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人教B版必修2 第一章 立体几何初步


§ 1.1 空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素 一、基础过关 1. 关于平面,下列说法正确的是 A.平面是有边界线的 B.平面是有厚薄的 C.平面 ABCD 是指平行四边形 ABCD 的四条边围成的部分 D.圆和平面多边形都可以表示平面 2. 下列说法正确的是 A.生活中的几何体都是由平面组成的 B.曲面都是有一定大小的 C.直线是由无限个点组成的,而线段是由有限个

点组成的 D.直线平移时不改变方向一定不可能形成曲面 3. 如图所示,平行四边形 ABCD 所在的平面,下列表示方法中不正确的 是 ( ) ( ) ( )

①平面 ABCD;②平面 BD;③平面 AD;④平面 ABC;⑤AC;⑥平面 α. A.④⑤ C.②③④⑤ 4. 下列说法中正确的是 A.直线的移动只能形成平面 B.矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 C.直线绕其相交但不垂直的直线旋转形成锥面 D.曲线的移动一定形成曲面 5. 在如图所示的长方体 ABCD-A′B′C′D′中,互相平行的平面共 有______对,与 A′A 垂直的平面是_________________________. 6. 三个平面将空间最少分成 m 部分,最多分成 n 部分,则 m+n= ________. 7. 想想看,如何检验一个物体的表面不是平面? 8. 如图,画出图(1)(2)中 L 围绕直线 l 旋转一周形成的空间几何体. B.③④⑤ D.③⑤ ( )

二、能力提升 9. 如图,模块①-⑤均由 4 个棱长为 1 的小正方体构成,模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块①-⑤中选出 三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体,则下列选择方案中,能够完成任务的为 ( )

1

A.模块①,②,⑤ C.模块②,④,⑤

B.模块①,③,⑤ D.模块③,④,⑤

10.小明设计了某个产品的包装盒,他少设计了其中一部分,请你把它补上,使其成为两边均有盖的正方体盒子(如图所示).

(1)你有________种补充的办法. (2)任意画出一种正确的设计图. 11.如图,画出(1)(2)(3)中线段 L 绕着直线 l 旋转一周形成的空间几何体.

三、探究与拓展 12.空间三个平面能把空间分成的部分如何?

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征(一) 一、基础过关 1. 下列命题中正确的一个是 A.四棱柱是平行六面体 B.直平行六面体是长方体 C.底面是矩形的四棱柱是长方体 D.六个面都是矩形的六面体是长方体 2. 下面关于长方体的判定正确的是 A.直四棱柱是长方体 B.过两条不相邻的侧棱的面是全等的矩形的四棱柱是长方体 C.侧面是矩形的直四棱柱是长方体 D.底面是矩形的直四棱柱是长方体 3. 一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是 ①三角形,②菱形,③矩形,④正方形,⑤正六边形, 其中正确的是 A.①②③④⑤ C.②③④⑤ B.②③④ D.③④ ( ) ( ) ( ) ( )

4. 下面没有多面体的对角线的一种几何体是 A.三棱柱 C.五棱柱 B.四棱柱 D.六棱柱

5. 长方体 ABCD—A1B1C1D1 的一条对角线 AC1=8 2,∠C1AA1=45° ,∠C1AB=60° ,则 AD=________. 2

6. M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这些集合之间的关系为__________. 7. 正三棱柱 ABC—A′B′C′的底面边长是 4 cm,过 BC 的一个平面交侧棱 AA′于 D,若 AD 的长是 2 cm,试求截面 BCD 的面积. 8. 如图,已知正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 1,高为 8,一质点自 A 点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为多少? 二、能力提升 9. 一个长方体,共一顶点的三个面的面积分别为 2, 3, 6,则这个长方 体对角线的长是 A.2 3 B.3 2 C.6 D. 6 ( ) ( )

10.下列说法正确的是 A.棱柱的侧面都是矩形 B.棱柱的侧棱不全相等 C.棱柱是有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体 D.棱柱的几何体中至少有两个面平行 11.如图在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=BC= 2,BB1=2,∠ABC 90° ,E,F 分别为 AA1,C1B1 的中点,沿棱柱的表面从 E 到 F 两点 最短路径的长度为________. 12.如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=3,AA1=4,M 为 AA1 的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到 M 的最短 路线长为 29,设这条最短路线与 CC1 的交点为 N,求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 和 NC 的长. 三、探究与拓展 13.如图所示,在长方体 A1B1C1D1—ABCD 中,已知 AB=5,BC=4,BB1 =3,从 A 点出发,沿着表面运动到 C1,求最短路线长是多少?

= 的

3

1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征(二) 一、基础过关 1. 下列说法中,正确的是 ( )

A.有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥 B.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形 2. 若棱台上、下底面的对应边之比为 1∶2,则上、下底面的面积之比是 A.1∶2 C.2∶1 B.1∶4 D.4∶1 ( ) ( )

3. 如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥不可能是 A.三棱锥 C.五棱锥 B.四棱锥 D.六棱锥

4. 正四棱锥 S—ABCD 的所有棱长都等于 a,过不相邻的两条侧棱作截面 SAC,则截面面积为 ( 3 A. a2 2 B.a2 1 C. a2 2 1 D. a2 3 )

5. 在下面 4 个平面图形中,哪几个是各侧棱都相等的四面体的展开图?其序号是________.(把你认为正确的序号都填上)

6. 正三棱台的上、下底面边长及棱台的高分别为 1,2,2,则它的斜高是________. 7. 如图所示的是一个三棱台 ABC—A1B1C1,如何用两个平面把这个三 棱台分成三部分,使每一部分都是一个三棱锥. 8. 如图所示,侧棱长为 2 3的正三棱锥 V—ABC 中,∠AVB=∠BVC =∠CVA=40° ,过 A 作截面 AEF,求截面△AEF 周长的最小值. 二、能力提升 9. 正四棱锥的侧棱长是底面边长的 k 倍,则 k 的取值范围是 ( A.(0,+∞) C.( 2,+∞) 1 B.?2,+∞? ? ? D. )

? 2,+∞? ?2 ?

10.有一个正三棱锥和一个正四棱锥,它们所有的棱长都相等,把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上,则 所得到的这个组合体是 A.底面为平行四边形的四棱柱 B.五棱锥 C.无平行平面的六面体 D.斜三棱柱 4 ( )

11. 在正方体上任意选择 4 个顶点, 它们可能是如下各种几何体的 4 个顶点, 这些几何体是________(写出所有正确结论的编号). ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体; ④每个面都是等边三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 12.如图,已知正三棱锥 S—ABC 的高 SO=h,斜高 SM=l,求经过 SO 的中点且平行于底面的截面△A′B′C′的面积. 三、探究与拓展 13.一棱锥的底面积为 S2,用一个平行于底面的平面去截棱锥,其截面 面积为 S1,现用一个平行于底面的平面将截面和底面间的高分成两部分,且上、下两 部分之比为 γ,求截面面积.

