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高三数学试题赏析


高三数学试题赏析
仔细研究做过的试题,可以使我们明晰高考数学命题的动向和趋势,提高高三数学复习迎考的针对性 和有效性. 一、鲜明的立意 各区县的模考命题,传承高考的命题思路,一般以能力立意命题,就是首先确定试题在能力方面的考 查目的,然后根据能力考查的要求,选择适当的考查内容,设计恰当的设问方式. 各区县模考数学把具有创新特色的新颖试题根据以能力立意命题的指导思想,把具有发展能力价值, 富有发展潜力、再生性强的能力、方法和知识作为切入点,从测量学生的发展性学力和创造性学力着手突 出能力考查. 1.考查基础知识的灵活应用 1、 (2010 上海秋考)某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为 ( D ) (A)不能作出这样的三角形. (C)作出一个直角三角形.
1 , 1 , 1
[来源:

则此人能

[答]

13 11 5

(B)作出一个锐角三角形. (D) 作出一个钝角三角形.
1 13 ) ?(
2

解析:因为满足两边之和大于第三边,所以能够作出三角形,又因为 ( 是钝角三角形.

1 2 2 ) ? ( ) ,故这个三角形 11 5

1

2 2、 【2010· 北京市宣武区第二次质检】如图抛物线 C 1 : y ? 2 px 和圆 C 2 : ? x ?

? ?

p? p 2 ,其中 ? ? y ? 2 ? 4

2

2

p ? 0 ,直线 l 经过 C 1 的焦点,依次交 C 1 , C 2 于 A , B , C , D 四点,则 AB ? CD 的值为

(

)

p2 A. 4

B.

p2 3

C.

p2 2

D.P2

p p p2 【解析】 设抛物线的焦点为 F, 则|AB|=|AF|-|BF=x1+ - =x1, 同理|CD|=x2, AB ? CD =|AB||CD|=x1x2= . 又 2 2 4 故选 A。 3、 (2010 上海秋考)将直线 l 2 : n x ? y ? n ? 0 、 l 3 : x ? n y ? n ? 0 ( n ? N , n ? 2 ) x 轴、 y 轴围成的
*

封闭图形的面积记为 S n ,则 lim S n ?
n? ?

1



) 解 析 : 依 题 意 可 知 l 2 过 点 A ( 1 , 0, l 3 过 点 C ( 0 , 1 ) 又 l 2 与 l 3 的 交 点 可 由 方 程 组 ,

n ? x ? ? ?nx ? y ? n ? 0 ? n ?1 , ? ? ? n ? x ? ny ? n ? 0 ?y ? ? n ?1 ?

如图所示,设其为点 B (
1 2 1?1 ? 1 2

n

n ?1 n ?1

,

n

) ,从而围成的封闭图形即为四边形 O A B C ,又 ? O A C 的面积为

, 又 直 线 AC
?
2

的 方 程 为 x ? y ?1 ? 0 , 点 B 到 直 线 AC
n ?1

的 距 离

n d ? n ?1

n n ?1
2

?1 ?

n ?1 n ?1 2

1 ?1

,所以 S ? A B C ?

1 2

AC ? d ?

1 2

? 2?

n ?1 2

?

1 2

?

n ?1 n ?1

?

1 2

?

2 n ?1

2

1.5

四边形 O A B C 的面积为 S n ? S ? A B C ? S ? O A B ? 1 ?

2 n ?1

,所以 lim S n ? lim (1 ?
n? ? n? ?

2 n ?1

)?1

C 1
0.5

l3

B l2 A1
2 3 4

O
0.5

4、 (2009 上海秋考)在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体 感染的标志为“连续 10 天,每天新增疑似病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新 增疑似病例数据,一定符合该标志的是

D

(A)甲地:总体均值为 3,中位数为 4 (C)丙地:中位数为 2,众数为 3 1

(B)乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 (D)丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 B

5、 (2004 上海秋考)某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下
1.5

行业名称 应聘人数

计算机 215830 计算机 124620

机械 200250 营销 102935

营销 154676 机械 89115

物流 74570 建筑 76516

贸易 65280 化工 70436

2

行业名称 招聘人数

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势 一定是( ) (A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业. (C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张. 6、 (浦东新区 13)设 M ( x1 , y 1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) 为不同的两点,直线 l : ax ? by ? c ? 0 ,? ? 以下命题中正确的序号为 . (1)不论 ? 为何值,点 N 都不在直线 l 上; (2)若 ? ? 1 ,则过 M , N 的直线与直线 l 平行; (3)若 ? ? ? 1 ,则直线 l 经过 MN 的中点; (4)若 ? ? 1 ,则点 M 、 N 在直线 l 的同侧且直线 l 与线段 MN 的延长线相交. 答案: 、 (1)(2)(3) 、 、(4) .其中(1)依据 ? 有意义,分母不等于 0,点 N 都不在直线 l 上; (2) 、 (3)(4)都可以由等价变形,推出其成立. 、 该题对思维能力、运算能力进行了全面考查,既考查了观察、联想、估算等直觉思维能力,又考查了 等价变形等运算能力.学生通过对四道小题的逐一分析,计算推出结论,计算量控制较好. 同样的既重视思维、又关注运算的问题,还有许多,略举三例: 7、 (卢湾区 14(理) )已知集合 A ? ? x x ? c o s 2
? ? ( 2 n ? 1) ? m ? , n?Z ? ?

ax 1 ? by 1 ? c ax 2 ? by 2 ? c

,

,当 m 为 4022 y N M P O x

时,集合 A 的元素个数为 . (答案: 1 0 0 6 ) 8、 (闵行区 11(理) )如图,设 P 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, M 、 N 是单位

圆上的两点, O 是坐标原点, ? P O M ? 范围为 函数 g ( x ) ? log . (答案 ?1, 2 ? )
x 的图象分别为 C 1 与 C 2

?
3

, ? P O N ? ? , ? ? ? 0, ? ? , f (? ) ? O M ? O N ,则 f ?? ? 的

???? ?

????

9、(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)已知 a 为常数, a ? 0 且 a ? 1 ,指数函数 f ( x ) ? a x 和对数
a

,点 M 在曲线 C 1 上,线段 OM ( O 为坐标原点)与曲线 C 1 的另

一个交点为 N , 若曲线 C 2 上 存在一点 P , 且点 P 的横坐标与点 M 的纵坐标相等, P 的纵坐标是点 N 的 点 横坐标 2 倍,则点 P 的坐标为 ( 4 , log a 4 ) 。 2.考查以数学思维能力为重点的数学能力 数学科考试着重考查的数学能力为:思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识,在 这些能力中以思维能力为考查重点.数学创新型试题没有固定的模式,难有现成的方法和套路,思维水平 要求高,思维容量大,运算量较小,能有效考查学生的思维水平和创造意识,分析和解答这样的试题需要 有较高的能力与素质,依靠“死记硬背”“题海战术”和“强化训练”往往难以奏效. 、 1、 (上海市浦东新区 2010 年 4 月高考预测理科) 如图, 在直角坐标平面内有一个边长为 a 、 中心 在原点 O y 的正六边形 ABCDEF , AB // Ox . 直线 L : y ? kx ? t ( k 为常数) L N 与正六边形交于 M、N 两点,记 ? OMN 的面积为 S ,则函数 E D S ? f (t ) 的奇偶性为 ( A ) F A.偶函数 B.奇函数 O C M C.不是奇函数,也不是偶函数 D.奇偶性与 k 有关
[来源:学科网 ZXXK]

x

2 2、 (闵行区 14)已知等差数列 ? a n ? ,对于函数 f ( x ) 满足: f ( a 2 ? 2 ) ? ( a 2 ? 2 ) ? ( a 2 ?A ) ? 6 , B
5 3

f ( a 2 0 1 0 ? 4 ) ? ( a 2 0 1 0 ? 4 ) ? ( a 2 0 1 0 ? 4 ) ? ? 6 , S n 是其前 n 项和,则 S 2 0 1 1 ?
5 3

. (答案:6033.) .

