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高一三角函数基础练习


高一三角函数基础练习
一.选择题(共 10 小题) 1. (2015?漳州一模)为得到函数 A.向左平移 C.向左平移 个长度单位 个长度单位 B.向右平移 D.向右平移 的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( 个长度单位 个长度单位 ) (ω>0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+ ) )

2. (2015?余杭区模拟

)若将函数 y=tan(ωx+ 的图象重合,则 ω 的最小值为( A. B. C. D. )

3. (2015?湖南)将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 φ(0<φ< |f(x1)﹣g(x2)|=2 的 x1、x2,有|x1﹣x2|min= A. B. C. D. ,则 φ=( )

)个单位后得到函数 g(x)的图象.若对满足

4. (2015?广西校级学业考试)函数 y=sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图,则(



A.ω=

,φ=

B.ω=

,φ=

C.ω=

,φ=

D.ω= ,

,φ= ]上的简图是( )

5. (2015?武昌区模拟)函数 y=cos(2x﹣

)在区间[﹣

A.

B.

C.

D.

6. (2015?山东一模)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 y=cos2x

第 1 页(共 22 页)

A.向左平移 C.向左平移

个单位长度

B.向右平移

个单位长度

个单位长度 D.向右平移

个单位长度 )图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 )

7. (2015?十堰模拟)将函数 y=sin(4x﹣

个单位,则所得函数图象的一条对称轴的方程是( A.x= B.x= C.x= D.x=﹣

8. (2015?河南二模)为得到函数 y=sin(x+

)的图象,可将函数 y=sinx 的图象向左平移 m 个单位长度,或向右 )

平移 n 个单位长度(m,n 均为正数,则|m﹣n|的最小值是( A. B. C.π D.2π

9. (2015?太原一模)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象( A.关于直线 x= C.关于点( 对称 B.关于直线 x= 对称 ,0) )

)的最小正周期是 π,若将其图象向右平移

,0)对称 D.关于直线(

10. (2015?赤峰模拟)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A≠0,ω>0,﹣ 它的周期是 π,则( )

<φ<

)的图象关于直线 x=

对称,

A.f(x)的图象过点(0, ) B.f(x)的图象在[ C.f(x)的最大值为 A D.f(x)的一个对称中心是点( ,0) , ]上递减

二.填空题(共 10 小题) 11. (2015?陕西)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水渠变化曲线近似满足函数 y=3sin( 知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 . x+φ)+k.据此函数可

第 2 页(共 22 页)

12. (2015?上海)将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向右平移

个单位,再保持图象上的纵坐标不变,而横坐标变为 . 个单位后,所得的函数恰好是

原来的 2 倍,得到的曲线与 y=sinx 的图象相同,则 y=f(x)的解析式是 13. (2015?张家港市校级模拟)将函数 y=sin(2x+φ) (0≤φ<π)的图象向左平移 偶函数,则 φ 的值为 .

14. (2015?江苏三模)在平面直角坐标系 xOy 中,若函数 y=3sin(2x+ 位后,所得函数图象关于原点成中心对称,则 φ 的值为 15. (2015?徐汇区一模)已知函数 .

)的图象向左平移 φ(0<φ<

)个单

,将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位 .

后得到函数 y=g (x) 的图象, 若 y=g (x) 的图象上最高点到点 (0, 3) 的距离的最小值为 1, 则 φ 的值为 16. (2013 秋?潍坊期末)已知 ,则 = .

17. (2013?福建)已知函数 f(x)=

,则 f(f(

) )=



18. (2015?湖南)已知 ω>0,在函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为 2 则 ω= . 19. (2010?江苏)定义在区间



上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x

轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 . 20. (2011?江苏) 函数 ( f x) =Asin (ωx+φ) (A, , ω, φ 是常数, A>0, ω>0) 的部分图象如图所示, 则( f 0) =



第 3 页(共 22 页)

三.解答题(共 5 小题) 21. (2014?北京)函数 f(x)=3sin(2x+ )的部分图象如图所示.

(Ⅰ)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; (Ⅱ)求 f(x)在区间[﹣ ,﹣ ]上的最大值和最小值.

