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10.1分类计数原理与分步计数原理


10.1 分类计数原理与分步计数原理 教学目标: 掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单问题. 教具准备:投影胶片(两个原理). 教学过程: [设置情境] 先看下面的问题: 2002 年夏季在韩国与日本举行的第 17 届世界杯足球赛共有 32 个队参赛.它们先分成 8 个小组进行循 环赛, 决出 16 强, 这 16 个队按确定的程序进行淘汰赛后, 最

后决出冠亚军, 此外还决出了第三、 第四名. 问 一共安排了多少场比赛? 要回答上述问题,就要用到排列、组合的知识.排列、组合是一个重要的数学方法,粗略地说,排列、 组合方法就是研究按某一规则做某事时,一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时,经常要用到分类计数原理与分步计数原理,下面我们举一些例子来说明这 两个原理. [探索研究] 引导学生看下面的问题.(出示投影) 从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,一天中,火车有 3 班,汽车有 2 班.那么一天中,乘坐 这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 因为一天中乘火车有 3 种走法,乘汽车有 2 种走法,每一 种走法都可以从甲地到乙地,所以共有 3+2=5 种不同的走法,如图所示. 一般地,有如下原理:(出示投影) 分类计数原理 有 完成一件事,有类办法,在第 1 类办法中 种不同的方

种不同的方法,在第 2 类办法中有 类办法中有

法,?,在第 件事共有:

种不同的方法,那么完成这

种不同的方法. 再看下面的问题.(出示投影) 从甲地到乙地,要从甲地选乘火车到丙地,再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中,火车有 3 班,汽 车有 2 班.那么两天中,从甲地到乙地共有多少种不同的走法(如图)?

这个问题与前一个问题不同.在前一个问题中,采用乘火车或汽车中的任何一种方式,都可以从甲地 到乙地;而在这个问题中,必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤,才能从甲地到乙地. 这里,因为乘火车有 3 种走法,乘汽车有 2 种走法,所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地, 共有 3×2=6 种不同的走法.(让学生具体列出 6 种不同的走法) 于是得到如下原理:(出示投影) 分步计数原理 完成一件事,需要分成 不同的方法,?,做第 个步骤,做第 1 步有 种不同的方法,做第 2 步有 种

种不同的方法. 教师提出问题:分类计数原理与分步计数原理有什么不同? 学生回答后,教师出示投影:分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的 问题,它们的区别在于:分类计数原理与“分类”有关,各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以 完成这件事;分步计数原理与“分步”有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完 成. (出示投影) 例 1 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3 本不同的文艺书,第 3 层放有 2 本不同 的体育书. (1)从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法? (2)从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法? (解答略) 教师点评:注意区别“分类”与“分步”. 例 2 一种号码锁有 4 个拨号盘,每个拨号盘上有从 0 到 9 共 10 个数字,这 4 个拨号盘可以组成多少 个四位数字的号码? (解答略) 例3 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?

(解答略) [演练反馈] 1.有不同的中文书 9 本,不同的英文书 7 本,不同的日文书 5 本.从其中取出不是同一国文字的书 2 本,问有多少种不同的取法? (由一名学生板演后,教师讲评) 2.集合 坐标. , .从 、 中各取 1 个元素作为点 的

(1)可以得到多少个不同的点? (2)这些点中,位于第一象限的有几个?

(由一名学生板演后,教师讲评) 3.某中学的一幢 5 层教学楼共有 3 处楼梯,问从 1 楼到 5 楼共有多少种不同的走法? 4.某艺术组有 9 人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中 7 人会钢琴,3 人会小号,从中选出 会钢琴与会小号的各 1 人,有多少种不同的选法? [参考答案] 1.解:取出不是同一国文字的书 2 本,可以分为三类:中英、中日、英日,而每一类中又都可分两步 来取,因此有

种不同的取法. 注意:有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的,而要将“分类”“分步”结 合起来运用.一般是先“分类”,然后再在每一类中“分步”,综合应用分类计数原理和分步计数原理. 2.解:(1)一个点的坐标有 中的元素为 , 、 两个元素决定,它们中有一个不同则表示不同的点.可以分为两类: 或 中的元素为 3×4+4×3=24 个不同的点. (2)第一象限内的点,即 、 均为正数,所以只能取 2×2+2×2=8 个不同的点. 3.解:由于 1、2、3、4 层每一层到上一层都有 3 处楼梯,根据分步计数原理 、 中的正数,共有 , 中的元素为 ,共得到

中的元素为

4.解:由题意可知,在艺术组 9 人中,有且仅有一人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”),只会 钢琴的有 6 人,只会小号的有 2 人,把会钢琴、小号各 1 人的选法分为两类: 第一类:多面手入选,另一人只需从其他 8 人中任选一个,故这类选法共有 8 种. 第二类:多面手不入选,则会钢琴者只能从 6 个只会钢琴的人中选出,会小号的 1 人也只能从只会小 号的 2 人中选出,放这类选法共有 6×2=12 种,因此有 种. 故共有 20 种不同的选法. 注意:像本题中的“多面手”可称为特殊“对象”,本题解法中按特殊“对象”进行“两分法分类” 是常用的方法. [总结提炼] 分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法,即分步解决或分类解决, 它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据,而且其基本思想贯穿于解决本章应用问题的始终.要注意 “类”间互相独立,“步”间互相联系. 布置作业:课本 P87 习题 10.1 板书设计: 2,3,4,5