3、 (静安等四区 14(理) )已知函数 f ( x ) 满足:①对任意 x ? (0, ? ? ) ,恒有 f ( 2 x ) ? 2 f ( x ) 成立;②当
x ? (1, 2 ] 时, f ( x ) ? 2 ? x .若 f ( a ) ? f ( 2020 ) ,则满足条件的最小的正实数 a 是
2020 2 2020 2020

解: (理)∵ f ( 2020 ) ? 2 f (

) ? 2048 ? 2020 ? 28 ,∴ f ( a ) ? 28 , 1024 1024 又∵要使满足条件的正实数 a 最小,此时 f ( a ) ? 64 ? a ,∴ 64 ? a ? 28 , a ? 36 即为所求;
10

) ? 2

f(

) ? 2 (2 ?
10

4、 (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科)由曲线 x ? 2 y ,
2

y 2 4 ?2 2 x 4 ?2

y 2 4

x ? ? 2 y , x ? 2 , x ? ? 2 围成的图形绕 y 轴旋转一周 所得的旋转体的体
2

积为 V 1 ;满足 x ? y ? 4 , x ? ( y ? 1) ? 1 , x ? ( y ? 1) ? 1 的点组成的
2 2

2

2

2

2

O

O

2 x 4

?2

图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V 2 ,试写出 V 1 与 V 2 的 一个关 系式 。V1 = V 2

?2

答案:①③. 5、将函数 y ?
4 ? 6x ? x
2

? 2 ( x ? ?0, ?) 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 ? ( 0 ? ? ? ? ) ,得到曲 6
2 3

线 C .若对于每一个旋转角 ? ,曲线 C 都是一个函数的图像,则 ? 的最大值为__ a rc ta n

________.

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

6、 (上海市长宁区 2010 年 4 月高三质量调研理科)在平面直角坐标系中,定义点 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 )

之间的“直角距离”为 d ( P , Q ) ? | x 1 ? x 2 | ? | y 1 ? y 2 | 。若 C ( x , y ) 到点 A (1,3 ), B ( 6 ,9 ) 的“直角 距离”相等,其中实数 x , y 满足 0 ? x ? 10 ,3 ? y ? 9 ,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长度

之和为 5 (

2 ? 1) __________

7、 (奉贤区 13(理) )在平面直角坐标系中,设点 P ( x , y ) ,定义 [ OP ] ? | x | ? | y | ,其中 O 为坐标原点.对 于以下结论: ①符合 [ OP ] ? 1 的点 P 的轨迹围成的图形的面积为 2; ②设 P 为直线 5 x ? 2 y ? 2 ? 0 上任意一点,则 [OP ] 的最小值为 1 ; ③设 P 为直线 y ? kx ? b ( k , b ? R ) 上的任意一点,则“使 [OP ] 最小的点 P 有无数个”的必要不充分 条件是“ k ? ? 1 ” ;其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号) 3.考查应用意识 “坚持数学应用,考查应用意识”是上海高考命题者坚持的一个命题方向.各区县模拟试卷突出数学 的应用性,关注现实生活中鲜活的素材,反映出高中数学在解决实际问题中的重要作用.研究型、探索型、 开放型试题是创新型试题的基本题型,有利于测试学生的能力与素质,有利于考查学生的探究精神. 例 4、 (浦东新区 21)某地发生特大地震和海啸,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质检测后, 决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为 m 的药剂后,经过 x 天该药剂在水中释放的浓度
?x ?2 ? ?4 y (毫克/升) 满足 y ? mf ? x ? ,其中 f ? x ? ? ? ? 6 ?x? 2 ?

?0 ? ?x

x ? 4?

,当药剂在水中释放的浓度不低于 4 (毫
? 4?

克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于 4 (毫克/升) 且不高于 10(毫克/升)时称为最佳净 化. (1)如果投放的药剂质量为 m ? 4 ,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? (2)如果投放的药剂质量为 m ,为了使在 7 天之内(从投放药剂算起包括 7 天)的自来水达到最佳净化, 试确定应该投放的药剂质量 m 的值.
?x ? 8 ? 解: (1)因为 m ? 4 ,所以 y ? ? 24 ? ?x? 2

?0

? x ? 4? ? 4?

?x

,
24 x? 2

当 0 ? x ? 4 时 x ? 8 ? 4 显然符合题意,当 x ? 4 时

? 4 ? 4? x?8.

综上 0 ? x ? 8 ,所以自来水达到有效净化一共可持续 8 天.
? mx ? 2 m ?0 ? x ? 4 ? ? 4 ? (2)由 y ? m ? f ? x ? = ? , 知在区间 ?0 , 4 ? 上单调递增,即 2 m ? y ? 3 m ; ? 6m ?x ? 4 ? ?x? 2 ?

在区间 ? 4 , 7 ? 上单调递减,即 综上
6m 5

6m 5

? y ? 3m . 6m 5 ? 4 且 3 m ? 10 即可,即 m ? 10 3
10 3

? y ? 3 m , 为使 4 ? y ? 10 恒成立,只要

.

所以,为了使在 7 天之内的自来水达到最佳净化,投放的药剂质量 m 应该为



很明显,本例是针对今年 3 月 11 日日本东北大地震命制的.类似的问题,今年各地普遍关注的一线 城市治理交通拥堵问题,是一个社会热点,如普陀区 20。 二、新颖的情境 情境是实现立意的材料和介质.情境与问题相伴,问题是情境的焦点,情境因问题而存在.问题既是 考查的内容也是考查的手段.情境的新颖性是高考数学创新型试题的一个共同的特点.情境新颖的试题, 对广大学生来讲是全新的、 公平的, 靠“解题套路”、 “猜题押宝”、 “密卷”, “宝典”和“题海战术” 是难以凑效的.在高考中,学生对付情境新颖的试题,一般需要具有自主学习的能力,学习能力是指学生 阅读并理解数学新知识的能力,这里的新知识可以是新的概念、新的定理、新的方法、新的公式、新的规

则等.学习能力还包括会搜集、提炼、加工信息,对阅读的内容进行概括和理解,看清问题的本质,然后 运用新的知识通过分析、演算,归纳、猜想,类比或论证等方法解决一些新的数学问题. 1.定义新概念、给出新性质 定义一个新概念,要求学生面对陌生情境,迅速提取有用信息,要善于挖掘概念的内涵与本质,并合 理迁移运用已学的知识加以解决.这类问题较好地考查学生的转化能力、知识迁移能力以及学生探究性学 习的潜能. 例 5、 (徐汇等区 22)定义:由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征 三角形” .如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆” ,并将三角形的相似 比称为椭圆的相似比.已知椭圆 C 1 : (1) 若椭圆 C 2 :
x
2

x

2

? y ?1.
2

4

?

y

2

16

4

?1, 判断 C 2 与 C 1 是否相似?如果相似, 求出 C 2

与 C 1 的相似比;如果不相似,请说明理由; (2) 写出与椭圆 C 1 相似且短半轴长为 b 的椭圆 C b 的方程;若在椭圆 C b 上 存在两点 M 、 N 关于直线 y ? x ? 1 对称,求实数 b 的取值范围? 如图:直线 y ? x 与两个“相似椭圆” M :
M : x
2

x a

2 2

?

y b

2 2

?1 和

? ? ( a ? b ? 0 , 0 ? ? ? 1) 分别交于点 A , B 和点 C , D , 试在椭圆 M 和椭圆 M ? 上分别作 2 2 a b 出点 E 和点 F (非椭圆顶点) ,使 ? C D F 和 ? A B E 组成以 ? 为相似比的两个相似三角形,写出具体作
?

?

y

2 2

法. (不必证明) 解: (1)椭圆 C 2 与 C 1 相似.因为椭圆 C 2 的特征三角形是腰长为 4,底边长为 4 3 的等腰三角形,而 椭圆 C 1 的特征三角形是腰长为 2, 底边长为 2 3 的等腰三角形, 因此两个等腰三角形相似, 且相似比为 2 : 1 . (2)椭圆 C b 的方程为:
x
2 2 2 2

?

y b

? 1 (b ? 0 ) .

4b

设 l M N : y ? ? x ? t ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) , M N 中点为 ( x 0 , y 0 ) ,
?y ? ?x ? t x ? x2 4t t ? 2 2 2 2 ? , y0 ? 则? x2 ,所以 5 x ? 8 tx ? 4 ( t ? b ) ? 0 ,则 x 0 ? 1 y 2 5 5 ? 2 ?1 ? 2 b ? 4b

因为中点在直线 y ? x ? 1 上,所以有

t 5

?