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球 一、基础过关 1. 下列说法正确的是 A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B.夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线 2. 下列说法正确的是 A.直线绕定直线旋转形成柱面 B.半圆绕定直线旋转形成球体 C.有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的 3. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体,现用一个竖直 的平面去截这个组合体,则截面图形可能是( ) ( ) ( )

A.(1)(2) C.(1)(4)

B.(1)(3) D.(1)(5) ( )

4. 观察如图所示的四个几何体,其中判断正确的是

5

A.a 是棱台 C.c 是棱锥

B.b 是圆台 D.d 不是棱柱

5. 将等边三角形绕它的一条中线旋转 180° ,形成的几何体是________. 6. 请描述下列几何体的结构特征,并说出它的名称. (1)由 7 个面围成,其中两个面是互相平行且全等的五边形,其它面都是全等的矩形; (2)如下图,一个圆环面绕着过圆心的直线 l 旋转 180° .

7. 如图所示,梯形 ABCD 中,AD∥BC,且 AD<BC,当梯形 ABCD 绕 AD 所在 直线旋转一周时,其他各边旋转围成了一个几何体,试描述该几何体的结构 特征. 二、能力提升 8. 下列说法正确的个数是 ( )

①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱;②过圆锥侧面上一点有无数条母线;③圆锥的母线互相平行. A.0 B.1 C.2 D.3 )

9. 一个正方体内有一个内切球,作正方体的对角面,所得截面图形是下图中的 (

10.已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 所得的截面面积为________. 11.以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些? 三、探究与拓展 12.如图所示,圆台母线 AB 长为 20 cm,上、下底面半径分别为 5 cm 和 10 cm, 从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 B 点,求这条绳长的最小 值.

1.1.4 投影与直观图 一、基础过关 1. 下列结论: 6

①角的水平放置的直观图一定是角; ②相等的角在直观图中仍然相等; ③相等的线段在直观图中仍然相等; ④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行. 其中正确的有 A.①② C.③④ B.①④ D.①③④ ( )

2. 在用斜二测画法画水平放置的△ABC 时,若∠A 的两边分别平行于 x 轴、y 轴,则在直观图中∠A′等于 ( A.45° C.90° B.135° D.45° 135° 或 ) )

3. 下面每个选项的 2 个边长为 1 的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是 (

4. 如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的

(

)

5. 利用斜二测画法得到: ①三角形的直观图是三角形; ②平行四边形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是正方形; ④菱形的直观图是菱形. 以上结论中,正确的是______________.(填序号) 6. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知 A′C′=3, B′C′=2,则 AB 边上的中线的实际长度为____________. 7.如图是一梯形 OABC 的直观图,其直观图面积为 S.求梯形 OABC 的 面积.

8. 试画出底面边长为 1.2 cm,高为 1.5 cm 的正四棱锥的直观图. 二、能力提升

7

9. 如图,正方形 O′A′B′C′的边长为 1 cm,它是水平放置的一个 平面图形的直观图,则原图的周长是 A.8 cm C.2(1+ 3) cm B.6 cm D.2(1+ 2) cm ( )

10.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45° ,腰和上底长均为 1 的等腰梯形,则该平面图形的面积等于 ( 1 2 A. + 2 2 C.1+ 2 B.1+ 2 2 )

D.2+ 2

11.如图所示,为一个水平放置的正方形 ABCO,它在直角坐标系 xOy 中,点 B 的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方 形的直观图中,顶点 B′到 x′轴的距离为________.

12.如图所示,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30° ,AD=3 cm,试画出它的直观图.

三、探究与拓展 13.在水平放置的平面 α 内有一个边长为 1 的正方形 A′B′C′D′, 如图,其中的对角线 A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四 边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求 出其面积.

1.1.5 三视图 一、基础过关 1. 下列命题正确的是 A.矩形的平行投影一定是矩形 B.梯形的平行投影一定是梯形 C.两条相交直线的投影可能平行 D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点 2. 如图所示的一个几何体,哪一个是该几何体的俯视图 ( ) ( )

8

3. 如图所示,下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是

(

)

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

4. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的主视图与左视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为 ( )

5. 根据如图所示俯视图,找出对应的物体.

(1)对应________;(2)对应________; (3)对应________;(4)对应________; (5)对应________. 6. 若一个三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是______和________.

7. 如图是截去一角的长方体,画出它的三视图.

8. 画出如图所示的四棱锥和三棱柱的三视图. 9

二、能力提升 9. 一个长方体去掉一角的直观图如图所示,关于它的三视图,下列画法正 确的是 ( )

10.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 A.球 C.正方体 B.三棱锥 D.圆柱

(

)

11.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体,该几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体需要的小正方体的块数是 ________.

12.如图,螺栓是棱柱和圆柱的组合体,画出它的三视图.

三、探究与拓展 13.用小立方体搭成一个几何体,使它的主视图和俯视图如图所示,搭建这样的几何体,最多要几个小立方体?最少要几个小 立方体?

10

1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 一、基础过关 1. 一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是 ( )

A.(80+16 2)cm2 C.(96+16 2)cm2

B.84 cm2 D.96 cm2

2. 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3,4,5,且它的 8 个顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积 ( A.25π C.125π B.50π D.以上都不对 ( ) )

3. 若一个圆台的主视图如图所示,则其侧面积等于

A.6 C.3 5π

B.6π D.6 5π ( )

4. 三视图如图所示的几何体的全面积是

A.7+ 2 C.7+ 3

11 B. + 2 2 3 D. 2

5. 如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________. 6. 一简单组合体的三视图及尺寸如下图所示(单位:cm),则该组合体的表面积为________cm2.

7. 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶点,求这三个球 的表面积之比. 11

二、能力提升 8. 已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为 B,由这个扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积为 A,则 A∶B 等于 ( A.11∶8 B.3∶8 C.8∶3 ) D.13∶8 ( )

9. 一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积为

A.372

B.360

C.292

D.280

10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

11.有一根长为 3π cm,底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一 母线的两端,求铁丝的最短长度. 三、探究与拓展 12.有一塔形几何体由 3 个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下 底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 2,求该 塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积).