22. (2013?上海)已知函数 f(x)=2sin(ωx) ,其中常数 ω>0 (1)若 y=f(x)在[﹣ , ]上单调递增,求 ω 的取值范围; 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,区间

(2)令 ω=2,将函数 y=f(x)的图象向左平移

[a,b](a,b∈R,且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b ﹣a 的最小值.

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23. (2015?湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 表并填入了部分数据,如表: ωx+φ 0 x

)在某一个周期内的图象时,列

π



0 5 0 Asin(ωx+φ) ﹣5 (1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一 个对称中心为( ,0) ,求 θ 的最小值.

24. (2009?陕西)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ,x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< 个最低点为 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 ,求 f(x)的最值. .

)的周期为 π,且图象上一

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25. (2015?张家港市校级模拟)如图,在 C 城周边已有两条公路 l1,l2 在点 O 处交汇,且它们的夹角为 75°.已知 OC=( + ) km,OC 与公路 l1 的夹角为 45°.现规划在公路 l1,l2 上分别选择 A,B 两处为交汇点(异于点 O) 直接修建一条公路通过 C 城.设 OA=x km,OB=y km. (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出它的定义域; (2)试确定点 A,B 的位置,使△ OAB 的面积最小.

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高一三角函数基础练习
参考答案与试题解析

一.选择题(共 10 小题) 1. (2015?漳州一模)为得到函数 A.向左平移 C.向左平移 个长度单位 个长度单位 B.向右平移 D.向右平移
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的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象( 个长度单位 个长度单位



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题. 【分析】先根据诱导公式将函数 案. 【解答】解:∵ 只需将函数 y=sin2x 的图象向左平移

化为正弦的形式,再根据左加右减的原则进行平移即可得到答

, 个单位得到函数 的图象.

故选 A. 【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移.属基础题.

2. (2015?余杭区模拟)若将函数 y=tan(ωx+ 的图象重合,则 ω 的最小值为( A. B. C. D.
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) (ω>0)的图象向右平移

个单位长度后,与函数 y=tan(ωx+





【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题.

【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式,与函数 y=tan(ωx+ (k∈Z) ,然后求出 ω 的最小值. 【解答】解:y=tan(ωx+ ∴ ﹣ ω+kπ= ) ,向右平移 个单位可得:y=tan[ω(x﹣

)的图象重合,比较系数,求出 ω=6k+

)+

]=tan(ωx+



∴ω=k+ (k∈Z) , 又∵ω>0 ∴ωmin= . 故选 D. 【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,待定系数法的应用,考查计算能力,是常考题.
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3. (2015?湖南)将函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移 φ(0<φ< |f(x1)﹣g(x2)|=2 的 x1、x2,有|x1﹣x2|min= A. B. C. D.
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)个单位后得到函数 g(x)的图象.若对满足

,则 φ=(



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】利用三角函数的最值,求出自变量 x1,x2 的值,然后判断选项即可. 【解答】解:因为将函数 f(x)=sin2x 的周期为 π,函数的图象向右平移 φ(0<φ< )个单位后得到函数 g(x) ,

的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2 的可知,两个函数的最大值与最小值的差为 2,有|x1﹣x2|min= 不妨 x1= x1= ,x2= ,即 g(x)在 x2= ,即 g(x)在 x2= ,取得最小值,sin(2× ,取得最大值,sin(2× ﹣2φ)=﹣1,此时 φ= ﹣2φ)=1,此时 φ=

,不合题意,

,x2=

,满足题意.

故选:D. 【点评】本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好 题,题目新颖.有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答. 4. (2015?广西校级学业考试)函数 y=sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图,则( )

A.ω=

,φ=

B.ω=

,φ=

C.ω=

,φ=

D.ω=
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,φ=

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题. 【分析】通过函数的图象求出函数的周期,利用周期公式求出 ω,利用函数的图象经过(3,0)代入函数的表达式 即可得到 φ. 【解答】解:由题意以及函数的图象,可知 T=4×(3﹣1)=8,因为 T= 因为函数的图象经过(3,0) ,所以 0=sin( 故选 C ,所以 ω= ; ;

+φ)且 0≤φ<2π,所以 φ=

【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象求函数的解析式,考查计算推理能力;注意函数的周期,图象结果的 特殊点,初相的范围,否则容易出错.
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5. (2015?武昌区模拟)函数 y=cos(2x﹣

)在区间[﹣



]上的简图是(



A.

