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2013年上海市高二第二学期立体几何试卷2013-4-16


上海市复兴高级中学 2012 学年高二年级数学立体几何练习试卷
一、填空题:30 分

2013 年 4 月

二、选择题:30 分
1、在四边形 ABCD 中, A B A.菱形 B.矩形
??? ? ???? ? DC

B ,且 A C · D =0,则四边形 ABCD 是

???? ????





1、若圆锥的侧面展开图是半径为 1cm、圆心角为 1 8 0 ? 的半圆,则这个圆锥的轴截面面积等于 2、若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面半径的比值是 3、若圆椎的母线 l ? 10 cm ,母线与旋转轴的夹角 ? ? 30 ,则该圆椎的侧面积为
0

C.直角梯形

D.等腰梯形 )


cm
2

2、已知 l1 、 l 2 、 l 3 是空间三条不同的直线,下列命题中正确的是(
2

A . 如果 l1 ? l 2 , l 2 // l 3 .则 l1 ? l 3 . C . 如果 l1 ? l 2 , l 2 ? l 3 .则 l1 ? l 3 .

B . 如果 l1 // l 2 , l 2 // l 3 .则 l1 、 l 2 、 l 3 共面. D . 如果 l1 、 l 2 、 l 3 共点.则 l1 、 l 2 、 l 3 共面.

4、若一个圆锥的轴截面是边长为 4 c m 的等边三角形,则这个圆锥的侧面积为 5、一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 R 的半圆,则这个圆锥的体积是_______ 6、正六边形 A1 B 1 C 1 D 1 E 1 F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成了一个正六边形
A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 F 2 ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是

cm .

3、已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题中的假命题的是( A. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? C. 若 m // ? , ? ? ? ? n , 则 m // n B. 若 m // n , m ? ? , 则 n ? ? D. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ? )





0 4、设直线 l ? 平面 ? ,过平面 ? 外一点 A 与 l , ? 都成 3 0 角的直线有且只有:(

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 5、 l1 , l 2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( (A) l1 7、已知:正三棱柱的底面正三角形边长为 2,侧棱长为 3,则它的体积 V ? 8、已知半径为 R 的球的球面上有三个点,其中任意两点间的球面距离都等于 圆周长为 4 ? ,则 R=
1 2
? l2



, l2

? l 3 ? l1 // l 3

(B) l1

? l2

, l2

// l 3 ? l1 ? l 3


?R
3

(C) l 2

// l 3 // l 3 ? l1

, l 2 , l3 共面

(D) l1 , l 2 , l3 共点 ?

l1

, l 2 , l3 共面

,且经过这三个点的小

6、 如图,正四棱锥 P ? A B C D 底面的四个顶点 A , B , C , D 在球 O 的同一 个大圆上, P 在球面上, 点 如果 V P ? A B C D ? (A) 4 ? (B) 8 ?
16 3



9、 (理)我们知道,在平面中,如果一个凸多边形有内切圆,那么凸多边形的面积 S、周长 c 与内切圆 半径 r 之间的关系为 S ?
cr 。类比这个结论,在空间中,如果已知一个凸多面体有内切球,且内切球半

, 则球 O 的表面积是 ( ) (D) 1 6 ? )

(C) 1 2 ?

径为 R,那么凸多面体的体积 V、表面积 S'与内切球半径 R 之间的关系是 (文)已知长方体的三条棱长分别为 1 , 1 , 2 ,并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上, 则此球的表面积为____________. 10、动点 P 在边长为 1 的正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的对角线 B D 1 上从 B 向 D 1 移动, 点 P 作垂直于面 B B1 D 1 D 的直线与正方体表面交于 M , N , B P 则函数 y ? f ( x ) 的解析式为
? x, M N ? y

7、 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 为正方体,下面结论错误的是( .. (A) B D // 平面 C B 1 D 1 (C) A C 1 ? 平面 C B 1 D 1 (B) A C 1 ? B D



(D)异面直线 A D 与 C B 1 所成的角为 60°
?
2

8、设球 O 的半径是 1, A 、 B 、 C 是球面上三点,已知 A 到 B 、 C 两点的球面距离都是
B ? O A ? C 的大小是

,且二面角

?
3

,则从 A 点沿球面经 B 、 C 两点再回到 A 点的最短距离是( (C)
4? 3



(A)