4t 5

? 1 ,t ? ?

5 3

,即直线 l M N 的方程为: l M N : y ? ? x ?
2

5 3



由题意可知, 直线 l M N 与椭圆 C b 有两个不同的交点,即方程 5 x ? 8 ( ? ) x ? 4[( ? ) ? b ] ? 0 有两个不同
2 2

5

5

3

3

的实数解,所以 ? ? (

40 3

) ? 4?5? 4?(
2

25 9

? b ) ? 0 ,即 b ?
2

5 3



(3)作法 1:过原点作直线 y ? kx ( k ? 1) ,交椭圆 M 和椭圆 M ? 于点 E 和点 F ,则 ? C D F 和 ? A B E 即 为所求相似三角形,且相似比为 ? . 作法 2:过点 A、点 C 分别做 x 轴(或 y 轴)的垂线,交椭圆 M 和椭圆 M ? 于点 E 和点 F ,则 ? CDF 和 ? A B E 即为所求相似三角形,且相似比为 ? . 本题考查了学生抽象概括能力,同时也考查了学生对新事物接受能力和探究精神.要求解题者通过观 察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂和理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进 一步推理、运算.同样的问题如: 2、 (闵行区 23(理) )定义:对于任意 n ? N ,满足条件
*

an ? an?2 2

? a n ? 1 且 a n ? M ( M 是与 n 无关

的常数)的无穷数列 ? a n ? 称为 T 数列.

(1)若 a n ? ? n ? 9 n ( n ? N ),证明:数列 ? a n ? 是 T 数列;
2
*

(2)设数列 ? b n ? 的通项为 b n ? 5 0 n ? ? (3)设数列 c n ?
p n
*

?3? ? ,且数列 ? b n ? 是 T 数列,求常数 M 的取值范围; ?2?

n

? 1 ( n ? N , p ? 1 ),问数列 ? c n ? 是否是 T 数列?请说明理由.
2

解: (1) 由 a n ? ? n ? 9 n ,得:
a n ? a n ? 2 ? 2 a n ?1 ? ? n
2

? 9 n ? ( n ? 2 ) ? 9 ( n ? 2 ) ? 2 ( n ? 1) ? 18 ( n ? 1) ? ? 2
2 2

所以数列 ? a n ? 满足
2

an ? an?2 2

? a n ?1 .

9? 81 ? 又 an ? ? ? n ? ? ? ,当 n=4 或 5 时, a n 取得最大值 20,即 a n ≤20. 2? 4 ?

综上,数列 ? a n ? 是 T 数列. (2)因为 b n ? 1 ? b n ? 5 0 ( n ? 1) ? ?
n

?3? ? ?2?

n ?1

1?3? ?3? ? 50n ? ? ? ? 50 ? ? ? , 2?2? ?2?

n

n

1?3? 所以当 5 0 ? ? ? ? 0 即 n ? 1 1 时, b n ? 1 ? b n ? 0 ,此时数列 ? b n ? 单调递增. 2?2?

当 n ? 1 2 时, b n ? 1 ? b n ? 0 ,此时数列 ? b n ? 单调递减;故数列 ? b n ? 的最大项是 b1 2 ,
?3? 所以, M 的取值范围是 M ? 6 0 0 ? ? ? . ?2?
12

(3)①当 1 ? p ? 2 时, 当 n ? 1 时 c1 ? p ? 1, c 2 ? 1 ? 由 c1 ? c 3 ? 2 c 2 ? 若 n ? 2 ,则
p n 5p 3 p n ?2? 0得p ? 6 5

p 2

, c3 ? 1 ? 6 5

p 3

,
c n ? c n?2 2 ? c n ? 1 条件.

,即当 1 ? p ?

时符合

? 1 ,此时 c n ? 1 ?


p n?2 ) ? 2 (1 ?
6 5 p 2

于是 c n ? c n ? 2 ? 2 c n ? 1 ? (1 ? 又对于 n ? N 有 c n ?
*

p n

) ? (1 ?

p n ?1

)?

?2 p n ( n ? 1)( n ? 2 )

?0,

p n

? 1 ? 1 ,所以当 1 ? p ?

时数列 ? c n ? 是 T 数列;
? 1, c 3 ? 1 ? p 3 ,

②当 2 ? p ? 3 时, 取 n ? 1 则: c1 ? p ? 1, c 2 ? 由 c1 ? c 3 ? 2 c 2 ? 2 ?
p 3

? 0 ,所以 2 ? p ? 3 时数列 ? c n ? 不是 T 数列. p 2 ? 1, c 3 ? p 3 ? 1,

③当 p ? 3 时, 取 n ? 1 则 c1 ? p ? 1, c 2 ? 由 c1 ? c 3 ? 2 c 2 ? 综上:当 1 ? p ?
5p 6 6 5

? 0 ,所以 p ? 3 时数列 ? c n ? 不是 T 数列. 6 5

时数列 ? c n ? 是 T 数列;当 p ?

时数列 ? c n ? 不是 T 数列.

2.规定新运算,设定新规则

例 6、 (静安等四区 18)已知有穷数列 A: a 1 , a 2 ,? ? ?, a n ( n ? 2 , n ? N ).定义如下操作过程 T:从 A 中任取两项 a i , a j ,将
ai ? a 1 ? aia
j j

的值添在 A 的最后,然后删除 a i , a j ,这样得到一系列 n ? 1 项的新数列 A1

(约定:一个数也视作数列);对 A1 的所有可能结果重复操作过程 T 又得到一系列 n ? 2 项的新数列 A2,如 此经过 k 次操作后得到的新数列记作 Ak . 设 A: ? (A)0; (B)
3 4



(C)

1 3



5 3 1 1 , , , ,则 A3 的可能结果是 ( 7 4 2 3 1



(D)

.

2

答案: B 同样的问题,如: 1、 (奉贤区 17(理) )已知函数 f(x) =2x+1,x∈R.规定:给定一个实数 x0,赋值 x1= f(x0),若 x1≤255, 则继续赋值 x2= f(x1) …,以此类推,若 x n-1≤255,则 xn= f(xn-1),否则停止赋值,如果得到 xn 后停止,则 称赋值了 n 次(n∈N *).已知赋值 k 次后该过程停止,则 x0 的取值范围是 ( ) (A) k-9 ,2 k-8] (2 (B) k-8 -1, 2k-9-1] (2 (C) 8-k -1, 29-k-1] (2 (D) 7-k -1, 28-k-1] (2 答案:C. 2、 (浦东新区 18) .对于给定的自然数 n ,如果数列 a 1 , a 2 , ..., a m ( m ? n ) 满足: 1, 2 , 3, ..., n 的任意一 个排列都可以在原数列中删去若干项后按数列原来顺序排列而得到,则称 a 1 , a 2 , ..., a m ( m ? n ) 是“ n 的覆 盖数列”.如 1,2,1 是“2 的覆盖数列” ;1,2,2 则不是“2 的覆盖数列” ,因为删去任何数都无法得到排列 2,1, 则以下四组数列中是 “3 的覆盖数列” 为 ( ) (A)1,2,3,3,1,2,3 (B)1,2,3,2,1,3,1 (C)1,2,3,1,2,1,3 (D)1,2,3,2,2,1,3 答案:C. 以上几题考查了阅读和理解能力, 同时考查了学生对新知识、 新事物接受能力和加以简单运用的能力, 考查了探究精神.要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂和理解新情境,获取有用的 新信息,然后运用这些有用的信息进一步推理,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力(多想少算 甚至不算) 因此, . “开放探索,考查探究精神, 开拓展现创新意识的空间”在上海的高考试题中常有体现, 用知识归类、套路总结,强化训练等传统教学方法难以解决高考中不断出现的新颖试题. 三、研究性学习设计 研究性学习问题一般有类比,推广,逆向,充要条件,开放,探究等 1、类比: 1、某同学将命题“在等差数列 ?a n ? 中,若 p ? m ? 2 n ,则有 a p ? a m ? 2 a n ( p, m, n ? N ) ”改写成: “在等差数列 ?a n ? 中,若 1 ? p ? 1 ? m ? 2 ? n ,则有 1 ? a p ? 1 ? a m ? 2 ? a n
*

( p , m , n ? N ) , 进 而 猜 想 : 在 等 差 数 列 ?a n ? 中 , 若 2 p ? 3 m ? 5 n , 则 有 2 a p ? 3 a m ? 5 a n ” “
*

( p , m , n ? N ).”
*

(1)请你判断以上同学的猜想是否正确,并说明理由; (2)请你提出一个更一般的命题,使得上面这位同学猜想的命题是你所提出命题的特例,并给予证明. (3)请类比(2)中所提出的命题,对于等比数列 ?b n ? ,请你写出相应的命题,并给予证明. .解: (1)命题“在等差数列 ?a n ? 中,若 2 p ? 3 m ? 5 n ,则有 2 a p ? 3 a m ? 5 a n ( p , m , n ? N ) ”正确.
*

证明:设等差数列 ?a n ? 的首项为 a 1 ,公差为 d ,由 2 p ? 3 m ? 5 n 得:
2 a p ? 3 a m ? 2 ? a1 ? ?