B.
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C.

D.

【考点】五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据三角函数的单调性判断函数的单调性即可得到结论. 【解答】解:当 x=0 时,y=cos(﹣ 由 2kπ≤2x﹣ 得 kπ+ ≤2kπ+π,k∈Z 得, (k∈Z) , ≤x≤﹣ , , )= >0,排除 C,

≤x≤kπ+

当 k=﹣1 时,﹣ 当 k=0 时, ∵﹣ ∴﹣ ≤x≤ ≤x≤﹣ ≤x≤ , , ≤x≤﹣

≤ x≤ 和

, ≤ x≤ 上为减函数,

即函数在﹣

由 2kπ﹣π≤2x﹣ ∴kπ﹣ ≤x≤kπ+

≤2kπ(k∈Z) , (k∈Z) , ,即 上为增函数,

当 k=0 时,﹣ 即函数在﹣

≤x≤ ≤x≤

则函数的图象为 D, 故选:D. 【点评】本题主要考查三角函数图象的判断,根据三角函数的单调性是解决本题的关键.

6. (2015?山东一模)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到 y=cos2x

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A.向左平移 C.向左平移

个单位长度

B.向右平移

个单位长度

个单位长度 D.向右平移

个单位长度
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【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】计算题. 【分析】先根据图象确定 A 和 T 的值,进而根据三角函数最小正周期的求法求 ω 的值,再将特殊点代入求出 φ 值 从而可确定函数 f(x)的解析式,然后根据诱导公式将函数化为余弦函数,再平移即可. 【解答】解:由图象可知 A=1,T=π,∴ω= ∴f(x)=sin(2x+φ) ,又因为 f( ∴ ∵|φ| +φ= +2kπ,φ= )=sin( (k∈Z) =2 +φ)=﹣1

,∴φ= )=sin( +2x﹣ )=cos(2x﹣ )﹣ ) ]=cos2x=y

∴f(x)=sin(2x+

∴将函数 f(x)向左平移

可得到 cos[2(x+

故选 C. 【点评】本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换.根据图象求三角函数解析式时,一般 先根据图象确定 A 的值和最小正周期的值,进而求出 w 的值,再将特殊点代入求 φ 的值. 7. (2015?十堰模拟)将函数 y=sin(4x﹣ )图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 )

个单位,则所得函数图象的一条对称轴的方程是( A.x= B.x= C.x= D.x=﹣
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【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数图象变换,求出函数解析式,结合三角函数的对称性即可得到结论. 【解答】解:y=sin(4x﹣ 左平移 由 2x+ )图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 y=sin(2x﹣ )﹣ ]=sin(2x+ ) , ) ,再向

个单位得到 y=sin[2(x+ =kπ+ ,得 x=

+ kπ,k∈Z,

当 k=时,x=
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即函数的一条对称轴为 x=



故选:C. 【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解,利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键.

8. (2015?河南二模)为得到函数 y=sin(x+

)的图象,可将函数 y=sinx 的图象向左平移 m 个单位长度,或向右 )

平移 n 个单位长度(m,n 均为正数,则|m﹣n|的最小值是( A. B. C.π D.2π
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【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据函数左右平移关系,求出 m,n 的表达式,然后根据绝对值的意义进行求解即可. 【解答】解:y=sinx 的图象向左平移 k∈Z, y=sinx 的图象向右平移 即|m﹣n|=| +2kπ﹣ +2mπ 个单位长度,即可得到函数 y=sin(x+ ﹣2mπ|=|2(k﹣m)π﹣ = |, , )的图象,此时 n= +2mπ,m∈Z, +2kπ 个单位长度,即可得到函数 y=sin(x+ )的图象,此时 m= +2kπ,