12

1.1.7 柱、锥、台和球的体积 一、基础过关 1 1. 一个三棱锥的高和底面边长都缩小为原来的 时,它的体积是原来的 2 1 A. 2 1 C. 8 1 B. 4 D. 2 4 ( ) ( )

2. 两个球的半径之比为 1∶3,那么两个球的表面积之比为 A.1∶9 C.1∶3 B.1∶27 D.1∶1

3. 已知直角三角形的两直角边长为 a、b,分别以这两条直角边所在直线为轴,旋转所形成的几何体的体积之比为 ( A.a∶b C.a2∶b2 B.b∶a D.b2∶a2 ( ) )

4. 若球的体积与表面积相等,则球的半径是 A.1 B.2 C.3 D.4

5. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切,若这个球的体积是 ( A.96 3 C.24 3 B.16 3 D.48 3 )

32π ,则这个三棱柱的体积是 3

6. 将一钢球放入底面半径为 3 cm 的圆柱形玻璃容器中,水面升高 4 cm,则钢球的半径是________ cm. 7. (1)表面积相等的正方体和球中,体积较大的几何体是______; (2)体积相等的正方体和球中,表面积较小的几何体是______. 8. 如图所示,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中 点,平面 EB1C1F 将三棱柱分成体积为 V1、V2 (V1>V2)的两部分,求 V1∶V2. 二、能力提升 9. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位:cm),则该几何体的表 面积和体积分别为 ( )

A.24π cm2,12π cm3 C.24π cm2,36π cm3

B.15π cm2,12π cm3 D.以上都不正确 ( )

10.圆柱的底面半径为 1,母线长为 2,则它的体积和表面积分别为 13

A.2π,6π C.4π,6π

B.3π,5π D.2π,4π

11.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为________ m3.

12.有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为 r 的铁球,并注入水,使水面与球正好相切, 然后将球取出,求这时容器中水的深度. 三、探究与拓展 13.阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个发现是:图 中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成 2 的几何体称为圆柱容球.在圆柱容球中,球的体积是圆柱体积的 ,球 3 2 的表面积也是圆柱全面积的 .请你试着证明. 3

14

§ 1.2 点、线、面之间的位置关系

1.2.1 平面的基本性质与推论 一、基础过关 1. 下列图形中,不一定是平面图形的是 A.三角形 C.梯形 B.菱形 D.四边相等的四边形 ( ) ( )

2. 空间中,可以确定一个平面的条件是 A.两条直线 C.一个三角形 B.一点和一条直线 D.三个点

3. 已知平面 α 与平面 β、γ 都相交,则这三个平面可能的交线有 A.1 条或 2 条 C.1 条或 3 条 B.2 条或 3 条 D.1 条或 2 条或 3 条

(

)

4. 给出以下命题:①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内;②三条两两相交的直线在同一平面内;③有三个不同公共 点的两个平面重合;④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是________. 5. 已知 α∩β=m,a?α,b?β,a∩b=A,则直线 m 与 A 的位置关系用集合符号表示为________. 6. 如图,梯形 ABDC 中,AB∥CD,AB>CD,S 是直角梯形 ABDC 所在平 面外一点,画出平面 SBD 和平面 SAC 的交线,并说明理由. 7. 空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此 三条直线必相交于一点. 二、能力提升 8. 空间不共线的四点,可以确定平面的个数是 A.0 C.1 或 4 B.1 D.无法确定 ( ) ( )

9. 已知 α、β 为平面,A、B、M、N 为点,a 为直线,下列推理错误的是 A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN C.A∈α,A∈β?α∩β=A D.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且 A、B、M 不共线?α、β 重合 10.下列四个命题: ①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点; ②经过空间任意三点有且只有一个平面; ③过两平行直线有且只有一个平面; ④在空间两两相交的三条直线必共面. 其中正确命题的序号是________. 11.如图所示,四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或 延长线)分别与平面 α 相交于 E,F,G,H,求证:E,F,G,H 必 同一直线上. 三、探究与拓展 15



12.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC、BD 交于点 M,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点. 求证:(1)C1、O、M 三点共线; (2)E、C、D1、F 四点共面.

1.2.2 空间中的平行关系(一) 一、基础过关 1. 经过平面 α 外的两个点作该平面的平行平面,可以作出 A.0 个 C.0 个或 1 个 B.1 个 D.1 个或 2 个 ( )

2. 若∠AOB=∠A1O1B1,且 OA∥O1A1,OA 与 O1A1 的方向相同,则下列结论中正确的是 ( A.OB∥O1B1 且方向相同 B.OB∥O1B1 C.OB 与 O1B1 不平行 D.OB 与 O1B1 不一定平行 3. 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A.一定平行 C.一定异面 B.一定相交 D.相交或异面 ) ( ) )

4. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q 分别为 AA1、CC1 的中点,则四边形 D1PBQ 是( A.正方形 C.矩形 B.菱形 D.空间四边形

5. 空间两个角 α、β,且 α 与 β 的两边对应平行且 α=60° ,则 β 为________. 6. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,判断下列直线的位置关系: (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________; (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是________; (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________; (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是________. 7. 已知直线 AB、CD 是异面直线,求证:直线 AC、BD 是异面直线. 8. 如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB 1 1 =90° ,BC 綊 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2 (1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? 16

二、能力提升 9. 如图所示,已知三棱锥 A-BCD 中,M、N 分别为 AB、CD 的中点, 则下列结论正确的是 1 A.MN≥ (AC+BD) 2 1 B.MN≤ (AC+BD) 2 1 C.MN= (AC+BD) 2 1 D.MN< (AC+BD) 2 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线 ( A.不存在 C.有且只有三条 ) ( )

B.有且只有两条 D.有无数条

11.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB∥CM; ②EF 与 MN 是异面直线; ③MN∥CD. 以上结论中正确结论的序号为________. 12.如图所示,P 是△ABC 所在平面外一点,D、E 分别是△PAB、△PBC 的重心. 1 求证:DE∥AC,DE= AC. 3 三、探究与拓展 13.如图所示,在三棱锥 A—BCD 中,E,F,G 分别是棱 AB,AC, AE AF AG AD 上的点,且满足 = = . AB AC AD 求证:△EFG∽△BCD.