? p ? 1 ? d ? ? 3 ? a1 ? ? m ? 1 ? d ? ? ? ?

? 5 a1 ? d ? 2 p ? 3 m ? 5 ?

? 5 a 1 ? 5( n ? 1) d

=

5 ?a 1 ? ( n ? 1) d ? ? 5 a n ,所以命题成立.

(4 分)
? ta m ? ka n( s , t , k , p , m , n ? N ) .
?

(2) 解法一: 在等差数列 ?a n ? 中, sp ? tm ? kn , s ? t ? k , 若 则有 sa 显然,当 s ? 2 , t ? 3 , k ? 5 时为以上某同学的猜想. (7 分)

p

证 明 : 设 等 差 数 列 ?a n ? 的 首 项 为 a 1 , 公 差 为 d , 由 sp ? tm ? kn , s ? t ? k 得
sa p ? ta m ? s ? a 1 ? ?

? p ? 1 ? d ? ? t ? a1 ? ? m ? 1 ? d ? ? ? ?

? ( s ? t ) a 1 ? d ? sp ? tm ? s ? t ? ?

ka 1 ? d ( kn ? k ) ? k ? a 1 ? ( n ? 1) d ? ? ka n ,所以命题成立.
s

(10 分)
t k

? (3)解法一:在等比数列 ?b n ? 中,若 sp ? tm ? kn , s ? t ? k ,则有 b p ? b m ? b n ( s , t , k , p , m , n ? N ).

(13 分) 证明:设等比数列 ?b n ? 的首项为 b 1 ,公比为 q ,由 sp ? tm ? kn , s ? t ? k ( s , t , k , p , m , n ? N )得,
?

b p ? b m ? ( b1 q
s t

p ?1

) ? ( b1 q
s

m ?1

) ? b1
t

s?t

q

ps ? mt ? ( s ? t )

? b1 q
k

k ( n ?1 )

? ( b1 q

n ?1

)

k

? bn ,
k

所以命题成立.

(16 分)

(2)解法二:在等差数列 ?a n ? 中,若 m 1 ? m 2 ? ? ? m s ? n 1 ? n 2 ? ? ? n t ,且
m 1 p 1 ? m 2 p 2 ? ? ? m s p s ? n 1 q 1 ? n 2 q 2 ? ? ? n t q t , 则有
m 1 a p1 ? m 2 a p 2 ? ? ? m s a p s ? n 1 a q1 ? n 2 a q 2 ? ? ? n t a q t



m 1 , m 2 , ? , m s , n1 , n 2 , ? , n t , p 1 , p 2 , ? , p s , q 1 , q 2 , ? , q t ? N

?



.









s ? 2 , t ? 1, m 1 ? 2 , m 2 ? 3 , n 1 ? 5 , p ? p 1 , m ? p 2 , n ? q 1 时为某同学的猜想(7 分)

证明:设等差数列 ?a n ? 的首项为 a 1 ,公差为 d ,由
m 1 ? m 2 ? ? ? m s ? n 1 ? n 2 ? ? ? n t ,且 m 1 p 1 ? m 2 p 2 ? ? ? m s p s ? n1 q 1 ? n 2 q 2 ? ? ? n t q t 得

m1a p ? m 2 a p ? ? ? m s a p
1 2

s

? m 1 ? a1 ? ?

? p1 ? 1 ? d ? ? m 2 ? a1 ? ? p 2 ? 1 ? d ? ? ? ? m s ? ? ?

? a1 ? ?

? ps

? 1? ? ?

? ( m 1 ? m 2 ? ? ? m s ) a1 ? ( m 1 ? m 2 ? ? ? m s ) d ? ? m 1 p1 ? m 2 p 2 ? ? ? m s p s ? d

= ( n 1 ? n 2 ? ? ? n t ) a 1 ? ? n 1 ? n 2 ? ? ? n t ?d ? ( n 1 q 1 ? n 2 q 2 ? ? ? n t q t ) d = n 1 ? a 1 ? ? q 1 ? 1 ? d ? ? n 2 ? a 2 ? ? q 2 ? 1 ? d ? ? ? ? n s ? a 1 ? ? q s ? 1 ?? = n 1 a q ? n 2 a q ? ? ? n t a q ,所以命题成立。
1 2 t

(10 分)

(3)解法二:在等比数列 ?b n ? 中,若 m 1 ? m 2 ? ? ? m s ? n 1 ? n 2 ? ? ? n t ,且
m 1 p 1 ? m 2 p 2 ? ? ? m s p s ? n 1 q 1 ? n 2 q 2 ? ? ? n t q t , ,则有

b p 1 ? b p 2 ?? ? b p s ? bq1 ? bq 2 ?? ? bq t
m m m n n n
1 2 s 1 2 t

( m 1 , m 2 , ? , m s , n 1 , n 2 , ? , n t , p 1 , p 2 , ? , p s , q 1 , q 2 , ? , q t ? N ). 证明:设等比数列 ?b n ? 的首项为 b 1 ,公比为 q ,由
m 1 ? m 2 ? ? ? m s ? n 1 ? n 2 ? ? ? n t ,且 m 1 p 1 ? m 2 p 2 ? ? ? m s p s ? n 1 q 1 ? n 2 q 2 ? ? ? n t q t 得,

?

(13 分)

b p11 ? b p 22 ? ? ? b p ss ? ? b1 q
m m m

p1 ? 1

?

m1

? ? b1 q

p2 ?1

?

m2

? ? ? b1 q

?

p ?1

s

?

ms

? b1

m1 ? m 2 ? ? ? m s

?q

? p1 m1 ? p 2 m 2 ? ? ? p s m s ? ? ( m1 ? m 2 ? ? ? m s )

a1 1

n ? n2 ?? ? nt

?q

? q 1 n1 ? q 2 n 2 ? ? ? q s n s ? ? ( n1 ? n 2 ? ? ? n s )

= ?b1 q q

1

? 1 n1

? ? ?b q
1

q 2 ?1 n 2

?

? ? ? bq

?

q t ?1 n s

? = b qn

1

1

? b q 2 ? ? ? b q t ,所以命题成立. 2 t
n n

(16 分)
5 ?1 2

2、已知椭圆 C : 金椭圆” .

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0

) ,其焦距为 2 c ,若

c a

?

( ? 0 .6 1 8 ) ,则称椭圆 C 为“黄

(1)求证:在黄金椭圆 C : (2)黄金椭圆 C :
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0

)中, a 、 b 、 c 成等比数列.

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0

)的右焦点为 F 2 ( c , 0 ) , P 为椭圆 C 上的
??? ? ???? ?

任意一点.是否存在过点 F2 、 P 的直线 l ,使 l 与 y 轴的交点 R 满足 R P ? ? 3 P F 2 ?若存在,求直线 l 的斜 率 k ;若不存在,请说明理由.
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

(3)在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0

)的左、右

焦点分别是 F1 ( ? c , 0 ) 、 F 2 ( c , 0 ) ,以 A ( ? a , 0 ) 、 B ( a , 0 ) 、 D (0, ? b ) 、 E (0, b ) 为顶点的菱形 A D B E 的内切圆 过焦点 F1 、 F2 . 试写出“黄金双曲线”的定义;对于上述命题,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明. (1)证明:由
? ac

c a

?