∴当 k﹣m=1 时,|m﹣n|取得最小值为 2π﹣

故选:A 【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,利用函数平移关系是解决本题的关键. 9. (2015?太原一模)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 个单位后得到的图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象( A.关于直线 x= C.关于点( 对称 B.关于直线 x= 对称 ,0)
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)的最小正周期是 π,若将其图象向右平移



,0)对称 D.关于直线(

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可. 【解答】解:∵函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< ∴T= =π,解得 ω=2, )的最小正周期是 π,

即 f(x)=sin(2x+φ) , 将其图象向右平移 个单位后得到 y=sin[2(x﹣ )+φ]=sin(2x+φ﹣ ) ,

若此时函数关于原点对称, 则 φ﹣ =kπ,即 φ= +kπ,k∈Z,
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∵|φ|<

, . ) . , ,k∈Z, ,

∴当 k=﹣1 时,φ= 即 f(x)=sin(2x 由 2x 解得 x= = +

故当 k=0 时,函数的对称轴为 x=

故选:B 【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用,根据条件求出函数的解析式是解决本题 的关键.

10. (2015?赤峰模拟)设函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A≠0,ω>0,﹣ 它的周期是 π,则( )

<φ<

)的图象关于直线 x=

对称,

A.f(x)的图象过点(0, ) B.f(x)的图象在[ C.f(x)的最大值为 A D.f(x)的一个对称中心是点( ,0)
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]上递减

【考点】三角函数的最值;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性. 【专题】计算题.

【分析】由周期公式可先求 ω,根据函数对称轴处取得函数最值,由函数的图象关于直线 x= (?+ )=±1,代入可得?= ,根据三角函数的性质逐个检验选项.

对称,可得 sin

【解答】解:T=π,∴ω=2. ∵图象关于直线 x= sin(φ+ 即 ×2)=±1 +kπ,k∈Z ,∴φ= ) .再用检验法逐项验证. 对称,

×2+φ=

又∵﹣

<φ<

∴f(x)=Asin(2x+ 故选 D

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【点评】本题考查了三角函数的性质:周期公式 最值. 二.填空题(共 10 小题)

的应用;三角函数对称轴的性质,正弦函数在对称轴处取得

11. (2015?陕西)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水渠变化曲线近似满足函数 y=3sin( 知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 8 .

x+φ)+k.据此函数可

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】三角函数的图像与性质.

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【分析】由图象观察可得:ymin=﹣3+k=2,从而可求 k 的值,从而可求 ymax=3+k=3+5=8. 【解答】解:∵由题意可得:ymin=﹣3+k=2, ∴可解得:k=5, ∴ymax=3+k=3+5=8, 故答案为:8. 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.

12. (2015?上海)将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴向右平移

个单位,再保持图象上的纵坐标不变,而横坐标变为 ) .

原来的 2 倍,得到的曲线与 y=sinx 的图象相同,则 y=f(x)的解析式是 y=sin(2x+
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【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由题意函数 y=sinx 的图象,逐步逆推求出函数 y=f(x)的图象对应的解析式即可. 【解答】解:函数 y=sinx 的图象,将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y=sin2x,再把 它的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin(2x+ ) . )的图象.

故答案为:y=sin(2x+

【点评】本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,伸缩变换,注意函数变换的形式,逐步可逆,化简解题过程.

13. (2015?张家港市校级模拟)将函数 y=sin(2x+φ) (0≤φ<π)的图象向左平移 偶函数,则 φ 的值为 .
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个单位后,所得的函数恰好是

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;函数奇偶性的性质. 【专题】计算题.

第 13 页(共 22 页)

【分析】条件:“函数 y=sin(2x+?) (0≤?<π)的图象向左平移 再依据它是偶函数得,2(x+ )+?=

个单位后”可得 y=sin[2(x+

)+?](0≤?<π) ,

,从而求出 ? 的值. 个单位后可得 y=sin[2(x+ )+?](0≤?<π) ,

【解答】解:∵函数 y=sin(2x+?) (0≤?<π)的图象向左平移 又∵它是偶函数得, ∴2(x+ ∴? 的值 故填 . )+?= . ,∵0≤?<π,

【点评】本题主要考查三角函数的平移以及三角函数的性质,解决此问题时要注意数形结合思想的运用.