17

1.2.2 空间中的平行关系(二) 一、基础过关 1. 以下说法(其中 a,b 表示直线,α 表示平面) ①若 a∥b,b?α,则 a∥α; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b∥α,则 a∥α; ④若 a∥α,b?α,则 a∥b. 其中正确说法的个数是 A.0 C.2 B.1 D.3 ) ( )

2. a,b 是两条异面直线,P 是空间一点,过 P 作平面与 a,b 都平行,这样的平面( A.只有一个 C.不一定有 B.至多有两个 D.有无数个 ( )

3. 两条直线都和一个平面平行,则这两条直线的位置关系是 A.平行 C.异面 B.相交 D.以上均可能

4. 如图所示,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G、H,则 HG 与 AB 的位置关系是 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行和异面 5. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的面中: (1)与直线 AB 平行的平面是__________________; (2)与直线 AA1 平行的平面是_______________________________; (3)与直线 AD 平行的平面是_____________________________________________. 6. 如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是 下底面的棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP a = ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= 3 ____________. 7. 如图所示,ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH, 求证:AP∥GH. ( )

8. 如图所示,三棱锥 A—BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH. 求证:CD∥平面 EFGH. 18

二、能力提升 9. 过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行的直线共有 ( A.4 条 C.8 条 B.6 条 D.12 条 )

10.如图所示,平面 α∩β=l1,α∩γ=l2,β∩γ=l3,l1∥l2,下列说法正确的 是 A.l1 平行于 l3,且 l2 平行于 l3 B.l1 平行于 l3,且 l2 不平行于 l3 C.l1 不平行于 l3,且 l2 不平行于 l3 D.l1 不平行于 l3,但 l2 平行于 l3 11.如图所示,已知 A、B、C、D 四点不共面,且 AB∥平面 α,CD∥α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=H,BC∩α=G, 则四边形 EFHG 的形状是________. ( )

12.如图,过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 BB1 作一平面交平面 CDD1C1 于 EE1. 求证:BB1∥EE1.

三、探究与拓展 13.如图所示,P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M、N 分别为 AB、PC 的中点,平面 PAD∩平面 PBC=l. (1)求证:BC∥l; (2)MN 与平面 PAD 是否平行?试证明你的结论.

19

1.2.2 空间中的平行关系(三) 一、基础过关 1. 给出下列结论,正确的有 ①平行于同一条直线的两个平面平行; ②平行于同一平面的两个平面平行; ③过平面外两点,不能作一个平面与已知平面平行; ④若 a,b 为异面直线,则过 a 与 b 平行的平面只有一个. A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( )

2. 若正 n 边形的两条对角线分别与面 α 平行,则这个正 n 边形所在的平面一定平行于平面 α,那么 n 的取值可能是 ( A.12 B.8 C.6 D.5 )

3. 正方体 EFGH—E1F1G1H1 中,下列四对截面中,彼此平行的一对截 面是 A.平面 E1FG1 与平面 EGH1 B.平面 FHG1 与平面 F1H1G C.平面 F1H1H 与平面 FHE1 D.平面 E1HG1 与平面 EH1G 4. α、β 是两个不重合的平面,a、b 是两条不同的直线,在下列条件下,可判定 α∥β 的是 ( A.α,β 都平行于直线 a、b B.α 内有三个不共线的点到 β 的距离相等 C.a,b 是 α 内两条直线,且 a∥β,b∥β D.a、b 是两条异面直线,且 a∥α,b∥α,a∥β,b∥β 5. 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的三个顶点 A1、C1、B 的平面与底面 ABCD 所在平面的交线为 l,则 l 与 A1C1 的位置关系是 ________. 6. 有下列几个命题: ①平面 α 内有无数个点到平面 β 的距离相等,则 α∥β; ②α∩γ=a,α∩β=b,且 a∥b(α,β,γ 分别表示平面,a,b 表示直线),则 γ∥β; ③平面 α 内一个三角形三边分别平行于平面 β 内的一个三角形的三条边,则 α∥β; ④平面 α 内的一个平行四边形的两边与平面 β 内的一个平行四边形的两边对应平行,则 α∥β. 其中正确的有________.(填序号) 7. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、E1、F1 分别是 AB、 CD、A1B1、C1D1 的中点. 求证:平面 A1EFD1∥平面 BCF1E1. 8. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,M 是 A1C1 的中点,平面 AB1M∥ 平面 BC1N,AC∩平面 BC1N=N. 求证:N 为 AC 的中点. ) ( )

20

二、能力提升 9. 如图所示,P 是三角形 ABC 所在平面外一点,平面 α∥平面 ABC,α 分别交线段 PA、PB、PC 于 A′、B′、C′,若 PA′∶AA′=2∶3, 则 S△A′B′C′∶S△ABC 等于 A.2∶25 C.2∶5 B.4∶25 D.4∶5 ( )

10.α,β,γ 为三个不重合的平面,a,b,c 为三条不同的直线,则有下列命题,不正确的是 ( ① a∥c? a∥γ? ? ? ??a∥b; ② ??a∥b; ? ? b∥c? b∥γ?
? ? α∥c? α∥γ? ??α∥β; ④ ??α∥β; β∥c ? β∥γ ? ? ?

)





α∥c? α∥γ? ? ? ??α∥a; ⑥ ??a∥α. ? ? a∥c ? a∥γ ? B.②③⑥ D.②③

A.④⑥ C.②③⑤⑥

11.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、 CD 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

12.如图,已知在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、E、F、N 分别是 A1B1、 B1C1、C1D1、D1A1 的中点.求证: (1)E、F、D、B 四点共面; (2)平面 AMN∥平面 EFDB. 三、探究与拓展 13.如图所示,在底面是平行四边形的四棱锥 P-ABCD 中,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1,在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?并证明你的结论.

21

1.2.3 空间中的垂直关系(一) 一、基础过关 1. 下列命题中正确的个数是 ①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α; ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α; ③如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内没有与 l 垂直的直线; ④如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. A.0 B.1 C.2 D.3 ( ) ( )

2. 空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是 A.垂直且相交 C.垂直但不相交 B.相交但不一定垂直 D.不垂直也不相交

3. 若 m、n 表示直线,α 表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为 ①
? ? m∥n? m⊥α? ??n⊥α; ② ??m∥n; m⊥α? n⊥α ? ? ?

(

)



m⊥α? m∥α? ? ? ??m⊥n; ④ ??n⊥α. ? ? n∥α ? m⊥n?

A.1 B.2 C.3 D.4 4. 如图,PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于 A,B 的任一点,则下列关系不正确的是 A.PA⊥BC B.BC⊥平面 PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 5. 如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别为边 BC、CD 的中点,H 是 EF 的中点.现沿 AE、AF、EF 把这个正方形折成一个几何体,使 B、 C、D 三点重合于点 G,则下列结论中成立的是________.(填序号) ①AG⊥平面 EFG;②AH⊥平面 EFG; ③GF⊥平面 AEF;④GH⊥平面 AEF. 6. 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若∠B1MN 是直角,则∠C1MN=______. ( )

7. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN⊥ 平面 A1DC.

