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重庆市第一中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题.docx


2015 年重庆一中高 2018 级高一上期半期考试 数学试题卷 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1、已知集合 M ? x 1 ? x ? 5, x ? N , S ? ?1,2,3? ,那么 M ? S =( A、 ?1,2,3,4? B、 ?1,2,3,4,5? ) D、-3 C、 ?2,3?

?

?

>)

D、 ?2,3,4?

2、式子 log3 2log2 27 的值为( A、2 B、3 C、

1 3


3、下列函数为奇函数的是( A、 1 ? x ? 1 ? x

3 B、 x ? 1

C、 1 ? x ? 1 ? x )条件

D、 ?

1 x2

4、已知 p : lg ? x ? 3? ? 0 , q : A、充分不必要

x?2 ? 0 ,那么 p 是 q 的( x?4
C、必要不充分

B、充要

D、既不充分也不必要 )

5、已知幂函数 y ? a 2 ? 2a ? 2 x a 在实数集 R 上单调,那么实数 a =( A、一切实数 B、3 或-1 C、-1 D、3

?

?

6、 (原创) 定义在实数集 R 上的函数 y ? f ( x) 满足

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 若 f5 ) ( ? 1? , ? 0( x1 ? x2 ) , x1 ? x2

f (7) ? 0 ,那么 f (?3) 的值可以为(
A、5 B、-5 C、0

) D、-1 )

7、对于任意的 a ? 1, b ? 1 ,以下不等式一定不成立的是(

A、 loga b ? 0

b B、 a ? 1

? 1 ?b C、 ? ? ? 1 ?a?

1

D、 log a b ? logb a ? 2 )

8、以下关于函数 f ( x) ?

2x ?1 ( x ? 3) 的叙述正确的是( x ?3

A、函数 f ( x ) 在定义域内有最值 B、函数 f ( x ) 在定义域内单调递增 C、函数 f ( x ) 的图象关于点 ? 3,1? 对称 D、函数 y ?

5 的图象朝右平移 3 个单位再朝上平移 2 个单位即得函数 f ( x ) x

9、 (原创)函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? f (2 ? x), x ? R ,且当 x ? 1 时, f ( x) ? x3 ? x2 ? 4 x ? 4 , 则方程 f ( x) ? 0 的所有实数根之和为( A、2 B、3 C、4 ) D、1
2

10、 已知关于 x 的方程 x 2 ? 2ax ? 2a 2 ? 3a ? 2 ? 0 有两个不等的实数根 x1 , x2 , 那么 ? x1 ? x2 ? 的取值范围是( A、 ? 0, ?? ? ) B、 ?0,1? C、 ? 0,1? D、 ? 0,1?

11、 (原创)已知函数 f ( x) ? log 2 ? 3x ? 值范围是( A、 ? ?1,3? ) B、 ? ?1,3?
2

? ?

a ? ? 2 ? 在区间 ?1, ?? ? 上单调递增,那么实数 a 的取 x ?

C、 ? 0,3?

D、 ? 0,3?

12、对于任意 x ? R ,函数 f ( x) ? x ? 2x ? x ?1 ? a ? x ? 2 ? 4 的值非负,则实数 a 的最小 值为( A、 ? ) B、-5 C、-3 D、-2

11 8

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、将函数 f ( x) ? log2 ? 3x ? 2? ?1 的图象向上平移 1 个单位,再向右平移 2 个单位后得到函 数 g ( x) ,那么 g ( x) 的表达式为__________. 14、 (原创)已知 ?1,5? ? x ? R x ? 6 x ? a ? 2 ,那么实数 a 的最小值为_________.
2

?

?

15、函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 是实数集 R 上的偶函数,并且 f ( x) ? 0 的解为 ? ?2, 2? ,
3 2



d 的值为__________. b

2 x 16 、 ( 原 创 ) 函 数 f ( x) ? 2 , g ( x) ? x ? 2kx ?

5 , 若 对 于 任 意 的 s ?? ?1, 2 ? ,都存在 2

t ??k,2k ?1? ,使得 f (s) ? g (t ) 成立,则实数 k 的取值范围是__________.

三、解答题(共计 70 分) 17、 (12 分) (原创)集合 A ? ? x ? x ?

? ? ? ?

? ? ? 1? 9? ? 2 ? ? x ? 3? ? 0? , B ? ? x ln ? x ? ax ? a ? ? ? 0 ? . 2? 4? ? ? ? ?

(1)若集合 B 只有一个元素,求实数 a 的值; (2)若 B 是 A 的真子集,求实数 a 的取值范围.