5 ?1 2

及 b 2 ? a 2 ? c 2 ,得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? (

5 ?1 2

a) ?
2

5 ?1 2

a

2

,故 a 、 b 、 c 成等比数列. 分) (4
??? ? ???? ?

(2)解:由题设,显然直线 l 垂直于 x 轴时不合题意,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? c ) , 得 R (0, ? kc ) ,又 F 2 ( c , 0 ) ,及 R P ? ? 3 P F 2
? 3c ? ? ? ? 2 ? a
2 2

,得点 P 的坐标为 (

3c kc , ) 2 2

, 分) (6

[来源:学科网]

因为点 P

在椭圆上,所以

?

? kc ? ? ? ? 2 ? b
2

2

? 1 ,又 b ? a c
2

9? c ? k c ? ?1 ,得 ? ? ? 4?a? 4 a

2

2



k

2

?

13 ? 5 5 2

? 0

,故存在满足题意的直线 l ,其斜率 k ? ?
x a
2 2

13 ? 5 5 2

. (10 分)
c a 5 ?1 2

(3)黄金双曲线的定义: 已知双曲线 C :
a c ? 5 ?1 2
? 0 .6 1 8

?

y b

2 2

?1

,其焦距为 2c ,若

?

(或写成

) ,则称双曲线 C 为“黄金双曲线”(12 分) .
x a
2 2

在黄金双曲线中有真命题:已知黄金双曲线 C :
F1 ( ? c , 0 ) 、 F 2 ( c , 0 ) 、 D (0, ? b )

?

y b

2 2

? 1 的左、右焦点分别是 F1 ( ? c , 0 ) 、 F 2 ( c , 0 ) ,以

、 E (0, b ) 为顶点的菱形 F1 D F2 E 的内切圆过顶点 A ( ? a , 0 ) 、 B ( a , 0 ) . (14 分)
bc b ?c
2 2

证明:直线 E F 2 的方程为 b x ? cy ? b c ? 0 ,原点到该直线的距离为 d ?



将 b 2 ? a c 代入,得 d ?

c

ac
2

?

c

a

ac ? c

a?c

,又将 c ?

5 ?1 2

a

代入,化简得 d ? a ,

故直线 E F 2 与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 相切,同理可证直线 E F1 、D F1 、D F 2 均与圆 x 2 ? y 2 ? a 2 相切,即以 A ( ? a , 0 ) 、
B (a, 0)

为直径的圆 x 2 ? y 2 ? a 2 为菱形 F1 D F2 E 的内切圆,命题得证. (16 分

2、推广: 3、 (2011 上海春考)已知抛物线 F : x ? 4 y
2

(1) ? ABC 的三个顶点在抛物线 F 上,记 ? ABC 的三边 AB , BC , CA 所在直线的斜率分别为
K
AB

, K BC , K CA ,若点 A 在坐标原点,求 K

AB

? K BC ? K CA

(2)请你给出一个以 P ( 2 ,1) 为顶点,且其余顶点均为抛物线 F 上的动点的多边形,写出多边形各边 所在直线的斜率之间的关系式,并说明理由。 说明:对于第 3 小题,将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性,给予不同的评分。 【解】(1) 设 B ? x B , y B ? , C ? x C , y C ? .则
k AB ? k BC ? k CA ? yB xB
2

?

y B ? yC x B ? xC

?

yC xC

?

xB 4 xB

?

x B ? xC
2

2

4 ? x B ? xC

?

?

xC

2

4 xC

?

1 4

? x B ? ? x B ? xC ? ? xC ? ? 0 . ? ?

(2) ① 研究 ? P B C .
k PB ? k BC ? k CP ? yB ? yP xB ? xP ? y B ? yC x B ? xC ? yC ? y P xC ? x P

?

xB ? xP
2 2

4 ? xB ? xP
1 4

?

?

x B ? xC
2 2

4 ? x B ? xC

?

?

xC ? x P
2 2

4 ? xC ? x P

?

? ?

? ? x B ? x P ? ? ? x B ? xC ? ? ? xC ? x P ? ? . ? ? ? 1.

xP 2

② 研究四边形 P B C D .

k PB ? k BC ? k CD ? k DP ?

xB ? xP 4

?

x B ? xC 4

?

xC ? x D 4

?

xD ? xP 4

? 0.

③ 研究五边形 P B C D E .
k PB ? k BC ? k CD ? k DE ? k EP
? ? xB ? xP 4 xP 2 ? 1. ? x B ? xC 4 ? xC ? x D 4 ? xD ? xE 4 ? xE ? xP 4

④ 研究 n ? 2 k 边形 P1 P2 ? P2 k ? k ? N ? , k ? 2 ? ,其中 P1 ? P .
kP P ? kP
1 2

2 P3

? kP

3 P4

? ? ? ? ? 1?

2 k ?1

kP

2k P 1

?

xP ? xP
1

2

?

xP ? xP
2

3

?

xP ? xP
3

4

4 xP

4
2 k ?1

4

? ? ? ? ? 1?

2 k ?1

xP

2k

? xP 4

1

?

?1 ? ? ? 1 ? 4 ?
1

? ? 0. ?

⑤ 研究 n ? 2 k ? 1 边形 P1 P2 ? P2 k ? 1 ? k ? N ? , k ? 2 ? ,其中 P1 ? P .
kP P ? kP
1 2

2 P3

? kP

3 P4

? ? ? ? ? 1?

2 k ?1 ?1

kP

2 k ?1 P 1

?

xP ? xP
1

2

?

xP ? xP
2

3

?

xP ? xP
3

4

4 xP

4
2 k ?1?1

4

? ? ? ? ? 1?

2 k ?1?1

xP

2 k ?1

? xP

1

4

?

?1 ? ? ? 1 ? 4 ?
1

? ? 1. ?

⑥研究 n 边形 P1 P2 ? Pn ? k ? N ? , n ? 3 ? ,其中 P1 ? P .

kP P ? kP
1 2

2 P3

? kP

3 P4

? ? ? ? ? 1?

n ?1

kP

nP 1

?

xP ? xP
1

2

?

xP ? xP
2

3

?

xP ? xP
3

4

4 ??? ? ? ??? ? ? 4、 (闵行区 21(理)已知 O 是线段 A B 外一点,若 O A ? a , O B ? b .

4

4

4

? ? ? ? ? 1?

n ?1

x Pn ? x P

1

(1)设点 A1 、 A 2 是线段 A B 的三等分点, △ O A A1 、 △ O A1 A 2 及 △ O A 2 B 的重心依次为 G 1、 G 2、 G 3 , 试用向量 a 、 b 表示 O G 1 ? O G 2 ? O G 3 ; (2)如果在线段 A B 上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论. 说明:第(2)题将根据结论的一般性程度给予不同的评分. 解: (理) (1)如图:点 A1 、 A 2 是线段 A B 的三等分点, O ???? ? ? ? 2 ? 1 ??? ???? ? 1 ??? ???? O G1 ? ( O A ? O A1 ) ? ( O A ? O A1 ) ,同理可得: ? ?
? ?
???? ? ????? ?????