求证:(1)MN∥AD1; 22

(2)M 是 AB 的中点. 8. 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB,PC 的中点,PA=AD. 求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD. 二、能力提升 9. 如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的 个数为 A.4 C.2 B.3 D.1 ( )

10.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为 A,B,C,如果这些斜线与平面成等角,有如下命题: ①△ABC 是正三角形; ②垂足是△ABC 的内心; ③垂足是△ABC 的外心; ④垂足是△ABC 的垂心. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

11.如图所示,平面 ABC⊥平面 ABD,∠ACB=90° ,CA=CB,△ABD 是正三角形,O 为 AB 中点,则图中直角三角形的个数为________.

12.如图所示,△ABC 中,∠ABC=90° ,SA⊥平面 ABC,过点 A 向 SC 和 SB 引垂线,垂足分别是 P、Q,求证: (1)AQ⊥平面 SBC; (2)PQ⊥SC. 三、探究与拓展 13.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AC=BC=CC1, M,N 分别是 A1B,B1C1 的中点. 求证:MN⊥平面 A1BC.

1.2.3 空间中的垂直关系(二) 一、基础过关 1. 已知三条相交于一点的线段 PA、PB、PC 两两垂直,点 P 在平面 ABC 外,PH⊥面 ABC 于 H,则垂足 H 是△ABC 的 ( A.外心 B.内心 C.垂心 ) D.重心 ( 23 )

2. 设有直线 m、n 和平面 α、β,则下列结论中正确的是

①若 m∥n,n⊥β,m?α,则 α⊥β; ②若 m⊥n,α∩β=m,n?α,则 α⊥β; ③若 m⊥α,n⊥β,m⊥n,则 α⊥β. A.①② C.②③ B.①③ D.①②③ ( )

3. 过两点与一个已知平面垂直的平面 A.有且只有一个 C.一个或无数个 B.有无数个 D.可能不存在

4. 平面 α∩平面 β=l,平面 γ⊥α,γ⊥β,则 A.l∥γ C.l 与 γ 斜交 B.l?γ D.l⊥γ

(

)

5. 若 α⊥β,α∩β=l,点 P∈α,PD/∈l,则下列命题中正确的为________.(只填序号) ①过 P 垂直于 l 的平面垂直于 β; ②过 P 垂直于 l 的直线垂直于 β; ③过 P 垂直于 α 的直线平行于 β; ④过 P 垂直于 β 的直线在 α 内. 6. α、β、γ 是两两垂直的三个平面,它们交于点 O,空间一点 P 到 α、β、γ 的距离分别是 2 cm、3 cm、6 cm,则点 P 到 O 的距离为________. 7. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC.

求证:BC⊥AB. 8. 如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F 分别是 A1B、A1C 的中点, 点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C1. 求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C1.

二、能力提升 9. 若平面 α 与平面 β 不垂直,那么平面 α 内能与平面 β 垂直的直线有 A.0 条 C.2 条 B.1 条 D.无数条 ( ) ( )

10.设 l 是直线,α,β 是两个不同的平面,下列结论中正确的是 A.若 l∥α,l∥β,则 α∥β B.若 l∥α,l⊥β,则 α⊥β C.若 α⊥β,l⊥α,则 l⊥β D.若 α⊥β,l∥α,则 l⊥β 24

11.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90° ,BC1⊥AC,则点 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在直线__________上.

12.如图所示,在多面体 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB= 2DC=4 5.

(1)设 M 是 PC 上的一点, 求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积. 三、探究与拓展 13.在直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,AB=BC,能否在侧棱 BB1 上找到一点 E,使得截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C? 若能找到,指出点 E 的位置;若不能找到,说明理由.

25

答案 1.D 5.3 7.解 2.D 3.D 4.C 6.12 平面 AC 和平面 A′C′

把直尺的边缘紧贴物体表面,如果在某个位置直尺边缘与物体表面间有缝隙,就说明该物体表面不是平

面. 8.解 (1)L 与 l 相交,旋转产生的曲面是以 L 与 l 的交点为顶点的圆锥面.

(2)L 是封闭的曲线,绕 l 旋转产生一个封闭的曲面,此曲面是环面. 9.A 10.解 (1)4 (2)如图

正方体有 6 个面,它们都是正方形,可考虑在图中某个正方形的旁边添加一个正方形,想象能否折成正方 体盒子,事实上可以在横着的四个正方形的任何一个的下边添加一个正方形,都可折成正方体盒子. 11.解 (1)由于 L 与 l 平行,旋转过程中 L 与 l 的距离相等(如图①).
26

(2)由于 L 与 l 相交,旋转过程中产生的曲面是以 L 与 l 的交点为顶点的曲面(如图②). (3)由于 L 与 l 不平行,旋转过程中产生的曲面是以 L 的延长线与 l 的交点为顶点的曲面的一部分(如图③).

12.解

如图所示,当三个平面平行时,将空间分成 4 部分;

当三个平面相交于一条直线时或两个平面平行, 第三个平面与它们相交时,将空间分成 6 部分; 当三个平面相交于三条直线时,将空间分成 7 部分; 当有两个平面相交,第三个平面截两个相交平面时,将空间分成 8 部分.

答案 1.D 2.D 3.C 4.A 5.4 2

6.Q?M?N?P 7.解 如图,取 BC 的中点 E,连接 AE,DE,则 AE⊥BC,DE⊥BC.因为 AE= 3 1 1 ×4=2 3,所以 DE= ?2 3?2+22=4,所以 S△BCD= BC· ED= 2 2 2

×4×4=8(cm2).所以截面 BCD 的面积是 8 cm2. 8.解 此题相当于把两个正三棱柱都沿 AA1 剪开拼接后得到的线段 AA1 的长,即最短路线长为 10.

9.D 10.D 11. 3 2 2 (1)正三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9,宽为 4 的矩形,其对角线长为 92+42= 97. 27

12.解

(2)如图所示,将侧面沿 A1A 剪开并展开,由点 P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路径为线段 MP.设 PC=x,

在 Rt△MAP 中,有(3+x)2+22=( 29)2?x=2, 4 故 PC=2,NC= . 5

13.解

分三种情况展成平面图形求解.