2 x ? 2? x ( x ? R) . 18、 (12 分)函数 f ( x) ? x 2 ? 2? x
(1)判断并证明函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)求不等式

3 15 ? f ( x ) ? 的解集. 5 17

19、 (12 分)如图,定义在 ? ?1, 2? 上的函数 f ( x ) 的图象为折 线段 ACB . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; ( 2 )请用数形结合的方法求不等式 f ( x) ? log2 ? x ?1? 的解 集,不需要证明.

20、 (12 分)集合 A ? x 9 ? p ? 3 ? q ? 0, x ? R , B ? x q ? 9 ? p ? 3 ? 1 ? 0, x ? R ,且
x x x x

?

?

?

?

实数 pq ? 0 . (1)证明:若 x0 ? A ,则 ? x0 ? B ; (2)是否存在实数 p , q 满足 A ? B ? ? 且 A ? ?R B ? ?1 ? ?若存在,求出 p , q 的值,不存 在说明理由.

22、 (10 分)已知函数 y ? x ?
3

a ? (a ? 0) 在区间 0, a ? ? 上单调递减,在区间 ? a , ?? 上单调 x
3

?

?

1? ? 1? ? ? ?1 ? ? 递增;函数 h( x) ? ? x2 ? ? ? ? x ? 2 ? ? x ? , 2 ? . ?2 ? ? x? ? x ? ? ? ? ?
2 ( 1 ) 请 写 出 函 数 f ( x) ? x ?

a a (a ? 0) 与 函 数 g ( x) ? x n ? n (a ? 0, n ? N , n ? 3) 在 2 x x

; ? 0, ?? ? 的单调区间(只写结论,不证明) (2)求函数 h( x) 的最值; (3)讨论方程 h2 ( x) ? 3mh( x) ? 2m2 ? 0(0 ? m ? 30) 实根的个数.

2015 年重庆一中高 2018 级高一上期半期考试 数学答案 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1-5 ABCAD 6-10 BCDBC 11-12 BD

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13、 log2 ? 3x ? 4? 三、解答题(70 分) 17、 (12 分) 14、7 15、-4 16、 ? 2, ??

?

?

5? ? ? ? a 2 ? 4 ? a ? ? ? 0 ? ?1 ? a ? 5 ; 4? ?

当 B ? ? 时,根据(1)将 a ? 5, ?1分别代入集合 B 检验,当 a ? 5 , B ? ?? ? ,

? 5? ? 2?

不满足条件,舍去;当 a ? ?1 , B ? ? ? ,满足条件; 综上,实数 a 的取值范围是 ? ?1,5? .

?1 ? ?2?

18、 (12 分) 解: (1)函数 f ( x ) 是定义域 R 上的奇函数,证明如下: 任取 x ? R , f ( x) ? 的奇函数;又 f (1) ?

2 x ? 2? x 2? x ? 2 x 2 x ? 2? x f ( ? x ) ? ? ? ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是 R 上 , 2 x ? 2? x 2? x ? 2 x 2 x ? 2? x
3 3 ? f (?1) ? ? ,所以 f ( x) 不是偶函数. 5 5

2 x ? 2? x 2 x ? 2? x ? 2 ? 2? x 2 ? ? 1? x (2) f ( x) ? x ,易得 f ( x ) 在 R 上单调递增, ?x x ?x 2 ?2 2 ?2 4 ?1
又 f (1) ?

3 15 3 15 , f (2) ? ,所以不等式 ? f ( x ) ? 的解集为 ?1, 2? . 5 17 5 17

19、 (12 分) 解: (1)根据图像可知点 A? ?1,0? , B ? 0,2? , C ? 2,0? ,所以 f ( x) ? ?

?2 x ? 2,(?1 ? x ? 0) . ?? x ? 2,(0 ? x ? 2)

( 2 )根据( 1 )可得函数 f ( x ) 的图象经过点 ?1,1? ,而函数 log2 ? x ?1? 也过点 ?1,1? . 函数

log2 ? x ? 1? 的图象可以由 log2 x 左移 1 个单位而来,如图所示,所以根据图象可得不等式 f ( x) ? log2 ? x ?1? 的解集是 ? ?1,1? .

20、 (12 分) 证明: (1)若 x0 ? A ,则 9 0 ? p ? 3 0 ? q ? 0 ,可得 1 ? p ? 3
x x ? x0

? q ? 9? x0 ? 0 ,即 ? x0 是方程

q ? 9x ? p ? 3x ? 1 ? 0 的实数根,即 ? x0 ? B .
(2)假设存在,则根据 A ? B ? ? , A ? ?R B ? ?1 ? ,易知集合 A 、 B 有且只有一个公共元 素,设 A ? B ? ? s? ,根据条件以及( 1 )有 A ? ?1, s? , B ? ??1, ?s? ,显然 s ? ?1 ,则有

s ? ? s ? s ? 0 ,那么 A ? ?0,1? , B ? ?0, ?1? ,代入方程有 p ? q ? 1 ? 0 , 3 p ? q ? 9 ? 0 ,
联立解得 ?