7? 6

(B)

5? 4

(D)

3? 2
1

9、如图, l1 、 l 2 、 l 3 是同一平面内的三条平行直线, l1 与 l 2 间的距离是 1, l 2 与 l 3 间的距离是 2, 正三角形 A B C 的三顶点分别在 l1 、 l 2 、 l 3 上,则⊿ A B C 的边长是( )
4 6 3 3 17 4 2 21 3

3、 (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , AC ? BC ? PA ? 2 . (1)求异面直线 AB 与 PC 所成角的大小; (2)求三棱锥 P ? ABC 的表面积 S . P

(A)2 3

(B)

(C)

(D)

10、若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 6 0 0 的菱形, 则该棱柱的体积等于 ( )(A) 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 4 2

A C

B

4、 (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, E , F 分别为线段 D D 1 , B D 的 中点. (1)求异面直线 E F 与 B C 所成的角; (2)求三棱锥 C ? B1 D 1 F 的体积.
A1 E D1 B1 C1

三、解答题.40 分
D C F A B

1、 (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 . 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC ? 4 , ? ABC ? 30 ? , P D 、 E 分别是 BC 、AP 的中点, (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. E

5、本题满分 10 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分. 如图已知四棱锥 P ? ABCD 中的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA 的长为 8,且垂直于底面, 点 M 、 N 分别是 DC 、 AB 的中点.求
A B

(1)异面直线 PM 与 CN 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)四棱锥 P ? ABCD 的表面积.

2、 (本小题满分 10 分,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分)
? 如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A B ? A C ? A A1 ? 2 , ? A B C ? 4 5 .

C

D

A1

(1)求点 A 到平面 A1 B C 的距离; (2)求二面角 A ? A1C ? B 的大小.
B1

c1

A

C

2

B

6、 (本题 10 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 6 分) (文科)如图,四面体 A B C D 中, O 、 E 分别是 B D 、 B C 的中点, A O
CA ? CB ? CD ? BD ? 2

?

平面 B C D ,

8、(本题满分 10 分)如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 的体积为 8,且 A B ? A C ? 2 ,∠ B A C = 9 0 , E 是 A A1 的中点, O 是 C 1 B 1 的中点.求异面直线 C 1 E 与 B O 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)
O C1 A1 E B1

?

. 的体积; A

(1)求三棱锥 A ?

BCD

(2)求异面直线 A E 与 C D 所成角的大小. D O B (理科)如图,在长方体 A B C D (1)求证: B1 E (2)若 A B
? 2
? A D1 ; ? A1 B1 C 1 D 1 中, A A1 ? A D ? 1 , E

B

E 为 C D 中点. A1

C
C A

D1

,求二面角 A ?

B1 E ? A1 的大小.

B1

C1 9、 (本题满分 10 分)如图,△ ABC 中, ? ACB ? 90 , ? ABC ? 30
0 0

A E B C

, BC ?

3 ,在三角形内挖去

D

7、 (本题满分 10 分)在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的长为 2 5 , PA 与 CD 所成的角的大小等于
10 5

一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M ,与 BC 交于点 N ) ,将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体。 A (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. M

arccos



P

C

O 第9题

N

B

(1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球 O 的半径.
A

D

C

B

3

(1)求点 A 到平面 A1 B C 的距离; (2)求二面角 A ? A1C ? B 的大小.

上海市复兴高级中学 2012 学年高二年级数学立体几何练习试卷答案
一、填空题:30 分 1、
3 4

2013 年 4 月

2、解: (1)? A B ? A C ? 2, ? A B C ? 4 5 ,? ? B A C ? 9 0 ,
? VA
? ABC

?

?

2、 2 ? .3、 50 ? 4、 8 ? c m .5、
2

3? R 24

3

6、

9 3 4

7、 3 3 8、 2 3

?

4 3

1

.? A1 B ? B C ? A1C ? 2 2 ,? S ? A B C ? 2 3 .
1

V 9、 理) ? (

1 3

S ?R , 文) ? 6 (

? ? ? 10、y ? ? ? ?2 ?

