。 解 设A表示“活到20岁”(即≥20),B表示 “活到25岁” (即≥25) 则 P( A) ? 0.7, P( B) ? 0.56

由于B ? A故A ? B ? B,
所求概率为

?
5

P( AB) P( B) P( B A) ? ? ? 0.8 P( A) P( A)

B

0.56

0.7

A

2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数 B={出现的点数是奇数}={1,3,5} A={出现的点数不超过3}={1,2,3}

若已知出现的点数不超过3,求出现的点数是奇数 的概率
解:即事件 A 已发生,求事件 B 的概率 也就是求:P(B|A) ? A B 都发生,但样本空 间缩小到只包含A的样本点 1 5 n( AB) 2 3 2 P( B | A) ? ? n( A) 3

B

A

设 100 件产品中有 70 件一等品,25 件二等品,规 定一、二等品为合格品.从中任取1 件,求 (1) 取得一 等品的概率;(2) 已知取得的是合格品,求它是一等品 的概率. 解 设B表示取得一等品,A表示取得合格品,则 70 P( B) ? ? 0.7 (1)因为100 件产品中有 70 件一等品, 100 (2)方法1: 因为95 件合格品中有 70 件一等品,所以 ? B ? A? P( AB) ? P( B) 70 P ( B A) ? ? 0.7368 ? 95 方法2: 70 95

3.

P( AB) 70 100 P( B A) ? ? ? 0.7368 P( A) 95 100

B

A

5

4、一批产品中有 4% 的次品,而合格品中一等品占 45% .从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概 率. 解 设A表示取到的产品是一等品,B表示取 出的产品是合格品, 则

P( A | B) ? 45%
于是

P( B ) ? 4%

P( B) ? 1 ? P( B ) ? 96%
? A ? B ? P( AB) ? P( A)

P( AB) ? P( B) ? P( A | B)

P( AB) ? P(B)P( A B) 96 45 ? P( AB) ? P( A) ? ? ? 0.432 100 100

5、一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地 每次任取1只,连取2次,求 (1) 第一次取得白球的概 率; (2) 第一、第二次都取得白球的概率; (3) 第一次取 得黑球而第二次取得白球的概率.



设A表示第一次取得白球, B表示第二次取得白球, 则 6 (1) P ( A) ? ? 0.6 10

6 5 (2)P ( AB ) ? P( A) P( B A) ? ? ? 0.33 10 9 4 6 (3)P ( AB ) ? P ( A) P ( B A) ? ? ? 0.27 10 9

6、全年级100名学生中,有男生(以事件A表示)80 人,女生20人; 来自北京的(以事件B表示)有20人, 其中男生12人,女生8人;免修英语的(以事件C表示) 40人中,有32名男生,8名女生。求

P( A), P( B), P( A B), P( B A), P ( AB ), 20 80 12 12 12 100 100 20 100 80

P(C ), P(C A), P( A B ), P( AC )
40 100 32 80 12 80 32 100

7、甲,乙,丙3人参加面试抽签,每人的试题通过不放

回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是
难题签,按甲先,乙次,丙最后的次序抽签。试求1)

甲抽到难题签,2)甲和乙都抽到难题签,3)甲没抽到
难题签而乙抽到难题签,4)甲,乙,丙都抽到难题签

的概率。 解 设A,B,C分别表示“甲、乙、丙抽到难签”

4 则 P (1) ? P ( A) ? 10 6 4 P (3) ? P ( AB ) ? ? 10 9

4 3 P (2) ? P ( AB) ? ? 10 9 4 3 2 P (4) ? P( ABC ) ? ? ? 10 9 8

1. 条件概率的定义. 2. 条件概率的计算. 公式:

P ( AB ) P ( B A) ? P ( A)

乘法法则
P( AB) ? P( A) P( B A) ? P( B) P( A B)
P( AB) P( B A) ? P( A) P( AB) P( A B) ? P( B)


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