14. (2015?江苏三模)在平面直角坐标系 xOy 中,若函数 y=3sin(2x+ 位后,所得函数图象关于原点成中心对称,则 φ 的值为
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)的图象向左平移 φ(0<φ<

)个单



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得所得函数图象对应的函数解析式;再利用正弦函 数的图象的对称性求得 2φ+ =kπ,k∈z,由此求得 φ 的值. )的图象向左平移 φ(0<φ< )个单位后,所得函数图象对应的函数解析式为

【解答】解:函数 y=3sin(2x+ y=3sin(2x+2φ+ ) ,

由于所得函数图象关于原点成中心对称,∴2φ+ ∴φ= , .

=kπ,k∈z,则 φ=



,k∈z.

故答案为:

【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于基础题. 15. (2015?徐汇区一模)已知函数 ,将 y=f(x)的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位 .

后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)的图象上最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,则 φ 的值为 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质.
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【分析】由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律可得 g(x)=2sin(2x+2φ+ 由条件求得 x0=0,可得 g(0)=2,即 2sin(2φ+ )=2,从而求得 φ 的值.

) ,设 g(x)的对称轴 x=x0,

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【解答】解:把函数 (x+φ)+ ]=2sin(2x+2φ+ )的图象,

的图象向左平移 φ(0<φ<π)个单位后得到函数 y=g(x)=2sin[2

再根据 y=g(x)的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1, 设 g(x)的对称轴 x=x0,则最高点的坐标为(x0,2) ,它与点(0,3)的距离的最小值为 1,即 x0=0, 可得 g(0)=2,即 2sin(2φ+ 故答案为: . )=2,∴φ= , =1,求得

【点评】本题主要考查向量的数量积的坐标运算,三角恒等变换,图象的平移变换,三角函数的单调性及相关的运 算问题,属于中档题.

16. (2013 秋?潍坊期末)已知
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,则

=



【考点】已知三角函数模型的应用问题. 【专题】计算题;三角函数的求值. 【分析】利用同角三角函数关系,结合诱导公式,可得结论. 【解答】解:∵ ∴cosα= ∴ 故答案为: . =﹣ =﹣cosα= , , ,

【点评】本题考查同角三角函数关系,考查诱导公式,属于基础题.

17. (2013?福建)已知函数 f(x)=

,则 f(f(

) )= ﹣2 .

【考点】三角函数的化简求值. 【专题】三角函数的求值. 【分析】利用分段函数求出 f(

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)的值,然后求解

即可.

【解答】解:因为



所以 f( 所以

)=

=﹣1, =f(﹣1)=2(﹣1) =﹣2.
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3

故答案为:﹣2. 【点评】本题考查函数值的求法,分段函数的应用,考查计算能力. 18. (2015?湖南)已知 ω>0,在函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为 2 则 ω= .
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【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象. 【专题】开放型;三角函数的图像与性质. 【分析】根据正弦线,余弦线得出交点(

(k1



) , (

(k2



) ,k1,k2 都为整数,

两个交点在同一个周期内,距离最近,即可得出方程求解即可. 【解答】解:∵函数 y=2sinωx 与 y=2cosωx 的图象的交点, ∴根据三角函数线可得出交点( ∵距离最短的两个交点的距离为 2 ∴这两个交点在同一个周期内, ∴12= ( ) +(
2

(k1 ,



) , (

(k2



) ,k1,k2 都为整数,

) ,ω=

2

故答案为: 【点评】本题考查了三角函数的图象和性质,三角函数线的运用,属于中档题,计算较麻烦.

19. (2010?江苏)定义在区间

上的函数 y=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P,过点 P 作 PP1⊥x .

轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 【考点】余弦函数的图象;正切函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质.
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【分析】先将求 P1P2 的长转化为求 sinx 的值,再由 x 满足 6cosx=5tanx 可求出 sinx 的值,从而得到答案. 【解答】解:线段 P1P2 的长即为 sinx 的值, 且其中的 x 满足 6cosx=5tanx,即 6cosx= 故答案为 . ,化为 6sin x+5sinx﹣6=0,解得 sinx= .线段 P1P2 的长为
2

【点评】考查三角函数的图象、数形结合思想. 20. (2011?江苏)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) , (A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 f(0)= .

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质.

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【分析】根据已知的函数图象,我们根据函数图象过(

,0) , (

,﹣

)点,我们易结合 A>0,w>0 求出

满足条件的 A、ω、φ 的值,进而求出满足条件的函数 f(x)的解析式,将 x=0 代入即可得到 f(0)的值. 【解答】解:由的图象可得函数的周期 T 满足 = 解得 T=π= 又∵ω>0,故 ω=2
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又∵函数图象的最低点为( 故 A= 且 即 故 φ= ∴f(x)= ∴f(0)= 故答案为: sin(2x+ sin = ) sin(2× +φ= +φ)=﹣

,﹣



【点评】本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中利用已知函数的图象求出满足条件的 A、ω、 φ 的值,是解答本题的关键. 三.解答题(共 5 小题) 21. (2014?北京)函数 f(x)=3sin(2x+ )的部分图象如图所示.

(Ⅰ)写出 f(x)的最小正周期及图中 x0,y0 的值; (Ⅱ)求 f(x)在区间[﹣ ,﹣ ]上的最大值和最小值.

【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域. 【专题】三角函数的图像与性质.

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【分析】 (Ⅰ)由题目所给的解析式和图象可得所求; (Ⅱ)由 x∈[﹣ 函数的性质可得最值. 【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=3sin(2x+ ∴f(x)的最小正周期 T= =π, ; ) ,

,﹣

]可得 2x+

∈[﹣

,0],由三角

可知 y0 为函数的最大值 3,x0= (Ⅱ)∵x∈[﹣ ,﹣ ],

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∴2x+ ∴当 2x+ 当 2x+

∈[﹣

,0], 时,f(x)取最大值 0, 时,f(x)取最小值﹣3

=0,即 x= = ,即 x=﹣

【点评】本题考查三角函数的图象和性质,属基础题. 22. (2013?上海)已知函数 f(x)=2sin(ωx) ,其中常数 ω>0 (1)若 y=f(x)在[﹣ , ]上单调递增,求 ω 的取值范围; 个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,区间

(2)令 ω=2,将函数 y=f(x)的图象向左平移

[a,b](a,b∈R,且 a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有 30 个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求 b ﹣a 的最小值. 【考点】正弦函数的单调性;根的存在性及根的个数判断;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质.
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【分析】 (1)已知函数 y=f(x)在 且 ,解出即可;

上单调递增,且 ω>0,利用正弦函数的单调性可得



(2)利用变换法则“左加右减,上加下减”即可得到 g(x)=2

.令 g(x)=0,即可解出零点的
*

坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若 b﹣a 最小,则 a 和 b 都是零点,此时在区间[a,mπ+a](m∈N )恰有 2m+1 个零点,所以在区间[a,14π+a]是恰有 29 个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点,即可得到 a,b 满足的 条件.进一步即可得出 b﹣a 的最小值. 【解答】解: (1)∵函数 y=f(x)在 ∴ 解得 ,且 . 个单位,再向上平移 1 个单位,得到 , , 上单调递增,且 ω>0,

(2)f(x)=2sin2x,∴把 y=f(x)的图象向左平移 ∴函数 y=g(x)= 令 g(x)=0,得 ,或 x= 或 . ,

(k∈Z) .

∴相邻两个零点之间的距离为

若 b﹣a 最小,则 a 和 b 都是零点,此时在区间[a,π+a],[a,2π+a],…,[a,mπ+a](m∈N )分别恰有 3,5,…, 2m+1 个零点, 所以在区间[a,14π+a]是恰有 29 个零点,从而在区间(14π+a,b]至少有一个零点, ∴ .