2 6 3

? 3? x, x ? ?0, ? 2 ? ? ? 3? ?

设点 A 到平面距离为 h ,由 h ? S ? A B C ? V A ? A B C , ? h ?
3
1 1

1

2 3 3

.? 点 A 到平面距离为

2 3 3

.

或 2? |

2 ?

2 6 3

x | x ? [0,

3]

? 3 2 6 2 ? x, x ? ? , ? 2 3 ?
C

(2)设 A1 C 的中点为 M ,连结 B M , A M .
? B A1 ? B C , A A1 ? A C ,
tan ? A M B ?

? B M ? A1C , A M ? A1C .? ? A M B 是二面角 A ? A1 C ? B 的平面角.
2 ? 二面角 A ? A1 C ? B 的大小为 a rc ta n

二、选择题:30 分 1、A 2、 A; 3、 三、解答题.58 分

4、B5、B.6、D.7、D.8、C.9、D.10、B

2 ,? ? A M B ? arctan

2 .

P

1、 (本题满分 10 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 . 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC ? 4 , ? ABC ? 30 ? ,
D 、 E 分别是 BC 、AP 的中点,

P

(1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan ? 的值. 1、(1)由已知得, AC ? 2 , AB ? 2 3 ,
A B

E

3、 (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , AC ? BC ? PA ? 2 . (1)求异面直线 AB 与 PC 所成角的大小; A (2)求三棱锥 P ? ABC 的表面积 S . 3、 (本题满分 14 分,第 1 小题 8 分,第 2 小题 6 分) (1)取 PA 中点 E , PB 中点 F , BC 中点 G ,连结 EF , FG , EG ,则 EF ∥ AB , FG ∥ PC ,所以 ? EFG 就是异面直线 AB 与 PC 所成的角(或其补角) . 连结 AG ,则 AG ?
AC
2

B C

? CG

2

?

5 , EG ?

EA

2

? AG

2

?

6,
EF
2

所以体积 V P ? ? ABC ?

1 3

S ? ABC PA ?

8 3 3

C
A1

D
c1

又 AB ? PC ? 2 2 ,所以 EF ? FG ?

2 .在△ EFG 中, cos ? EFG ?

? FG

2

? EG

2

2 EF ? FG

? ?

1 2



(2)取 AC 中点 F ,连接 DF , EF ,则 AB // DF , 所以 ? EDF 就是异面直线 AB 与 ED 所成的角 ? . 由已知, AC ? EA ? AD ? 2 , AB ? 2 3 , PC ? 2 5 ,
? AB ? EF , ? DF ? EF .
B1

故 ? EFG ? 120 ? .所以异面直线 AB 与 PC 所成角的大小为 60 ? . (2)因为 PA ? 底面 ABC ,所以 PA ? AB , PA ? BC , PA ? AC , 又 BC ? AC ,所以 BC ? 平面 PAC ,所以 BC ? PC , 所以△ ABC 、△ PAB 、△ PBC 、△ PAC 都是直角三角形. 所以, S ?
1 2 AC ? BC ? 1 2 PA ? AB ? 1 2 BC ? PC ? 1 2 PA ? AC ? 4 ? 4 2 .

在 Rt ? EFD 中, DF ? 2、

3 , EF ?

5 , tan ? ?

15 3

A

.
B

C

P E A G C
4

F B

? 如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中, A B ? A C ? A A1 ? 2 , ? A B C ? 4 5 .

4、 (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中, E , F 分别为线段 D D 1 , B D 的 中点. (1)求异面直线 E F 与 B C 所成的角; (2)求三棱锥 C ? B1 D 1 F 的体积. 4、解: (1)连 B D 1 ,由 E 、 F 分别为线段 D D 1 、 B D 的中点, 可得 E F ∥ B D 1 ,故 ? D 1 B C 即为异面直线 E F 与 B C 所成的角. 在正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,∵ B C ? 平面 C D D 1 C 1 ,
C D1 ? ?
A1 E B1 D1 C1

tan ? PMA ?

8 3 5

?

