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圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理


圆周角定理与圆内接四边形的性质与判定定理 学习目标:会证明和应用以下定理: (1)圆周角定理; (2)圆内接四边形的性质定理与判定定理。 【知识梳理】 1.圆周角定理 (1)圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______. (2)圆心角定理 圆心角的度数等于_________________. 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角_____;同圆或等圆中,相等的圆

周角所对的弧也______. 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是_____;90° 的圆周角所对的弦是______. 2.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质 定理 1 圆的内接四边形的对角______. 定理 2 圆内接四边形的外角等于它的内角的______. (2)判定 判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点______. 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点_____. 【基本技能】 1.下列说法中:(1)直径相等的两个圆是等圆;(2)长度相同的两条弧是等弧;(3)圆中最长的弦是通过圆心 的弦;(4)一条弦把圆分成两条弧,这两条弧不可能是等弧,正确的个数有 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2.如图,在⊙O 中,弦 AB 与 CD 相交于点 P, ?B ? 30 , ?APD ? 50 ,则 ? A ?
? ?

(A) 10
?

?

(B) 20
?

?

D

(C) 40 (D) 80 A 3.如图,在以 BC 为直径的半圆上任取一点 P,过弧 BP 的中点 A 作 AD ? BC 于(D)连接 BP 交 AD 于 B C 点 E,交 AC 于点 F,则 BE : EF ? (A)1:1 (B)1:2 (C)2:1 (D)以上结论都不对
A P F B E D O C

4.已知半径为 5 的⊙O 中,弦 AB ? 5 2 ,弦 AC ? 5 ,则 ?BAC ? (A) 15
?

(B) 210
?

?

(C) 105 或15
?

?

?

(D) 210 或30

?

?
?

5.如图五,在⊙O 中,弦 BC 平行于半径 OA,AC 交 OB 于点 M, ?C ? 20 ,则 ?AMB ?
O (A) 60 (B) 50 (C) 40 (D) 30 A 【典例精讲】 M C B 考点一、圆周角的计算与证明 圆周角是指顶点在圆周上且两边都与圆相交的角,它的度数等于它所对弧的度数的一半或等于同弧所对圆 心角的度数的一半,根据这个性质可以知道同一段弧可以对应无数个圆周角,无论这些角的顶点在圆周上 的什么位半置,这些角都相等.这样就可以把所求圆周角转化成求同弧所对的其他圆周角或求同弧所对的 圆心角的一.
? ?

【例 1】?(2011· 中山模拟)如图,AB 为⊙O 的直径,弦 AC、BD 交于点 P,若 AB=3,CD=

1,则 sin∠APB=________.
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[审题视点] 连结 AD,BC,结合正弦定理求解. 解析 连接 AD,B(C)因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=∠ACB=90° .

CD AD AD = = = sin∠DAC sin∠ACD sin∠ABD ABsin∠ABD 1 2 =AB=3,又 CD=1,所以 sin∠DAC=sin∠DAP=3,所以 cos∠DAP=3 2. sin∠ABD 2 又 sin∠APB=sin (90° +∠DAP)=cos∠DAP=3 2. 2 答案 3 2 解决本题的关键是寻找∠APB 与∠DAP 的关系以及 AD 与 AB 的关系. 【训练 1】 如图,点 A,B,C 是圆 O 上的点,且 AB=4,∠ACB=30° ,则圆 O 的面积等于 又∠ACD=∠ABD,所以在△ACD 中,由正弦定理得:

________. 解析 连接 AO,O(B)因为∠ACB=30° ,所以∠AOB=60° ,△AOB 为等边三角形,故圆 O 2 的半径 r=OA=AB=4,圆 O 的面积 S=πr =16π. 答案 16π
6.如图,已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠B=60° 在 AC 上,且 AE=AF. ,F

(1)求证:B,D,H,E 四点共圆; (2)求证:CE 平分∠DEF.

证明: (1)在△ABC 中, 因为∠B=60° 所以∠BAC+∠BCA=120° 因为 AD, 是角平分线, , . CE 所以∠HAC +∠HCA=60° ,故∠AHC=120° .于是∠EHD=∠AHC=120° .因为∠EBD+∠EHD=180° ,所以 B,D,
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H,E 四点共圆. (2)连接 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,所以∠HBD=30° .由(1)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30° . 又∠AHE=∠EBD=60° ,由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30° , 所以 CE 平分∠DEF. 7.如图所示,⊙O 为△ABC 的外接圆,且 AB=AC,过点 A 的直线交⊙O 于 D,交 BC 的延长线于 F,DE 是 BD 的延长线,连接 C(D)

(1)求证:∠EDF=∠CDF; (2)求证:AB2=AF· (D) A 证明: (1)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠AC(B)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠CDF=∠AB(C)又∠ADB 与∠EDF 是 对顶角, ∴∠ADB=∠EDF.又∠ADB=∠ACB, ∴∠EDF=∠CDF. (2)由(1)知∠ADB=∠AB(C)又∵∠BAD=∠FAB, AB AD ∴△ADB∽△ABF,∴ = ,∴AB2=AF· (D) A AF AB 8.(2011· 辽宁)如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=E(D)

(1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. 证明:(1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠EC(D) 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA,

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故∠ECD=∠EB(A) 所以 CD∥A(B) (2)由(1)知,AE=BE,因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GE(C) 连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE. 又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA, 所以∠AFG+∠GBA=180° , 故 A,B,G,F 四点共圆. 10.(2011· 课标)如图,D,E 分别为△ABC 的边 AB,AC 上的点,且不与△ABC 的顶点重合.已知 AE 的 长为 m,AC 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的方程 x2-14x+mn=0 的两个根.