B 3 ?2 ? 3 ????? 1 ???? ???? ? ? ????? 1 ???? ??? ? ? A2 O G 2 ? ( O A 1 ? O A 2 ) , O G 3 ? ( O A 2 ? O B ) , 分) (2 3 3 ???? ????? ????? 1 ? ? ? ? 2 ???? ???? A1 则 O G 1 ? O G 2 ? O G 3 ? ( a ? b ) ? ( O A1 ? O A 2 ) 3 3 A ? 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ?? 1 ? ? ? (a ? b) ? a ? ( b ? a ) ? a ? ( b ? a ) ? ( a ? b ) (4 分) ? 3 3 ? 3 3 ? ? ? ? ???? ????? ? a?b 2 ? ? (2)层次 1:设 A1 是 A B 的二等分点,则 O A1 ? ; O G1 ? O G 2 ? ( a ? b ) ; 2 3 ? ? ???? ???? ???? ? ? 3?a ? b? 设 A1、 A 2、 A3 是 A B 的四等分点,则 O A1 ? O A 2 ? O A3 ? ;或设 A1 , A 2 , ? , A n ? 1 是 A B 的 n 等分 2 ???? ?????? ?? ??? ? 点,则 O A k
? OA

? ? ???? ???? ???? ? ? ?????? ?????? ? n(a ? b) 层次 2:设 A1 , A 2 , ? , A n ? 1 是 A B 的 n 等分点, O A1 ? O A 2 ? O A 3 ? ? ? O A n ? 2 ? O A n ? 1 ? 2

n?k

? OA ? OB

等等(结论 2 分,证明 2 分)

(结论 2 分,证明 4 分) 层次 3:设 A1 , A 2 , ? , A n ? 1 是 A B 的 n 等分点,

? ? ???? ????? ????? ? ??????? ?????? ? n(a ? b) 则 O G 1 ? O G 2 ? O G 3 ? ? ? O G n ? 2 ? O G n ?1 ? ; (结论 3 分,证明 7 分) 3 ???? ????? ? ?????? ? 1 ? ? ? ?????? 2 ???? ???? 证: O G 1 ? O G 2 ? ? ? O G n ? 1 ? ( a ? b ) ? ( O A1 ? O A 2 ? ? ? O A n ? 1 ) 3 3 ? ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? ? ? 1 2 ? ? (a ? b) ? a ? (b ? a ) ? a ? (b ? a ) ? ? ? a ? (b ? a ) ? 3 3 ? n n n ? ? ? ? ? ? 1 2 ? 1 2 n ?1 1 2 n ?1 ?? ? (a ? b) ? ( n ? 1) a ? ( ? ? ? ? )b ? ( ? ? ? ? )a ? 3 3 ? n n n n n n ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 ( n ? 1) n ? (a ? b) ? ? (a ? b ) ? (a ? b ) 3 3 2 3 ??? ? ??? ??? ? ? (文) (1)如图:点 P 、 Q 是线段 A B 的三等分点 O P ? O A ? A P ??? 1 ??? ??? ? ? ? ??? ? ???? 1 ? 2 ? 2 ? 1? ? O A ? ( O B ? O A ) ,则 O P ? a ? b ,同理 O Q ? a ? b , (2 分) 3 3 3 3 3 ? ? ?? ? ? ?? ? ? 所以 O P ? O Q? a? b (4 分)

(2)层次 1:设 A1 是 A B 的二等分点,则 O A1 ? 设 A1、 A 2、 A3 是 A B 的四等分点,则

? ? a?b 2



O B Q A1 P A

? ? ???? ???? ???? ? ? 3?a ? b? O A1 ? O A 2 ? O A 3 ? 等等(结论 2 分,证明 2 分) 2

层次 2:设 A1 , A 2 , ? , A n ? 1 是 A B 的 n 等分点, ???? ?????? ?? ??? ? 则 O A k ? O A n ? k ? O A ? O B 等; (结论 2 分,证明 4 分) 层次 3:设 A1 , A 2 , ? , A n ? 1 是 A B 的 n 等分点, 则? O A1 ? O A 2 ? ? ? O A n ? 1 ?
???? ???? ? ?????? n ?1 ? ? (a ? b ) ; 2

(结论 3 分,证明 7 分)

证: A1 , A 2 , ? , A n ? 1 是线段 AB 的 n ( n ? 3 ) 等分点,先证明这样一个基本结论:

???? ?????? ? ? ??? ??? ? ? * O A k ? O A n ? k ? O A ? O B (1 ? k ? n ? 1, n、 k ? N ) . ???? ??? ???? ?????? ??? ?????? ? ? ? ? ? ???? ? ?????? 由 O A k = O A ? A A k , O A n ? k = O B ? B A n ? k ,因为 A A k 和 B A n ? k 是相反向量, ???? ?????? ? ???? ?????? ? ? ??? ??? ? ? 则 A A k ? B A n ? k ? 0 , 所以 O A k ? O A n ? k ? O A ? O B . ???? ???? ???? ? ? ?????? ?????? ? ?????? ?????? ? ???? ???? ? 记 S ? O A1 ? O A 2 ? O A3 ? ? ? O A n ? 2 ? O A n ? 1 , S ? O A n ? 1 ? O A n ? 2 ? ? ? O A 2 ? O A1 ???? ?????? ???? ?????? ? ? ?????? ???? ??? ??? ? ? 相加得 2 S ? ( O A1 ? O A n ?1 ) ? ( O A 2 ? O A n ? 2 ) ? ? ? ( O A n ?1 ? O A1 ) ? ( n ? 1)( O A ? O B )
???? ???? ? ?????? n ?1 ? ? ? O A1 ? O A 2 ? ? ? O A n ? 1 ? (a ? b ) 2

3、充要条件: 5、 (上海市闸北区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和数列 { a n } 满足下列 条件:
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

a 1 ? a , a 2 ? a 1 ,当 n ? N 且 n ? 2 时, a n ? f ( a n ? 1 ) 且 f ( a n ) ? f ( a n ? 1 ) ? k ( a n ? a n ? 1 ) .

?

其中 a 、 k 均为非零常数. (1)若数列 { a n } 是等差数列,求 k 的值; (2)令 b n ? a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,若 b1 ? 1 ,求数列 { b n } 的通项公式; (3)试研究数列 { a n } 为等比数列的条件,并证明你的结论. 说明:对于第 3 小题,将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性,给予不同的评分。 20. (1)由已知 a n ? f ( a n ? 1 ) , f ( a n ) ? f ( a n ? 1 ) ? k ( a n ? a n ? 1 ) ( n ? 2 , 3 , 4 ,? ? ?) ,得
a n ? 1 ? a n ? f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) ? k ( a n ? a n ?1 )
( n ? 2 , 3 , 4 ,? ? ?)
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

?

由数列 { a n } 是等差数列,得 a n ? 1 ? a n ? a n ? a n ? 1 ( n ? 2 , 3 , 4 ,? ? ?) 所以, a n ? a n ? 1 ? k ( a n ? a n ? 1 ) , ( n ? 2 , 3 , 4 ,? ? ?) ,得 k ? 1 .?????????5 分 (2)由 b1 ? a 2 ? a 1 ? 0 ,可得

b 2 ? a 3 ? a 2 ? f ( a 2 ) ? f ( a1 ) ? k ( a 2 ? a1 ) ? 0 .

且当 n ? 2 时, b n ? a n ? 1 ? a n ? f ( a n ) ? f ( a n ? 1 ) ? k ( a n ? a n ? 1 ) ? ? ? ? ? k 所以,当 n ? 2 时,
bn bn ?1 ? a n ?1 ? a n a n ? a n ?1 ? f ( a n ) ? f ( a n ?1 ) a n ? a n ?1 ? k ( a n ? a n ?1 ) a n ? a n ?1

n ?1

( a 2 ? a1 ) ? 0

? k ,?????????4 分

因此,数列 { b n } 是一个公比为 k 的等比数列.????????????????1 分 (3)解答一:写出必要条件,如,由(1)知,当 k ? 1 时,数列 { a n } 是等差数列, 所以 k ? 1 是数列 { a n } 为等比数列的必要条件. ????????????3 分 解答二:写出充分条件,如 f ( x ) ? 2 x 或 f ( x ) ? ? 2 x 等,并证明 ?????? 5 分 解答三: { a n } 是等比数列的充要条件是 f ( x ) ? kx ( k ? 1) ????????2 分 充分性证明: 若 f ( x ) ? kx ( k ? 1) ,则由已知 a1 ? a ? 0 , a n ? f ( a n ? 1 ) ( n ? 2 , 3 , 4 ,? ? ?) 得
a n ? ka n ? 1 ( n ? 2 , 3 , 4 ,? ? ?)

所以, { a n } 是等比数列.???????????????????????2 分 必要性证明:若 { a n } 是等比数列,由(2)知, b n ? k
n ?1

( a 2 ? a1 ) ( n ? N )

?

b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? 1 ? ( a 2 ? a1 ) ? ( a 2 ? a1 ) ? ? ? ? ? ( a n ? a n ? 1 ) ? a n ? a1 ( n ? 2 ) , a n ? a 1 ? ( b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? 1 ) . ????????????????1 分

当 k ? 1 时, a n ? a 1 ? ( a 2 ? a 1 )( n ? 1) ( n ? 2 ) . 上式对 n ? 1 也成立,所以 ,数列 { a n } 的通项公式为:
a n ? a ? ( f ( a ) ? a )( n ? 1) ( n ? N ) .
?