8 5 15

,? ? PMA ? arctan

8 5 15
8 5 15

即异面直线 PM 与 CN 所成角的大小为 arctan



解法二:以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系可得 M ( 3 , 6 , 0 ) , P ( 0 , 0 ,8 ) , N ( 3 , 0 , 0 ) , C ( 6 , 6 , 0 )
? PM ? ( 3 , 6 , ? 8 ) ,? CN ? ( ? 3 , ? 6 , 0 )
? cos ? ?
C F B

直线 PM 与 CN 所成角为 ? ,向量 PM 与 CN 的夹角为 ?
3 545 109

PM ? CN PM CN

平面 C D D 1 C 1 ,∴ B C ? C D 1 ,
D A

?

? 45 109 ? 45

? ?

又 cos ? ? cos ? ?

3 545 109

, ? ? arccos

3 545 109



在 R t △ B C D 1 中, B C ? 2 , C D 1 ? 2 2 , ∴ ta n ? D 1 B C ?
D1C BC ? 2

,∴ ? D 1 B C ? arctan 2 .

即异面直线 PM 与 CN 所成角的大小为 arccos

3 545 109

. (说明:两种方法难度相当)

所以异面直线 EF 与 BC 所成的角为 arctan 2 . (2)在正方体 A B C D ? A1 B1 C 1 D 1 中,由 B B1 ? 平面 A B C D , C F ? 平面 A B C D , ? 可知 B B1 ? C F ,∵ C B ? C D , F 是 B D 中点, ∴ C F ? B D ,又 B B1 与 B D 相交,∴ C F ? 平面 B D D 1 B1 , 又 S ?B D F ?
1 1

(2) 因为 PA 垂直于底面,所以 PA ? AB , PA ? AD 即 Rt ? PAB ≌ Rt ? PDC
? PA ? BC ? BC ? PB ,同理 CD ? PD ? Rt ? PBC ≌ Rt ? PAD ? ? AB ? BC

D1 A1 E B1

C1

1 2

B1 D 1 ? B B1 ? S ?B

1 2

?2 1 3 ?2

2?2? 2 2? 2 ?

2 4 3

, ,

底面四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形,所以 S 底 ? 36 又 S 侧 ? S ? PAB ? S ? PAD ? S ? PBC ? S ? PCD ? 2 ? (
C

故VC ? B D F ?
1 1

1 3

1 2

1 D1 F

?CF ?

PA ? AB ) ? 2 ? (

1 2

PB ? BC ) ? 48 ? 60 ? 108

D F A B

所以三棱锥 C ? B1 D 1 F 的体积为

4 3



S 表 ? 108 ? 36 ? 144 所以四棱锥 P ? ABCD

的表面积是 144

A

5、本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图已知四棱锥 P ? ABCD 中的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA 的长为 8,且垂直于底面, 点 M 、 N 分别是 DC 、 AB 的中点.求 (1)异面直线 PM 与 CN 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)四棱锥 P ? ABCD 的表面积. 5、解法 一:连结 AM ,可证 CN ∥ AM , 直线 PM 与 AM 所成角等于直线 PM 与 CN 所成角. 因为 PA 垂直于底面,所以 PA ? AM , 点 M 分别是 DC 的中点, DC ? 6 ? AM ? 3 5 在 Rt ? PAM 中, PA ? 8 , AM ? 3 5 ,

6、 (本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) (文科)如图,四面体 A B C D 中, O 、 E 分别是 B D 、 B C 的中点, A O ? 平面 B C D , C A ? C B ? C D ? B D ? 2 . (1)求三棱锥 A ?
BCD

D O C

的体积; B

(2)求异面直线 A E 与 C D 所成角的大小. (理科)如图,在长方体 A B C D (1)求证: B1 E (2)若 A B
? 2
? A D1 ;

E 为 C D 中点. A1 D1

? A1 B1 C 1 D 1 中, A A1 ? A D ? 1 , E

,求二面角 A ?

B1 E ? A1 的大小.

B1

C1

A E B C

D
5

6、 (理科) (1)方法一、以 A 为坐标原点,以 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴方向建立空间直角 坐标系,设 A B ? a ,则 B 1 E ? ? ?
? ???? ? a

( 2) 连 AO , O O ? , 设 球 的 半 径 为 R , 则 OA ? R , O O ? ? R ? P O ? ? R ? 2 , 在 Rt ? O O ?A 中 有
R
2

???? ? ???? ???? ? ? ,1, ? 1 ? , A D 1 ? (0,1,1) . 所以 , B1 E ? A D 1 ? 0, B1 E ? A D1 。 2 ?
A1 D ? A D 1 ? , ? ? A D 1 ? 面 A 1 B1C D C D ? A D1 ?