(1)证明:C,B,D,E 四点共圆; (2)若∠A=90° ,且 m=4,n=6,求 C,B,D,E 所在圆的半径. 解:(1)证明:连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中,

AD× AB=mn=AE× AC, AD AE 即 = .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△AC(B) AC AB 因此∠ADE=∠AC(B) 所以 C,B,D,E 四点共圆. (2)m=4,n=6 时,方程 x2-14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12.故 AD=2,AB=12. 取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C, B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 1 由于∠A=90° ,故 GH∥AB,HF∥A(C)从而 HF=AG=5,DF= (12-2)=5. 2 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2. 11.(2011· 哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知四边形 PQRS 是圆内接四边形, ∠PSR=90° ,过点 Q 作 PR、PS 的垂线,垂足分别为点 H、K.

(1)求证:Q、H、K、P 四点共圆;
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(2)求证:QT=TS. 证明:(1)∵∠PHQ=∠PKQ=90° , ∴Q、H、K、P 四点共圆. (2)∵Q、H、K、P 四点共圆,∴∠HKS=∠HQP, ① ∵ ∠ PSR = 90° , ∴ PR 为 圆 的 直 径 , ∴ ∠ PQR = 90° , ∠ QRH = ∠ HQP , ② 而∠QSP=∠QRH, ③ 由①②③得,∠QSP=∠HKS,TS=TK, 又∠SKQ=90° ,∵∠SQK=∠TKQ,∴QT=TK,∴QT=TS. 12.(2011· 河南省教学质量调研)如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D, 延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F,连接 FB、F(C)

(1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA· FD; (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120° ,BC=6 cm,求 AD 的长. 解:(1)证明:∵AD 平分∠EA(C) ∴∠EAD=∠DA(C) ∵四边形 AFBC 内接于圆, ∴∠DAC=∠FB(C) ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB, ∴FB=F(C) (2)证明:∵∠FAB=∠FCB=∠FBC,∠AFB=∠BFD, FB FA ∴△FBA∽△FDB,∴ = , FD FB ∴FB2=FA· (D) F (3)∵AB 是圆的直径,∴∠ACB=90° . 1 ∵∠EAC=120° ,∴∠DAC= ∠EAC=60° ,∠BAC=60° . 2 ∴∠D=30° . ∵BC=6 cm,∴AC=2 3cm,∴AD=2AC=4 3cm. 2.(2011· 湖南)如图,A、E 是半圆周上的两个三等分点,直线 BC=4,AD⊥BC,垂足为 D,BE 与 AD 相 交于点 F,则 AF 的长为________.

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解析:

如图所示,∵A、E 是半圆周上两个三等分点, ∴△ABO 和△AOE 均为正三角形. 1 ∴AE=BO= BC=2.∵AD⊥BC, 2 ∴AD= 22-12= 3,BD=1. 又∠BOA=∠OAE=60° ,∴AE∥B(D) DF BD 1 ∴△BDF∽△EAF,∴ = = . AF AE 2 ∴AF=2FD,∴3AF=2(FD+AF)=2AD=2 3, 2 3 ∴AF= . 3 2 3 答案: 3 3.(2011· 深圳卷)如图,A,B 是两圆的交点,AC 是小圆的直径,D 和 E 分别是 CA 和 CB 的延长线与大圆 的交点,已知 AC=4,BE=10,且 BC=AD,则 DE=________.

解析:连接 AB,设 BC=AD=x,结合图形可得 AC CB △CAB 与△CED 相似,于是 = . EC CD 4 x 即 = ?x=2. x+10 4+x 又因为 AC 是小圆的直径,所以∠CBA=90° , 由于∠CDE=∠CBA,所以∠CDE=90° . 在直角三角形 CDE 中,DE= CE2-CD2= 122-62=6 3. 答案:6 3 4.(2011· 佛山卷)如图,过圆外一点 P 作⊙O 的割线 PBA 与切线 PE,E 为切点,连接 AE、BE,∠APE 的 平分线分别与 AE、BE 相交于点 C、D,若∠AEB=30° ,则∠PCE=________.

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PE PB 解析:由切割线性质得:PE2=PB· PA,即 = ,∴△PBE∽△PEA,∴∠PEB=∠PAE,又△PEA 的内 PA PE 角和为 2(∠CPA+∠PAE)+30° =180° ,所以∠CPA+∠PAE=75° ,即∠PCE=75° . 答案:75° a 5.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 2 的中点,则 EF=________.