沿长方体的一条棱剪开,使 A 和 C1 在同一平面上,求线段 AC1 的长即可,有如图所示 的三种剪法: (1)若将 C1D1 剪开,使面 AB1 与面 A1C1 共面,可求得 AC1= 52+?3+4?2= 74. (2)若将 AD 剪开,使面 AC 与面 BC1 共面,可求得 AC1= 42+?3+5?2= 80. (3)若将 CC1 剪开,使面 BC1 与面 AB1 共面,可求得 AC1= ?5+4?2+32= 90. 相比较可得最短路线长为 74. 答案 1.A 2.B 3.D 5.①② 7 3 6. 6 7.解 过 A1、B、C 三点作一个平面,再过 A1、B、C1 作一个平面,就把三棱台 ABC—A1B1C1 分成三部分,形成的三个三棱 锥分别是 A1—ABC,B—A1B1C1,A1—BCC1. 4.C

8.解 将三棱锥沿侧棱 VA 剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图所示,线段 AA1 的长为所求△AEF 周长的最小值, 取 AA1 的中点 D,则 VD⊥AA1,∠AVD=60° ,可求 AD=3,则 AA1=6.故△AEF 周长的最小值为 6. 9.D 10.D 11.①③④⑤ 12.解 在 Rt△SOM 中,

OM= l2-h2, 因为棱锥 S—ABC 是正棱锥,所以点 O 是正△ABC 的中心,AB=2BM=2MOtan 60° =2 3 l2-h2, S△ABC= 3 2 3 AB = ×4×3(l2-h2)=3 3(l2-h2). 4 4

因为△A′B′C′过 SO 的中点, 28

1 所以三棱锥 S—A′B′C′的高 h′= h. 2 S△A′B′C′ h′2 1 = 2 = , h 4 S△ABC

根据一般三棱锥的截面性质,有

3 3 2 所以 S△A′B′C′= (l -h2). 4 13.解 设截面面积为 S0,以 S1、S0、S2 为底面的锥体的高分别为 h1、h0、h2.

由棱锥截面的性质得 h1∶h0∶h2= S1∶ S0∶ S2, ∴γ= h0-h1 S0- S1 = . h2-h0 S2- S0 S1+γ S2 . 1+γ

由此可得 S0= ∴S0=?

? S1+γ S2?2 ?. ? 1+γ ?
答案 3.D 4.C

1.C 2.D 5.圆锥

6.解 (1)特征:具有棱柱的特征,且侧面都是全等的矩形,底面是正五边形.几何体为正五棱柱. (2)由两个同心的大球和小球,大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体,即空心球. 7.解 如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体.

8.A 9.B π 10. 6 11.解 假设直角三角形 ABC 中,∠C=90° AC 边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(1)所 .以

示.

当以 BC 边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(2)所示. 当以 AB 边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图(3)所示. 12.解 作出圆台的侧面展开图,如图所示,由其轴截面中 Rt△OPA 与

OA 5 Rt△OQB 相似,得 = ,可求得 OA=20 cm.设∠BOB′=α, OA+AB 10

29

由于扇形弧 BB′ 的长与底面圆 Q 的周长相等,而底面圆 Q 的周长 为 2π×10 cm.扇形 OBB′的半径为 OA+AB=20+20=40 cm,扇形 1 OBB′所在圆的周长为 2π×40=80π cm.所以扇形弧 BB′ 的长度 20π 为所在圆周长的 .所以 OB⊥OB′.所以在 4 Rt△B′OM 中,B′M2=402+302, 所以 B′M=50 cm,即所求绳长的最小值为 50 cm. 答案 1.B 2.D 3.C 4.C 5.①② 5 6. 2 7.解 设 O′C′=h,则原梯形是一个直角梯形且高为 2h. 过 C′作 C′D′⊥O′A′于 D′, 则 C′D′= 2 h. 2

1 由题意知 C′D′(C′B′+O′A′)=S. 2 即 2 h(C′B′+O′A′)=S. 4

4S 1 又原直角梯形面积为 S′= · 2h(C′B′+O′A′)=h(C′B′+O′A′)= =2 2S. 2 2 所以梯形 OABC 的面积为 2 2S. 8.解 (1)画轴.画出 Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴, 使∠xOy=45° 135° (或 ),∠xOz=90° , 如图(1)

(2)画底面.以 O 为中心,在 xOy 平面内画出正方形直观图 ABCD,使 AB=1.2 cm、AD=0.6 cm. (3)画顶点.在 Oz 轴上截取 OP,使 OP=1.5 cm. (4)成图.顺次连接 PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图(2). 9.A 10.D 11. 2 2 画法:步骤:

12.解

(1)如图 a 所示,在梯形 ABCD 中, 以边 AB 所在的直线为 x 轴,点 A 为原点, 建立平面直角坐标系 xOy.如图 b 所示, 画出对应的 x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45° . (2)在图 a 中,过 D 点作 DE⊥x 轴,垂足为 E.在图 b 中, 在 x′轴上取 A′B′=AB=4 cm, 30

A′E′=AE=

3 3≈2.598 cm; 2

1 1 3 过点 E′作 E′D′∥y′轴,使 E′D′= ED= × =0.75 cm, 2 2 2 再过点 D′作 D′C′∥x′轴,且使 D′C′=DC=2 cm. (3)连接 A′D′、B′C′,并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线,如图 c 所示,则四边形 A′B′C′D′就是所求作 的直观图.

13.解

四边形 ABCD 的真实图形如图所示,

∵A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形, ∴∠D′A′C′=∠A′C′B′=45° , ∴在原四边形 ABCD 中, DA⊥AC,AC⊥BC, ∵DA=2D′A′=2, AC=A′C′= 2, ∴S 四边形 ABCD=AC· AD=2 2. 答案 1.D 2.C 5.(1)D 6.2 4 3.D 4.C (3)E (4)C (5)B (2)A

7.解 该图形的三视图如图所示.

8.解 三视图如图所示:

31

9.A 10.D 12.解

11.6

该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的,主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面,左视图反映正六棱柱

的两个侧面和圆柱侧面,俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).它的三视图如图所示.

13.解

由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字,因此,用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大

数字,即如图①所示,此种情况共用小立方块 17 块.

而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字,其他方框内的数字可减少到最少的 1,即如图② 所示,这样的摆法只需小立方块 11 块. 答案 1.A 2.B 3.C 5.60° 6.12 800 7.解 设正方体的棱长为 a.如图所示. a ①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是正方体六个面的中心,经过四个切点及球心作截面,所以有 2r1=a,r1= , 2 所以 S1=4πr2=πa2. 1 4.A

②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面,2r2= 2a,r2= 所以 S2=4πr2=2πa2. 2 ③正方体的各个顶点在球面上,过球心作正方体的对角面得截面, 所以有 2r3= 3a,r3= 所以 S3=4πr2=3πa2. 3 32 3 a, 2

2 a, 2

综上可得 S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 8.A 9.B 10.38 11.解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形 ABCD(如图所示),

由题意知 BC=3π cm,AB=4π cm,点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置,故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度. AC= AB2+BC2=5π cm, 故铁丝的最短长度为 5π cm. 12.解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为 2, 2,1.