所以,当 k ? 1 时,数列 { a n } 是以 a 为首项, f ( a ) ? a 为公差的等差数列. 所以, k ? 1 .??????????????????? ???????1 分 当 k ? 1 时, a n ? a 1 ? ( a 2 ? a 1 ) 上式对 n ? 1 也成立,所以,
1? k
n ?1
[来源:Zxxk.Com]

1? k

(n ? 2) .

an ? a ? ( f (a ) ? a )
f (a ) ? a 1? k

1? k

n ?1

1? k

? a?

f (a ) ? a 1? k

?

( f (a ) ? a )k 1? k

n ?1

????????1 分

所以, a ?

? 0 ? f ( a ) ? ka .

????????????????1 分

即,等式 f ( a ) ? ka 对于任意实数 a 均成立. 所以, f ( x ) ? kx ( k ? 1) .???????????????????????1 分 6、 (2011 上海市调研卷)已知函数 y ? f ? x ? ? x ? D ? ,方程 f ? x ? ? x 的根 x 0 称为函数 f ? x ? 的不动点;若
a1 ? D , a n ? 1 ? f ? a n ? ? n ? N
*

? ,则称 ? a ? 为由函数 f ? x ? 导出的数列。
n

设函数 g ? x ? ?

4x ? 2 x?3

,h?x? ?

? c ? 0, ad ? bc ? 0, ? d ? a ? cx ? d

ax ? b

2

? 4bc ? 0

?

⑴求函数 g ? x ? 的不动点 x1 , x 2 ; ⑵设 a1 ? 3 , ? a n ? 是由函数 g ? x ? 导出的数列,对⑴中的两个不动点 x1 , x 2 (不妨设 x1 ? x 2 ) , 数列求证 ?
? a n ? x1 ? ? ? an ? x2 ?

是等比数列,并求 lim a n ;
n? ?

⑶试探究由函数 h ? x ? 导出的数列 ? b n ? , (其中 b1 ? p )为周期数列的充要条件。 注:已知数列 ? b n ? ,若存在正整数 T ,对一切 n ? N * 都有 b n ? T ? b n ,则称数列 ? b n ? 为周期数列, T 是它的 一个周期。

7、 (2004 年上海秋考)设 P1(x1,y1), P1(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N) 是二次曲线 C 上的点, 且 a1= OP 1 2, a2= OP 2 2, …, an= OP n
x
2

构成了一个公差为 d(d≠0) 的等差数列, 其中 O 是坐标原点. 记 Sn=a1+a2+…+an.
y
2

2

(1) 若 C 的方程为 (只需写出一个) (2)若 C 的方程为
x a

?

100

25

=1,n=3. 点 P1(3,0) 及 S3=255, 求点 P3 的坐标;

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0). 点 P1(a,0), 对于给定的自然数 n, 当公差 d 变化时, 求 Sn 的最小

值; . (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线 C 及 C 上的一点 P1,对于给定的自然数 n,写出符合条件的点 P1, P2,…Pn 存在的充要条件,并说明理由.
3 2

【解】(1) a1= OP 1 2=100,由 S3=
? x y 2 ? x ? 60 ? ?1 ? 由 ?100 25 ,得 ? 2 ? y ? 10 ? x 2 ? y 2 ? 70 ?
2 2

(a1+a3)=255,得 a3= OP 3 3=70.

∴点 P3 的坐标可以为(2 15 ,

10 ).
x a
2 2

(2) 【解法一】原点 O 到二次曲线 C:

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)上各点的最小距离为 b,最大距离为 a.

∵a1= OP 1 2=a2, ∴d<0,且 an= OP n 2=a2+(n-1)d≥b2,
b
2



? a

2

n ?1

≤d<0. ∵n≥3,

n ( n ? 1) 2

>0

∴Sn=na2+

n ( n ? 1) 2

d 在[

b

2

? a

2

n ?1 b
2

,0)上递增,

故 Sn 的最小值为 na2+

n ( n ? 1) 2

·

? a

2

n ?1

=

n(a

2

?b )
2

.

2

【解法二】对每个自然数 k(2≤k≤n),
? xk ? yk ? a ? ? k ? 1? d 2 ? b ( k ? 1) d ? 2 2 2 ,解得 y k = ? xk y 2 2 a ?b ? k2 ? 1 ? 2 a b ?
2 2 2



∵0< y k ≤b2,得
2
2

b

2

? a

2

k ?1

≤d<0



b

? a

2

n ?1

≤d<0

以下与解法一相同. (3) 【解法一】若双曲线 C:
x a
2 2



y b

2 2

=1,点 P1(a,0),

则对于给定的 n, 点 P1, P2,…Pn 存在的充要条件是 d>0. ∵原点 O 到双曲线 C 上各点的距离 h∈[ a ,+∞),且 OP 1 =a2, ∴点 P1, P2,…Pn 存在当且仅当 OP n 2> OP 1 2,即 d>0. 【解法二】若抛物线 C:y2=2x,点 P1(0,0), 则对于给定的 n, 点 P1, P2,…Pn 存在的充要条件是 d>0.理由同上 【解法三】若圆 C:(x-a)+y2=a2(a≠0), P1(0,0), 则对于给定的 n, 点 P1, P2,…Pn 存在的充要条件是 0<d≤
4a
2

n ?1

.

∵原点 O 到圆 C 上各点的最小距离为 0,最大距离为 2 a ,
4a
2

且 OP 1 =0, ∴d>0 且 OP n =(n-1)d≤4a .即 0<d≤

2

2

n ?1

.

4、结论开放型问题 8、 (浦东新区 23) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x ) , 若有常数 M, 使得对任意的 x1 ? D , 存在唯一的 x 2 ? D 满足等式
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? M

,则称 M 为函数 y ? f (x)的“均值” .

(1)判断 1 是否为函数 f ( x ) ? 2 x ? 1( ? 1 ≤ x ≤ 1) 的“均值” ,请说明理由; (2)若函数 f ( x ) ? a x 2 ? 2 x (1 ? x ? 2, a 为常数)存在“均值” ,求实数 a 的取值范围; (3)若函数 f ( x ) 是单调函数,且其值域为区间 I.试探究函数 f ( x ) 的“均值”情况(是否存在、个数、 大小等)与区间 I 之间的关系,写出你的结论(不必证明) . 说明:对于(3) ,将根据结论的完整性与一般性程度给予不同的评分. 解: (1)对任意的 x1 ? [ ? 1,1] ,有 ? x1 ? [ ? 1,1] , 当且仅当 x 2 ? ? x1 时,有
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? 1 ,

故存在唯一 x 2 ? [ ? 1,1] ,满足

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

?1,

????????2 分 ????????4 分

所以 1 是函数 f ( x ) ? 2 x ? 1( ? 1 ? x ? 1) 的“均值” . (另法:对任意的 x1 ? [ ? 1,1] ,有 ? x1 ? [ ? 1,1] ,令 x 2 ? ? x1 , 则 x 2 ? [ ? 1,1] ,且 若 x 2 ? ? [ ? 1,1] ,且
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 ? x1 ? x 2 ? 1 ? 1 ,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ? ) 2

? 1 ,则有 f ( x 2 ) ? f ( x 2 ? ) ,可得 x 2 ? x 2 ? ,

故存在唯一 x 2 ? [ ? 1,1] ,满足

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2

?1,

????????2 分

所以 1 是函数 f ( x ) ? 2 x ? 1( ? 1 ? x ? 1) 的“均值” . ????????4 分) (2)当 a ? 0 时, f ( x ) ? ? 2 x (1 ? x ? 2 ) 存在“均值” ,且“均值”为 ? 3 ;????5 分 当 a ? 0 时,由 f ( x ) ? a x 2 ? 2 x (1 ? x ? 2 ) 存在均值,可知对任意的 x 1 , 都有唯一的 x 2 与之对应,从而有 f ( x ) ? a x 2 ? 2 x (1 ? x ? 2 ) 单调, 故有
1 a ? 1或 1 a ? 2 1 2

,解得 a ? 1 或 a ? 0 或 0 ? a ?
1 2



????????9 分 ????????10 分

综上,a 的取值范围是 a ? (另法:分 a ? 0,
1 a ? 1,1 ?