? ( R ? 2 ) ? 4 ,得 R ? 5
2 2
?

8、(本题满分 12 分)如图,直三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 的体积为 8,且 AB ? AC ? 2 ,∠ B A C = 90 ,E 是 。
A A1 的中点, O 是 C 1 B 1 的中点.求异面直线 C 1 E 与 B O 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)

另 解 : A A1 D 1 D 为 正 方 形 , 所 以 A1 D ? A D 1
又 B1 E ? 面 A1 B1 C D ? A D 1 ? B1 E 。

???? ??? ? ?? A (2)因为 A B1 ? ? 2 ,0 ,1 ? , E ? ? 1 ,1 ,0 ? , 所以取面 AB1E 的一个法向量为 n1 = ? 1,-1,-2 ? ,同理可取面 A1B1E ?? ? n1 ? n 2 3 = 一个法向量为 n 2 = ? 0 ,1,1 ? , 设二面角 A-B1E-A1 为 ? ,则 c o s ? ? , n1 ? n 2 2
所以?=

O C1 A1 E

B1

O C1 A1 E

B1

?
6

即二面角 A-B1E-A1 的大小为

?
6

.
1 3 3 3
A

B

P

B F C A

(文科) (1)因为 CO= 3 ,AO=1

所以 V ?

?

3 ?1 ?



C
D C

A

(2)因为 O、E 为中点,所以 OE//CD,所以 ? A E O 的大小即为异面直线 AE 与 CD 所成角。 在直角三角形 AEO 中, ? A E O =
?
4

B

8、解:由 V ? S ? A A1 ? 8 得 A A1 ? 4 , 取 BC 的中点 F,联结 AF,EF,则 C 1 F / / B O , 所以 ? E C 1 F 即是异面直线 C 1 E 与 B O 所成的角,记为 ? . C 1 F ? 1 8 , C 1 E ? 8 , E F ? 6 ,
2 2
2

,所以异面直线 AE 与 CD 所成角的大小为

?
4

7、 (本题满分 12 分)在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的长为 2 5 , PA 与 CD 所成的角的大小等于
10 5

cos ? ?

C1F

2

? C1E ? E F
2

2

2C1F ? C1E

?

5 6

, 因而 ? ? a r c c o s

5 6
0 0

arccos

. (1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积;

9、 (本题满分 12 分)如图,△ ABC 中, ? ACB ? 90 , ? ABC ? 30

, BC ?

3 ,在三角形内挖去

(2)若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球 O 的半径. 7、解: (1)取 AB 的中点 M ,记正方形 ABCD 对角线的交点为 O ? , 连 PM , P O ? , AC ,则 AC 过 O ? .? PA ? PB ,? PM ? AB , 又 cos ? PAM ?
10 5
A O ? ? 4 , P O ? ? 2 , V P ? ABCD ?

一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M ,与 BC 交于点 N ) ,将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体。 A (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积. M 0 9、解(1)连接 OM ,则 OM ? AB ? BC ? 3 , ? ABC ? 30 ,? AC ? 1, AB ? 2 ,
3 3
4 3

PA ? 2 5 ,得 AM ? 2
1 3 1 3

2 .

设 OM ? r ,则 OB ? 2 r ,又 OB ?
S底 ? PO? ? 64 3 ? (4 2) ?2 ?
2

3 ? r ,所以 2 r ?

3 ? r, r ?



C

O 第 20 题

N

B

64 3

? 正四棱锥 P ? ABCD

的体积等于

(立方单位) .

所以,

S 球表 ? 4 ? r

2

?

?.

(2) V ? V 圆锥 ? V 球 ?

1 3

? ? AC

2

? BC ?

4 3

?r

3

?

5 3 27

?.