? p ? ?4 ? p ? ?4 ,所以存在 ? 满足 A ? B ? ? 且 A ? ?R B ? ?1 ?. ?q ? 3 ?q ? 3

21、 (12 分)

? a ?1? , a ?1 ? ? 解: (1) f ( x) ? ? log3 x ? ? ? a ? 1? log3 x ? 3a ? 2 ? ? log3 x ? ? ? 3a ? 2 ? 2 ? 4 ?
2 2 2

a ?1 ? ? ? x ? ? 0, ?? ? ,? log3 x ? R,?? log3 x ? ? ? ?0, ?? ? , 2 ? ?
2 ? ? a ? 1? ? , ?? ? ,根据条件 f ( x) 的值域为 ? 2, ?? ? , ? f ( x) 的值域为 ?3a ? 2 ? ? 4 ? ? ?

2

? a ?1? ? 3a ? 2 ?
4

2

? 2,? a ? 7 ? 4 2 .
2

( 2 ) f (3 x) ? log 3 (9 x) ? ? log 3 x ? 1? ? ? a ? 1?? log 3 x ? 1? ? 3a ? 2 ? log 3 x ? 2 , 整 理 得

f ( 3x ) ? lo x 9??) 3g (

3

lo x? g?

2

? ? 1 a ??

3

2 x lo ?g a ,

4

令 log3 x ? t ,当 x ??3,9? 时, t ??1, 2? , 那 么 f ( 3x )? l o3g (x 9? ) 对 0于 任 意 x ??3,9? 恒 成 立 ? t ? (a ? 2)t ? 4a ? 0 对 于 任 意
2

t ??1, 2? 恒成立,根据实根分布 t 2 ? (a ? 2)t ? 4a ? 0 的二实根,一根小于等于 1,一根大于
等于 2,

?1 ? (a ? 2) ? 4a ? 0 4 ?a?? . ? 3 ?4 ? 2(a ? 2) ? 4a ? 0

22、 (10 分) 解: (1)根据条件

a (a ? 0) 的单调递减区间是 0, 4 a ? ,单调递增区间是 ? 4 a , ?? ; 2 ? ? x a n 函数 g ( x) ? x ? n 的单调递减区间是 0, 2 n a ? ,单调递增区间是 ? 2 n a , ?? . ? ? x f ( x) ? x 2 ?

?

?

?

?

(2) h( x) ? ? x 2 ?

? ?

1? ? 1? ? 6 1? ? 3 1? ? ? ? x ? 2 ? ? ? x ? 6 ? ? 4? x ? 3 ? ? 6 , x? ? x ? ? x ? ? x ?

3

3

6 由 (1) 可知,x ?

1 1? ? ?1 ? 与 4 ? x3 ? 3 ? 均在 ? ,1? 单调递减, 在 ?1, 2? 上单调递增, 则有函数 h( x) 6 x x ? ? ?2 ?

在 ? ,1? 单调递减,在 ?1, 2? 上单调递增,所以 hmin ? h(1) ? 16 ,

?1 ? ?2 ?

1 ? 9 ? ? 9 ? 6561 . hmax ? h( ) ? h(2) ? ? ? ? ? ? ? 2 64 ?2? ? 4?
( 3 ) 由 h ( x) ? 3mh( x) ? 2m ? 0 可 得 ? h( x)? m , 所 以 有 h( x ) ? m 或 ?? h( x)? 2 m ??0
2 2

3

3

?1 ? h( x) ? 2m , 又 函 数 h( x) 在 ? ,1? 单 调 递 减 , 在 ?1 , ? 2单 调 递 增 , 而 ?2 ?
h( 1?) 1 6 5 6 1 0 ? 2m ? 16 ? 0 ? m ? 8 时,方程无实数根; 1h 6 , ? ( h ) ? ( ,所以当 2 ) 2 6 4

当 2m ? 16 ? m ? 8 时,有一个实数根; 当 0 ? m ? 16 ,且 60 ? 2m ? 16 即 8 ? m ? 16 ,方程有两个实数根; 当 m ? 16, 2m ? 32 ,方程有三个实数根; 当 16 ? m ? 30, 2m ? 60 ?

6561 时,方程有四个实数根. 64

综上,①当 0 ? m ? 8 时,方程实根个数为 0; ②当 m ? 8 时,方程实根个数为 1; ③当 8 ? m ? 16 时,方程实根个数为 2; ④当 m ? 16, 2m ? 32 时,方程实根个数为 3;

⑤当 16 ? m ? 30 时,方程实根个数为 4.


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