考虑该几何体在水平面的投影,可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的 2 倍. ∴S 表=2S 下+S 侧=2×22+4×[22+( 2)2+12]=36. ∴该几何体的表面积为 36. 答案 1.C 2.A 6.3 7.(1)球 (2)球 3.B 4.C 5.D

8.解 设三棱柱的高为 h,底面的面积为 S,体积为 V, 则 V=V1+V2=Sh. 因为 E、F 分别为 AB、AC 的中点, 1 所以 S△AEF= S, 4 1 1 V1= h(S+ S+ 3 4 V2=Sh-V1= 9.A 10.A 11.9π+18 12.解 由题意知,圆锥的轴截面为正三角形,如图所示为圆锥的轴截面. S 7 S·)= Sh, 4 12

5 Sh,故 V1∶V2=7∶5. 12

1 4 根据切线性质知, 当球在容器内时, 水深为 3r, 水面的半径为 3r, 则容器内水的体积为 V=V 圆锥-V 球= π·( 3r)2· 3r- πr3 3 3 5 = πr3, 3 而将球取出后,设容器内水的深度为 h, 则水面圆的半径为 3 h, 3

1 3 1 从而容器内水的体积是 V′= π·( h)2· h= πh3, 3 3 9 33

3 由 V=V′,得 h= 15r. 3 即容器中水的深度为 15r. 13.证明 设圆的半径为 R,球的体积与圆柱的体积分别为 V 球和 V 柱,球的表面积与圆柱的全面积分别为 S 球及 S 柱,则有 V 球

4 = πR3,V 柱=πR2· 2R=2πR3, 3 2 ∴V 球= V 柱. 3 2 S 柱=2πR· 2R+2πR2=6πR2,S 球=4πR2= S 柱. 3 答案 1.D 2.C 4.0 5.A∈m 6.解 很明显,点 S 是平面 SBD 和平面 SAC 的一个公共点, 即点 S 在交线上, 由于 AB>CD,则分别延长 AC 和 BD 交于点 E,如图所示. 3.D

∵E∈AC,AC?平面 SAC, ∴E∈平面 SAC. 同理,可证 E∈平面 SBD. ∴点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上,连接 SE, 直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的交线. 7.证明 ∵l1?β,l2?β,l1D∥\l2,

∴l1、l2 交于一点,记交点为 P. ∵P∈l1?α,P∈l2?γ, ∴P∈α∩γ=l3, ∴l1,l2,l3 交于一点. 8.C 9.C 10.③ 11.证明 因为 AB∥CD,所以 AB,CD 确定平面 AC,AD∩α=H,因为 H∈平面 AC,H∈α,由基本性质 3 可知,H 必在平

面 AC 与平面 α 的交线上.同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上,因此 E,F,G,H 必在同一直线上. 12.证明 (1)∵C1、O、M∈平面 BDC1,

又 C1、O、M∈平面 A1ACC1,由基本性质 3 知,点 C1、O、M 在平面 BDC1 与平面 A1ACC1 的交线上, ∴C1、O、M 三点共线. (2)∵E,F 分别是 AB,A1A 的中点, ∴EF∥A1B. ∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1. 34

∴E、C、D1、F 四点共面.

答案 1.C 2.D 3.D 4.B 5.60° 120° 或 6.(1)平行 7.证明 (2)异面 (3)相交 (4)异面

假设 AC 和 BD 不是异面直线,则 AC 和 BD 在同一平面内,设这个平面为 α.

∵AC?α,BD?α, ∴A、B、C、D 四点都在 α 内, ∴AB?α,CD?α. 这与已知中 AB 和 CD 是异面直线矛盾,故假设不成立. ∴直线 AC 和 BD 是异面直线. 8.(1)证明 由已知 FG=GA,FH=HD,

1 1 可得 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD, 2 2 ∴GH 綊 BC, ∴四边形 BCHG 为平行四边形. (2)解 1 由 BE 綊 AF,G 为 FA 中点知,BE 綊 FG, 2

∴四边形 BEFG 为平行四边形, ∴EF∥BG. 由(1)知 BG 綊 CH,∴EF∥CH, ∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面. 9.D 10.D 11.①② 12.证明 连接 PD 并延长交 AB 于 M,

连接 PE 并延长交 BC 于 N,则 M 为 AB 的中点,N 为 BC 的中点,

∴MN∥AC, PD PE 2 又DM=EN= , 1 ∴DE∥MN, ∴DE∥AC. DE PD 2 又MN=PM= , 3

35

2 1 ∴DE= MN,又∵MN= AC, 3 2 1 ∴DE= AC. 3 13.证明 在△ABC 中,∵ AE AF = , AB AC

EF AE ∴EF∥BC 且BC=AB. EG AE 同理,EG∥BD 且BD=AB. 又∵∠FEG 与∠CBD 的对应两边方向相同, EF EG ∴∠FEG=∠CBD.∵BC=BD, ∴△EFG∽△BCD. 答案 1.A 2.C 3.D 4.A (2)平面 BC1 和平面 DC1 (3)平面 B1C 和平面 A1C1 5.(1)平面 A1C1 和平面 DC1 2 2 6. a 3 7.证明 如图所示,连接 AC 交 BD 于 O,连接 MO,

∵ABCD 是平行四边形,

∴O 是 AC 中点,又 M 是 PC 的中点, ∴AP∥OM. 根据直线和平面平行的判定定理, 则有 PA∥平面 BMD. ∵平面 PAHG∩平面 BMD=GH, 根据直线和平面平行的性质定理, ∴PA∥GH. 8.证明 ∵四边形 EFGH 为平行四边形,∴EF∥GH.

又 GH?平面 BCD,EF?平面 BCD. ∴EF∥平面 BCD. 而平面 ACD∩平面 BCD=CD,EF?平面 ACD, ∴EF∥CD. 而 EF?平面 EFGH,CD?平面 EFGH, ∴CD∥平面 EFGH. 9.D 10.A 11.平行四边形 12.证明 ∵BB1∥CC1,BB1?平面 CDD1C1,CC1?平面 CDD1C1,

∴BB1∥平面 CDD1C1, 36

又 BB1?平面 BEE1B1,且平面 BEE1B1∩平面 CDD1C1=EE1, ∴BB1∥EE1. 13.(1)证明 因为 BC∥AD,AD?平面 PAD,

BC?平面 PAD,所以 BC∥平面 PAD. 又平面 PAD∩平面 PBC=l,BC?平面 PBC,所以 BC∥l.

(2)解

MN∥平面 PAD.

