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高中数学竞赛讲座:排列、组合、二项式定理


高中数学竞赛讲义-代数

1

排列、组合、二项式定理 基础知识 1.排列组合题的求解策略 (1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除, 这是解决排列组合题的常用策略. (2)分类与分步 有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各 类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的 方法数,这是乘法原理. (3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数. (4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好 没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间. (5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ,然后与其它“普通 元素”全排列,然后再“松绑” ,将这些特殊元素在这些位置上全排列. (6)隔板模型:对于将不可辨的球装入可辨的盒子中,求装的方法数,常用隔板模 型.如将 12 个完全相同的球排成一列,在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔 板,把球分成 4 堆,分别装入 4 个不同的盒子中的方法数应为 C 11 ,这也就是方程
a ? b ? c ? d ? 12 的正整数解的个数.
3

2.圆排列 (1)由 A ? { a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n } 的 n 个元素中,每次取出 r 个元素排在一个圆环上, 叫做一个圆排列(或叫环状排列) . (2)圆排列有三个特点: (i)无头无尾; (ii)按照同一方向转换后仍是同一排列; (iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同,但元素之间的顺序不同,才是不 同的圆排列. (3)定理:在 A ? { a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n } 的 n 个元素中,每次取出 r 个不同的元素进行 圆排列,圆排列数为 3.可重排列 允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在 m 个不同的元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那 么第一、第二、?、第 n 位是的选取元素的方法都是 m 种,所以从 m 个不同的元素中, 每次取出 n 个元素的可重复的排列数为 m . 4.不尽相异元素的全排列 如果 n 个元素中,有 p 1 个元素相同,又有 p 2 个元素相同,?,又有 p s 个元素相同
n

Pn r

r



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2

( p1 ? p 2 ? ? ? p s ? n ) ,这 n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的 n 个元素的全排 列,它的排列数是 5.可重组合 (1)从 n 个元素,每次取出 p 个元素,允许所取的元素重复出现 1, 2 , ? , p 次的组合 叫从 n 个元素取出 p 个有重复的组合. (2)定理:从 n 个元素每次取出 p 个元素有重复的组合数为: H n ? C n ? ( p ?1 ) .
p r

n! p 1 !? p 2 !? ? ? p s !

6.二项式定理 (1)二项式定理 ( a ? b ) ?
n

?C
k ?0

n

k n

a

n?k

b (n ? N ) .
k

*

(2)二项开展式共有 n ? 1 项. (3) T r ? 1 ? C n a
r n?r

b ( 0 ? r ? n )叫做二项开展式的通项,这是开展式的第 r ? 1
r

项. (4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等.
n

(5)如果二项式的幂指数 n 是偶数,则中间一项的二项式系数 C n2 最大;如果 n 是
n ?1 n ?1

奇数,则中间两项的二项式系数 C n

2

与 C n 2 最大.

(6)二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和,即
Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?
0 2 4 1 3 5

7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理,由于结构复杂,多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位,而数 学竞赛的命题者却对其情有独钟. (1)利用二项式定理判断整除问题:往往需要构造对偶式; (2)处理整除性问题:构造对偶式或利用与递推式的结合; (3)求证不等式:通过二项式展开,取展开式中的若干项进行放缩; (4)综合其他知识解决某些综合问题:有些较复杂的问题看似与二项式定理无关, 其实通过观察、分析题目的特征,联想构造合适的二项式模型,便可使问题迅速解决. 例题分析 例 1.数 1447,1005,1231 有某些共同点,即每个数都是首位为 1 的四位数,且每个四 位数中恰有两个数字相同,这样的四位数共有多少个? 例 2.有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数? 例 3.有 2 n 个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结

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3

对方式? 例 4.将 n ? 1 个不同的小球放入 n 个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多 少种放法? 例 5.在正方体的 8 个顶点,12 条棱的中点,6 个面的中心及正方体的中心共 27 个 点中,共线的三点组的个数是多少个? 例 6.用 8 个数字 1,1,7,7,8,8,9,9 可以组成不同的四位数有多少个? 例 7. A , B , C , D , E 五种颜色给正方体的各个面涂色, 用 并使相邻面必须涂不同的颜 色,共有多少种不同的涂色方式? 例 8.某种产品有 4 只次品和 6 只正品(每只产品可区分) ,每次取一只测试,直到 4 只次品全部测出为止.求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种? 例 9.在平面上给出 5 个点,连结这些点的直线互不平行,互不重合,也互不垂直, 过每点向其余四点的连线作垂线,求这此垂线的交点最多能有多少个? 例 10。.8 位政治家举行圆桌会议,两位互为政敌的政治家不愿相邻,其入坐方法有 多少种? 例 11.某城市有 6 条南北走向的街道,5 条东西走向的街道.如果有人从城南北角 (图 A 点)走到东南角中 B 点最短的走法有多少种? 例 12.用 4 个 1 号球,3 个 2 号球,2 个 3 号球摇出一个 9 位的奖号,共有多少种可 能的号码? 例 13.将 r 个相同的小球,放入 n 个不同的盒子( r ? n ) . (1)有多少种不同的放法? (2)如果不允许空盒应有多少种不同的放法? 例 14.8 个女孩和 25 个男孩围成一圈,任意两个女孩之间至少站着两个男孩. (只 要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的)
90 例 15. n ? 19 设

, 求

1 2
n

(1 ? 3 C n ? 3 C n ? 3 C n ? ? ? 3
2 2 4 3 6

994

Cn

1988

?3

995

Cn

1990

)的

值. 例 16.当 n ? N 时, ( 3 ?
*

7 ) 的整数部分是奇数还是偶数?证明你的结论.