*

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另一方面,在区间 因此 b﹣a 的最小值为 .

恰有 30 个零点,

【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能,考查了分析问题和解决 问题的能力、推理能力和计算能力.

23. (2015?湖北)某同学用“五点法”画函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (ω>0,|φ|< 表并填入了部分数据,如表: ωx+φ 0 x

)在某一个周期内的图象时,列

π



0 5 0 Asin(ωx+φ) ﹣5 (1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平行移动 θ(θ>0)个单位长度,得到 y=g(x)的图象.若 y=g(x)图象的一 个对称中心为( ,0) ,求 θ 的最小值.
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【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=﹣ ﹣ ) .

.从而可补全数据,解得函数表达式为 f(x)=5sin(2x

(2)由(Ⅰ)及函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律得 g(x)=5sin(2x+2θ﹣ x= ,k∈Z.令 = ,解得 θ=

) .令 2x+2θ﹣

=kπ,解得

,k∈Z.由 θ>0 可得解. .数据补全如下表:

【解答】解: (1)根据表中已知数据,解得 A=5,ω=2,φ=﹣ ωx+φ x Asin(ωx+φ)0 5 0 ﹣5 0 ) . 0 π 2π

且函数表达式为 f(x)=5sin(2x﹣ (2)由(Ⅰ)知 f(x)=5sin(2x﹣

) ,得 g(x)=5sin(2x+2θ﹣

) .

因为 y=sinx 的对称中心为(kπ,0) ,k∈Z. 令 2x+2θ﹣ =kπ,解得 x= ,k∈Z. ,0)成中心对称,令
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由于函数 y=g(x)的图象关于点(

=



解得 θ=

,k∈Z.由 θ>0 可知,当 K=1 时,θ 取得最小值



【点评】本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律的应 用,属于基本知识的考查. 24. (2009?陕西)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ,x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< 个最低点为 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 ,求 f(x)的最值.
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)的周期为 π,且图象上一



【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题. 【分析】 (Ⅰ)由最低点求出 A,利用周期求出 ω,图象上一个最低点为 然后求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 , ,然后求出求 f(x)的最值. 由 即

.代入函数解析式求出 φ,

【解答】解: (Ⅰ)由最低点为 由点 所以 又 (Ⅱ)因为 所以当 当 在图象上得 故 ,所以 ,可得 所以

时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; ,即 时,f(x)取得最大值 ;

【点评】本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查计算能力, 是基础题. 25. (2015?张家港市校级模拟)如图,在 C 城周边已有两条公路 l1,l2 在点 O 处交汇,且它们的夹角为 75°.已知 OC=( + ) km,OC 与公路 l1 的夹角为 45°.现规划在公路 l1,l2 上分别选择 A,B 两处为交汇点(异于点 O) 直接修建一条公路通过 C 城.设 OA=x km,OB=y km. (1)求 y 关于 x 的函数解析式,并指出它的定义域; (2)试确定点 A,B 的位置,使△ OAB 的面积最小.

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【考点】在实际问题中建立三角函数模型. 【专题】应用题;三角函数的图像与性质.

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【分析】 (1)由△ AOC 的面积与△ BOC 的面积之和等于△ AOB 的面积可得 x( sin30°= xysin75°,从而求得 y= (2)△ AOB 的面积 S= xysin75°= (x>2) . ?( (x﹣2)+

+

)sin45°+ y(

+



+4) ;利用基本不等式求最值.

【解答】解: (1)因为△ AOC 的面积与△ BOC 的面积之和等于△ AOB 的面积, 所以 x( 即 x( + + )sin45°+ y( )+ y( (x>2) . + + )= )sin30°= xysin75°, xy,

所以 y=

(2)△ AOB 的面积 S= xysin75° = ?x? = = ≥ ? ?( (x﹣2)+ ×8=4( +1) , ,即 x=4 时取等号, =4 .
2

?sin75°

+4)

当且仅当 x﹣2= 此时 y=

故当 OA=4km,OB=4 km 时,△ OAB 的面积最小,最小值为 4( +1)km . 【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用,同时考查了基本不等式,属于中档题.

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