或a ?1 .
? 2, 1 a ? 2

1 a

四种情形进行讨论)

(3)①当 I ? ( a , b ) 或 [ a , b ] 时,函数 f ( x ) 存在唯一的“均值” . 这时函数 f ( x ) 的“均值”为
a?b 2



???????12 分

②当 I 为 ( ? ? , ? ? ) 时,函数 f ( x ) 存在无数多个“均值” . 这时任意实数均为函数 f ( x ) 的“均值” ; ????????14 分 ③当 I ? ( a , ? ? ) 或 ( ? ? , a ) 或 [ a , ? ? ) 或 ( ? ? , a ] 或 [ a , b ) 或 ( a , b ] 时, 函数 f ( x ) 不存在“均值” . ????????16 分 [评分说明: 若三种情况讨论完整且正确,但未用等价形式进行叙述,至多得 6 分;若三种情况讨论不完整,且未用等 价形式叙述,至多得 5 分] ①当且仅当 I 形如 ( a , b ) 、 [ a , b ] 其中之一时,函数 f ( x ) 存在唯一的“均值” .

这时函数 f ( x ) 的“均值”为

a?b 2



????????13 分

②当且仅当 I 为 ( ? ? , ? ? ) 时,函数 f ( x ) 存在无数多个“均值” . 这时任意实数均为函数 f ( x ) 的“均值” ; ????????16 分 ③当且仅当 I 形如 ( a , ? ? ) 、 ( ? ? , a ) 、 [ a , ? ? ) 、 ( ? ? , a ] 、 [ a , b ) 、 ( a , b ] 其中之一时,函数 f ( x ) 不存 在“均值” . ????????18 分 (另法:①当且仅当 I 为开区间或闭区间时,函数 f ( x ) 存在唯一的“均值” .这时函数 f ( x ) 的均值为区间 I 两端点的算术平均数; ????????13 分 ②当且仅当 I 为 ( ? ? , ? ? ) 时,函数 f ( x ) 存在无数多个“均值” .这时任意实数均为函数 f ( x ) 的“均 值” ; ????????16 分 ③当且仅 当 I 为 除去开区间、闭区间与 (?? , ?? ) 之外的其它区间时,函数 f ( x) 不存在“ 均 值” . ????????18 分) [评分说明:在情形①与②中,等价关系叙述正确但未正确求出函数“均值” ,各扣 1 分] 5、探究: 9、 (浦东新区 22(文), 本题满分 16 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分)
???? ? ??? ? M ( x , y ) 满 足 OM // OB , O M ? A B . 动 点 M 的 轨 迹 C 的 方 程 为
F ( x, y ) ? 0 .

已知点 A ( x 1 , y 1 ) 在圆 ( x ? 2 ) ? y ? 4 上运动,点 B ( 4 , y 0 ) 在直线 x ? 4 上运动,异于点 B 的动点
2 2
y
5

(1)试用点 M 的坐标 x , y 表示 y 0 , x 1 , y 1 ; (2)求动点 M 的轨迹方程 F ( x , y ) ? 0 ; (3)以下给出曲线 C 的五个方面的性质,请你选择其中的三个方面进行 研究,并说明理由(若你研究的方面多于三个,我们将只对试卷解答中的 前三项予以评分). ① 对称性; 分) (2 ② 顶点坐标; 分) (2 (定义:曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点) ③ 图形范围; 分) (2 ④ 渐近线; 分) (3 ⑤ 对方程 F ( x , y ) ? 0 ,当 y ? 0 时,函数 y ? f ( x ) 的单调性.(3 分) 解: (1) OM ? ( x , y ) , OB ? ( 4 , y 0 ) , AB ? ( 4 ? x 1 , y 0 ? y 1 ) 因为 OM // OB ,所以当 x ? 0 时, y 0 ? R ;当 x ? 0 时, y 0 ?
4y x

4 3 2 1

B A

-3

-2

-1

O
-1 -2 -3 -4

1

2

3

4

5

x

.

? x1 ? 4 ? x ???? ? ??? ? ? x1 ? 4 ? x ? 4 ? x1 ? 因为 O M ? A B ,所以 ? ,则当 x ? 0 时, ? ;当 x ? 0 时, ? . 4y ? y ? y ? y 0 ? y1 ? y1 ? y 0 ? 0 ? y1 ? x ? ? x1 ? 4 ? x ? x1 ? 4 4y ? 综上可知,当 x ? 0 时, ? ;当 x ? 0 时, y 0 ? ,? .??4 分 4y x ? y ? y1 ? y 0 ? 0 ? y1 ? x ?

(2)由点 A 在圆上,则 ( x 1 ? 2 ) ? y 1 ? 4 .
2 2

当 x ? 0 时, ( 4 ? x ? 2 ) ? (
2

4y x

? y)
3

2

? 4 ,整理得, x ? xy ? 4 y ? 0 或 x ? 4 (舍)
3 2 2 2 2

当 x ? 0 时,点 ( 0 , 0 ) 满足方程 x ? xy ? 4 y ? 0 . 故,所求动点 M 的轨迹 C 的方程为 x ? xy ? 4 y ? 0 .
3 2 2

????8 分

(3)① 关于 x 轴对称;将方程中的 ( x , y ) 换成 ( x , ? y ) ,方程的形式不变,则曲线 C 关于 x 轴对称. ② 曲线 C 的顶点为(0,0) ;

在方程 x ? xy ? 4 y ? 0 中,令 y ? 0 ,得 x ? 0 .则曲线 C 的顶点坐标为(0,0).
3 2 2

③ 图像范围: 0 ? x ? 4, y ? R ; ④ 直线 x ? 4 是曲线 C 的渐近线;
0 ? x ? 4,y ?
2

y ?
2

x

3

4? x

? 0 ,得 0 ? x ? 4, y ? R .

x

3

4? x

,当 x ? 4 时, y ? ? . 则直线 x ? 4 是曲线 C 的渐近线.
2

⑤ 当 y ? 0 时函数 y ? f ( x ) 在 [0, 4 ) 上单调递增; y ?
y1 ? y 2 ?
2 2
2 2

x

3

4? x

(0 ? x ? 4 ) . 设 0 ? x1 ? x 2 ? 4 ,则
2 2

x1

3

4 ? x1

?

x2

3

4 ? x2

?

x1 ( 4 ? x 2 ) ? x 2 ( 4 ? x1 )
3 3

( 4 ? x1 )( 4 ? x 2 )

?

( x1 ? x 2 )[ x1 ( 4 ? x 2 ) ? x 2 ( 4 ? x 1 ) ? 4 x 1 x 2 ] ( 4 ? x1 )( 4 ? x 2 )

? 0.

则 y1 ? y 2 ,即 y 1 ? y 2 ,所以当 y ? 0 时函数 y ? f ( x ) 在 [0, 4 ) 上单调递增. 本题主要考查了解方程组、求动点 M 的轨迹方程、研究曲线 C 的五个方面的性质、阅读理解能力和 基本运算能力,其背景可以追溯到解析几何中经典的圆锥曲线的研究方法,耐人寻味. 试题科学、试卷平稳是高考命题的首要目标,展露新意、闪现亮点是高考命题的第二追求,由此可以 预测:新颖题、亮点题必将还会在上海高考中出现.一般说来,新颖题、亮点题除以上特色外,还具有以 下一些特征:

第一,多属新信息迁移题,在教学中既要适当拓宽学生的数学知识视野, 也要加强自主获取知识能力的训练与培养; 第二,常规考点经过适当包装,要求学生不为表象所惑,善于抓住问题本 质; 第三,常规考点的组合联袂,在解答时只需抓住基本知识,加以合适组合, 问题便可迎刃而解; 第四,属于能力立意的,知识虽是新的,能力却不超纲,在教学中除了强 调知识的获取,也要注意能力的培养. 应对创新型试题的最好办法是让学生进行研究性学习,要让学生在新课学 习和复习课中经历数学探究的过程,这个过程应该包括学生自己主动地观察数 学现象、分析数学材料,提出数学问题、探究数学规律,猜想数学命题、寻找 解题思路等.



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