分析:本题考查勾股定理及三角形中位线的性质. 解析:连接 BD、DE,由题意可知 DE⊥AB,DE= ∴BD= 3 3 a,BC=DE= a, 2 2

?a?2+? 3a?2=a,∴EF=1BD=a. ?2? ? 2 ? 2 2

a 答案: 2 6.如图,已知△ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H,∠B=60° 在 AC 上,且 AE=AF. ,F

(1)证明:B,D,H,E 四点共圆; (2)证明:CE 平分∠DEF.

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证明: (1)在△ABC 中, 因为∠B=60° 所以∠BAC+∠BCA=120° 因为 AD, 是角平分线, , . CE 所以∠HAC +∠HCA=60° ,故∠AHC=120° .于是∠EHD=∠AHC=120° .因为∠EBD+∠EHD=180° ,所以 B,D, H,E 四点共圆. (2)连接 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线,所以∠HBD=30° .由(1)知 B,D,H,E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=30° . 又∠AHE=∠EBD=60° ,由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=30° , 所以 CE 平分∠DEF. 7.如图所示,⊙O 为△ABC 的外接圆,且 AB=AC,过点 A 的直线交⊙O 于 D,交 BC 的延长线于 F,DE 是 BD 的延长线,连接 C(D)

(1)求证:∠EDF=∠CDF; (2)求证:AB2=AF· (D) A

证明: (1)如图所示,∵AB=AC, ∴∠ABC=∠AC(B)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,∴∠CDF=∠AB(C)又∠ADB 与∠EDF 是 对顶角, ∴∠ADB=∠EDF.又∠ADB=∠ACB, ∴∠EDF=∠CDF. (2)由(1)知∠ADB=∠AB(C)又∵∠BAD=∠FAB, AB AD ∴△ADB∽△ABF,∴ = ,∴AB2=AF· (D) A AF AB 8.(2011· 辽宁)如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=E(D)

(1)证明:CD∥AB;
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(2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. 证明:(1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠EC(D) 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA,

故∠ECD=∠EB(A) 所以 CD∥A(B) (2)由(1)知,AE=BE,因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GE(C) 连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE. 又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA, 所以∠AFG+∠GBA=180° , 故 A,B,G,F 四点共圆.

1.如图所示,四边形 ABCD 内接于⊙O,∠BOD=110° 则∠BCD=______度. ,

2. (2009· 广东卷)如图所示, A、 点 B、 则圆 O 的面积等于________.

C 是圆 O 上的点,且 AB=4,∠ACB=45° ,

3. 如图所示, 是半圆的直径, AB 是弧 BC 的中点,则 tan∠ADC=

弦 AD、BC 相交于 P,已知∠DPB=60° ,D ________.

4.已知⊙O 是△ABC 的外接圆,⊙I 是△ABC 的内切圆,∠A=80° ,那么∠BOC=________,∠BIC= ________. 思路点拨:由∠A 的度数易得∠BOC 的度数,然后抓住圆的切线性质及三角形内角和可得到∠BIC 的 度数.

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考点二、四点共圆 证明多点共圆,当它们在一条线段同侧时,可证它们对此线段张角相等,也可以证明它们与某一定点距离 相等;如两点在一条线段异侧,则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补. 5.在锐角三角形 ABC 中,AD 是 BC 边上的高, DE ? AB, DF ? AC, E, F 为垂足. 求证:E、B、C、F 四点共圆. A
E F B C

D

? 6.如图,已知 ? ABC 中的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H , ? B=60 , F 在 AC 上,且 AE ? AF 。 (1)证明: B, D, H , E 四点共 圆; (2)证明:CE 平分 ? DEF。
w.w.w. k.s.5 .u. C)o .m (

【能力提升】 1.图所示,已知 AB 为⊙O 的直径,AC 为弦, OD / / BC ,交 AC 于点 D,BC=4cm, (1)试判断 OD 与 AC 的关系; (2)求 OD 的长; C (3)若 2sin A ? 1 ? 0 ,求⊙O 的直径. D
A O B

2.如图所示,已知 AD 是 ?ABC 的外接圆直径, CE ? AD 交 AD 于点 F,交 AB 于点 E,求证:

AC 2 ? AB ? AE
C

A

O F E B

D

3.如图,OA,OB,OC 都是⊙O 的半径,

?ACB ? 2?BAC

?AOB ? 2?BOC









O C B 第 10 页 共 11 页 A

4. 如图, 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P, 若 的值为 。

PB 1 PC 1 = , = PA 2 PD 3

, 则

BC AD

5.如图,D,E 分别为 ?ABC 的边 点重合.已知 AE 的长为 m,AC
2

AB,AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶 的长为 n,AD,AB 的长是关于 x 的

方程 x ? 14 x ? mn ? 0 的两个根. (I)证明:C,B,D,E 四点 共圆; (II)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6, 求 C,B,D,E 所在圆的半径.

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