6

4、设直线 l ? 平面 ? ,过平面 ? 外一点 A 与 l , ? 都成 3 0 0 角的直线有且只有:( B ) (A)1条 (B)2条 (C)3条
0

? ? ? 4? ? ? 8、解:选 C. d ? ? B ? B C ? C A ? ? ? ? . A
2 3 2 3

(D)4条

9、如图,l1 、l 2 、l 3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l 2 间的距离是 1,l 2 与 l 3 间
l l 的距离是 2, 正三角形 A B C 的三顶点分别在 l1 、2 、3 上, 则⊿ A B C 的边长是 (

4、解:如图,当 ? A O C ? ? A C B ? 3 0 时,直线 A C 满足条件; ) 又由图形的对称性,知当 ? A O B ? ? A B C ? 3 0 时,
0

直线 A B 满足条件;故选 B 5、 l1 , l 2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 (A) l1 (C) l 2
? l2

(A)2 3

(B)

4 6 3

(C)

3 17 4

(D)

2

21 3

, l2

? l 3 ? l1 // l 3

(B) l1

? l2

, l2

// l 3 ? l1 ? l 3

9、解:选 D.过点C作 l 2 的垂线 l 4 ,以 l 2 、 l 4 为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系.设 A ( a ,1) 、 B ( b , 0 ) 、 , l 2 , l3 共面
C (0 , ? 2 ) ,由 A B ? B C ? A C 知 ( a ? b ) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ? 边 长 ,
2 2 2 2
2 2 2 检验 A: ( a ? b ) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ? 1 2 ,无解;检验 B: ( a ? b ) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ?

// l 3 // l 3 ? l1

, l 2 , l3 共面(D) l1 , l 2 , l3 共点 ?
// l 3 ,根据异面直线所成角知 l1

l1

答案:B 5、解:由 l1

2

2

2

32 3

,无解;

? l2

, l2

与 l3 所成角为 90°,选 B. 检验 D: ( a ? b ) ? 1 ? b ? 4 ? a ? 9 ?
2 2 2

28 3

6、 如图,正四棱锥 P ? A B C D 底面的四个顶点 A , B , C , D 在球 O 的同一 个大圆上,点 P 在球面上,如果 V P ? A B C D ? (A) 4 ? (B) 8 ?
16 3

,正确.
0

,则球 O 的表面积是 (D) 1 6 ?

10、若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形,另外两个侧面都是有一个内角为 6 0 的菱形,则该棱柱的 体积等于( B )(A) 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D) 4 2

(C) 1 2 ?

6、如图,正四棱锥 P ? A B C D 底面的四个顶点 A , B , C , D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上, PO⊥底面 ABCD,PO=R, S A B C D ? 2 R 2 , V P ? A B C D ? 球 O 的表面积是 1 6 ? ,选 D. 7、如图, A B C D ? A1 B1C 1 D 1 为正方体,下面结论错误的是( .. (A) B D // 平面 C B 1 D 1 (B) A C 1 ? B D (C) A C 1 ? 平面 C B 1 D 1 (D)异面直线 A D 与 C B 1 所成的角为 60°7、解:选D. 8、设球 O 的半径是 1, A 、 B 、 C 是球面上三点,已知 A 到 B 、 C 两点的球面距离都是
B ? O A ? C 的大小是
16 3
2 ,所以 ? 2 R ? R ?

10、解:如图在三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,设 ? A A1 B1 ? ? A A1C 1 ? 6 0 0 , 由条件有 ? C 1 A1 B1 ? 6 0 0 ,作 A O ? 面 A1 B1C 1 于点 O , 则 c o s ? A A1 O ?
c o s ? A A1 B 1 c o s ? B 1 A1 O ? cos 60 cos 30
0 0

1

16 3

,R=2,

3



?

1 3

?

3 3

∴ s in ? A A1 O ?

6 3

∴ A O ? A A1 ? s in ? A A1O ?
?
2

2 6 3

∴V A B C ? A B
1

1 A O C1

? S ?A B C ? A O ?
1 1 1

1 2

? 2 ? 2 ? s in 6 0 ?
0

2 6 3

? 2

2

故选 B ,且二面角

?
3

,则从 A 点沿球面经 B 、 C 两点再回到 A 点的最短距离是( (C)
4? 3



(A)

7? 6

(B)

5? 4

(D)

3? 2

7


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