证明如下: 如图所示,取 PD 中点 E. 连接 EN、AE. 又∵N 为 PC 中点, 1 ∴EN 綊 AB, 2 ∴EN 綊 AM, ∴四边形 ENMA 为平行四边形, ∴AE∥MN. 又∵AE?平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD. 答案 1.B 2.D 3.A 4.D 5.平行 6.③ 7.证明 ∵E、E1 分别是 AB、A1B1 的中点,

∴A1E1∥BE 且 A1E1=BE. ∴四边形 A1EBE1 为平行四边形. ∴A1E∥BE1. ∵A1E?平面 BCF1E1, BE1?平面 BCF1E1. ∴A1E∥平面 BCF1E1. 同理 A1D1∥平面 BCF1E1, A1E∩A1D1=A1, ∴平面 A1EFD1∥平面 BCF1E1. 8.证明 ∵平面 AB1M∥平面 BC1N,

平面 ACC1A1∩平面 AB1M=AM, 平面 BC1N∩平面 ACC1A1=C1N, ∴C1N∥AM,又 AC∥A1C1, ∴四边形 ANC1M 为平行四边形, 37

1 1 ∴AN=C1M= A1C1= AC, 2 2 ∴N 为 AC 的中点. 9.B 10.C

11.M∈线段 FH 12.证明 (1)∵E、F 是 B1C1、C1D1 的中点,

1 ∴EF 綊 B1D1, 2

∵DD1 綊 BB1, ∴四边形 D1B1BD 是矩形, ∴D1B1∥BD. ∴EF∥BD, 即 EF、BD 确定一个平面, 故 E、F、D、B 四点共面. (2)∵M、N 是 A1B1、A1D1 的中点, ∴MN∥D1B1∥EF. 又 MN?平面 EFDB,EF?平面 EFDB. ∴MN∥平面 EFDB. 连接 NE,则 NE 綊 A1B1 綊 AB. ∴四边形 NEBA 是平行四边形. ∴AN∥BE.又 AN?平面 EFDB,BE?平面 EFDB. ∴AN∥平面 BEFD. ∵AN、MN 都在平面 AMN 内,且 AN∩MN=N, ∴平面 AMN∥平面 EFDB. 13.解 当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC,证明如下: ①

取 PE 的中点 M,连接 FM,则 FM∥CE,

1 由 EM= PE=ED,知 E 是 MD 的中点,设 BD∩AC=O,则 2 O 为 BD 的中点,连接 OE,则 BM∥OE,② 由①②可知,平面 BFM∥平面 AEC,又 BF?平面 BFM, ∴BF∥平面 AEC. 答案 1.B 5.① 6.90° 7.证明 (1)∵ADD1A1 为正方形, 2.C 3.C 4.C

∴AD1⊥A1D. 38

又∵CD⊥平面 ADD1A1,∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC, ∴MN∥AD1. (2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC. 1 1 ∴ON 綊 CD 綊 AB, 2 2 ∴ON∥AM.又∵MN∥OA, ∴四边形 AMNO 为平行四边形, ∴ON=AM. 1 1 ∵ON= AB,∴AM= AB, 2 2 ∴M 是 AB 的中点. 8.证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD,

∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD,∴CD⊥PD. (2)取 PD 的中点 G,连接 AG,FG. 又∵G、F 分别是 PD,PC 的中点, 1 ∴GF 綊 CD, 2 ∴GF 綊 AE, ∴四边形 AEFG 是平行四边形, ∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点, ∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG?平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD. 9.A 10.A 11.6 12.证明 (1)∵SA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴SA⊥BC.

又∵BC⊥AB,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面 SAB.又∵AQ?平面 SAB, ∴BC⊥AQ. 又∵AQ⊥SB,BC∩SB=B, ∴AQ⊥平面 SBC. (2)∵AQ⊥平面 SBC,SC?平面 SBC,∴AQ⊥SC. 又∵AP⊥SC,AQ∩AP=A, 39

∴SC⊥平面 APQ.∵PQ?平面 APQ,∴PQ⊥SC. 13.证明 如图所示,由已知 BC⊥AC,BC⊥CC1,得 BC⊥平面 ACC1A1.

连接 AC1,则 BC⊥AC1. 由已知,可知侧面 ACC1A1 是正方形,所以 A1C⊥AC1. 又 BC∩A1C=C, 所以 AC1⊥平面 A1BC. 因为侧面 ABB1A1 是正方形,M 是 A1B 的中点,连接 AB1, 则点 M 是 AB1 的中点. 又点 N 是 B1C1 的中点, 则 MN 是△AB1C1 的中位线, 所以 MN∥AC1. 故 MN⊥平面 A1BC. 答案 1.C 2.B 3.C 5.①③④ 6.7 cm 7.证明 在平面 PAB 内,作 AD⊥PB 于 D. 4.D

∵平面 PAB⊥平面 PBC, 且平面 PAB∩平面 PBC=PB. ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC?平面 PBC, ∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴PA⊥BC, ∴BC⊥平面 PAB. 又 AB?平面 PAB, ∴BC⊥AB. 8.证明 (1)由 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点知 EF∥BC.

因为 EF?平面 ABC,BC?平面 ABC. 所以 EF∥平面 ABC. (2)由三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1. 又 A1D?平面 A1B1C1, 故 CC1⊥A1D. 又因为 A1D⊥B1C1,CC1∩B1C1=C1,故 A1D⊥平面 BB1C1C, 又 A1D?平面 A1FD, 所以平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 9.A 10.B 11.AB 12.(1)证明 在△ABD 中,

∵AD=4,BD=8,AB=4 5, 40

∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD. 又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD=AD, BD?面 ABCD, ∴BD⊥面 PAD,又 BD?面 BDM, ∴面 MBD⊥面 PAD. (2)解 过 P 作 PO⊥AD,

∵面 PAD⊥面 ABCD, ∴PO⊥面 ABCD, 即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高. 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 8 5 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 = ,此即为梯形的高. 5 4 5 ∴S 四边形 ABCD= 2 5+4 5 8 5 × =24. 2 5

1 ∴VP—ABCD= ×24×2 3=16 3. 3 13.解 假设能找到符合题意的点 E.如图所示,作 EM⊥A1C 于点 M.因为

截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C,所以 EM⊥侧面 AA1C1C.取 AC 的中点 N, 连接 MN,BN,因为 AB=BC,所以 BN⊥AC. 又因为 AA1⊥BN, 所以 BN⊥侧面 AA1C1C, 所以 BN∥EM. 因为平面 BEMN∩平面 AA1C1C=MN, BE∥平面 AA1C1C, 所以 BE∥MN∥A1A. 因为 AN=NC,所以 A1M=MC. 因为四边形 BEMN 为矩形, 1 所以 BE=MN= A1A. 2 所以当 E 为 BB1 的中点时,平面 A1EC⊥侧面 AA1C1C.

41


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