例 17.已知数列 a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ? ( a 0 ? 0 )满足: a i ?1 ? a i ? 1 ? 2 a i ( i ? 1, 2 , 3 , ? ) 求证:对于任意正整数 n ,
p ( x ) ? a 0 C n (1 ? x ) ? a 1 C n x (1 ? x )
0 n 1 n ?1

? ? ? a n ?1 C n

n ?1

x

n ?1

(1 ? x ) ? a n C n x 是一次
n n

多项式或零次多项式. 例 18.若 ( 5 ? 2 )
2 r ?1

? m ? a ( r , m ? N ,0 ? a ? 1 ) ,求证: a ( m ? a ) ? 1 .
*
19

例 19.设 x ? (15 ?

220 )

? (15 ?

220 )

82

的整数部分,求 x 的个数数字.

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4

例 20.已知 (1 ?

2)

100

? a?
2n

2 b ( a , b ? N )求 ab 的个位数字.
n ?1

例 21.试证大于 (1 ?

3)

的最小整数能被 2

整除( n ? N ) .
n n n

例 22.求证:对任意的正整数 n ,不等式 ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ) ? ( 2 n ? 1) . 例 23.设 a , b ? R ,且
(a ? b) ? a
n n ?

1 a

?

1 b

? 1 .求证对于每个 n ? N ,都有

?b

n

? 2

2n

?2

n ?1

训练题 1.8 次射击,命中 3 次,其中愉有 2 次连续命中的情形共有( )种 (A)15 (B)30 (C)48 (D)60 2.在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛 了 2 场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛 的场数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3.若 (1 ? x ? x )
2 1000

的展开式为 a 0 ? a 1 x ? a 2 x ? ? ? a 2000 x
2

2000

,则

a 0 ? a 3 ? a 6 ? a 9 ? ? ? a 1998 的值为

(A) 3

333

(B) 3

666

(C) 3

999

(D) 3

2001

4.某人从楼下到楼上要走 11 级楼梯,每步可走 1 级或 2 级,不同的走法有( ) 种 (A)144 (B)121 (C)64 (D)81 5.从 7 名男乒乓球队员,5 名女乒乓球队员中选出 4 名进行男女混合双打,不同的 分组方法有( )种 (A) 2 C 7 C 5 (
2 2

(B) 4 C 7 C 5

2

2

(C) P7 P5

2

2

(D) C 7 C 5

2

2

6.有 5 分、1 角、5 角的人民币各 2 枚、3 张、9 张,可组成的不同币值(非 0)有 )种 (A)79 (B)80 (C)88 (D)89 7.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数中取出 3 个数,使其和为不小于 10 的偶数,不同 的取法有________种 8. 把 ( 7 ?
6 ) 写成
6

N ?1 ?

N 的形式,为 N 自然数,则 N =



9. 已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{?3,?2,?1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______.

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10.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻 两顶点之一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 11.如果: (1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a;(3)a 是 a,b,c,d 中的最 小值,那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________. 12.在一个正六边形的六个区域种植观赏植物,要求同一块中种同一种植物,相邻 的两块种不同的植物。现有 4 种不同的植物可供选择,则有 种载种方案. 13.10 人围圆桌而,如果甲、乙二人中间相隔 4 人,有 种坐法. 14. 1991
2000

除以 10 的余数是
2 n ?1

6



15.设 ( 5 2 ? 7 )
( I ? F ) F 是一定值.

的展开中,用 I 记它的整数部分, F 记它的小数部分.求证:

16. 1, 2 ,3 , ? ,19 中, 从 按从小到大的顺序选取 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 四个数, 使得 a 2 ? a 1 ? 2 ,
a 3 ? a 2 ? 3 , a 4 ? a 3 ? 4 .问符合上要求的不同取法有多少种?

17.8 人围张一张圆桌,其中 A 、 B 两人不得相邻,而 B 、 C 两人以必须相邻的不 同围坐方式有多少种? 18.4 对夫妇去看电影,8 人坐成一排.若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性, 共有多少种坐法?
n ?1

19.求证: C n ? C n ? ? ? C n ? n ? 2
1 2 n

2


n ?1

20.设 n ? 2 , n ? N , a ? b ? 0 , a ? b .求证: 2

(a

n

? b ) ? (a ? b) .
n n



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