10.1 (一)图 10-1 图 10-2 两个原理

分类计数原理与分步计数原理 (二)例题分析 例1 例2 例3 典型例题 (三)练习 (四)小结

例 1 在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数有多少个? 分析与解:分析个位数字,可分以下几类. 个位是 9,则十位可以是 1,2,3?,8 中的一个,故有 8 个; 个位是 8,则十位可以是 1,2,3?,7 中的一个,故有 7 个; 与上同样: 个位是 7 的有 6 个; 个位是 6 的有 5 个; ?? 个位是 2 的只有 1 个. 由分类计数原理知,满足条件的两位数有

(个). 说明:本题是用分类计数原理解答的,结合本题可加深对“做一件事,完成之可以有 n 类办法”的理 解,所谓“做一件事,完成它可以有 n 类办法”,这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类.分类 时,首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次分类时要注 意满足一个基本要求:完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同两类的两种方法是 不同的方法,只有满足这些条件,才可以用分类计数原理. 例 2 在由电键组 A 与 B 所组成的并联电路中,如图,要接通电源,使电灯发光的方法有多少种? 解:因为只要合上图中的任一电键,电灯即发光,由于在电键组 A 中 有 2 个电键,电键组 B 中有 3 个电键,应用分类计数原理,所以共有: 2+3=5 种接通电源使灯发亮的方法。 例 3 二年级一班有学生 56 人,其中男生 38 人,从中选取一名男生和 一名女生作代表,参加学校组织的调查团,问选取代表的方法有几种. 分析与解:男生 38 人,女生 18 人, 由分步计数原理共有 答:选取代表的方法有 684 种. 说明:本题是用分步计数原理解答的,结合本题可以加深对“做一件事,完成之需要分成 n 个步骤” 的理解,所谓“做一件事,完成它需要分成 n 个步骤”,分析时,首先要根据问题的特点,确定一个分步 的可行标准;其次,分步时还要注意满足完成这件事情必须并且只需连续完成这对 才算圆满完成,这时,才能使用来法原理. 个步骤后,这件事情 (种)

例 4 在电键组 A、B 组成的串联电路中,如图,要接通电源使灯发光的方法有几种? 解:只要在合上 A 组中两个电键之后,再合上 B 组中 3 个电键中的任 意一个,才能使电灯的电源接通,电灯才能发光,根据分步计数原理共有: 2×3=6 种不同的方法接通电源,使电灯发光。 例 5 有 10 本不同的数学书,9 本不同的语文书,8 本不同的英语书, 从中任取两本不同类的书,有多少种不同取法? 分析:任取两本不同类的书,有三类:一、取数学、语文各一本;二、取语文、英语各一本;三、取 数学、英语各一本.然后求出每类取法,利用分类计数原理即可得解. 解: 取出两本书中, 一本数学一本语文有 种不同取法,一本数学,一本英语有 由分类计数原理知:共有 种不同取法, 一本语文一本英语有 种不同取法. 种不同取法.

说明:本例是一个综合应用分步计数原理和分类计数原理的题目,在处理这类问题时,一定要搞清哪 里是分类,哪里是分步,以确定利用加法或分步计数原理. 例 6(1993 年全国高考题)同室 4 人各写 1 张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿 1 张别人送出 的贺年卡,则 4 张贺年卡不同的分配方式有( ) A.6 种 B.9 种 C.11 种 D.23 种

分析:本题完成的具体事情是四个人,每人抽取一张贺卡,问题是按照一定要求,抽取结果有多少种 不同情况.我们可以把抽卡片的过程分成四步,先是第一人抽,然后第二人,以此类推,但存在的问题是, 我们把四个人记为 取 ,接着 可抽 、 、 、 、 、 ,他们的卡片依次记为 抽 或 、 、 , 、 ,如果第一步 抽

,有三种方法,而

仅有两种抽法,这样两步之

间产生影响,这样必须就

抽的结果进行分类.

解法 1:设四人 A,B,C,D 写的贺年卡分别是 a,b,c,d,当 A 拿贺年卡 b,则 B 可拿 a,c,d 中的 任何一个,即 B 拿 a,C 拿 d,D 拿 c 或 B 拿 c,D 拿 a,C 拿 d 或 B 拿 d,C 拿 a,D 拿 c,所以 A 拿 b 时有 三种不同分配方法.同理,A 拿 c ,d 时也各有三种不同的分配方式.由分类计数原理,四张贺年卡共有 3 +3+3=9 种分配方式. 解法 2:让四人 A,B,C,D 依次拿一张别人送出的贺年卡.如果 A 先拿有 3 种,此时写被 A 拿走的那 张贺年卡的人也有 3 种不同的取法.接下来,剩下的两个人都各只有一种取法.由分步计数原理,四张贺 年卡不同的分配方式有 ∴ 应选 B. 注意:(1)本题从不同的角度去思考,从而得到不同的解答方法,解法 1 是用分类计数原理解答的, 解法 2 是用分步计数原理解答的.在此有必要再进一步对两个原理加以理解: 如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分类计数原理. 如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成 这件事的方法数时,使用分步计数原理. (2)分类计数原理、来法原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问题的基 本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. (3)如果把四个人依次抽取的结果用一个图表体现出来,就显得更加清楚. 种.

共有 9 种不同结果. 这个图表我们称之为“树形图”,在解决此类问题往往很有效,通过它可以把各种不同结果直观地表 现出来. 习题精选 一、选择题 1.将 5 封信投入 3 个邮筒,不同的投法共有( A. 种 B. 种 C. 种 ). D. 种 ).

2.将 4 个不同的小球放入 3 个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有( A. 种 B. 种 C.18 种 D.36 种

3.已知集合 , ,从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样 的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( ). A.18 B.10 C.16 D.14 ).

4.用 1,2,3,4 四个数字在任取数(不重复取)作和,则取出这些数的不同的和共有( A.8 个 二、填空题 B .9 个 C.10 个 D .5 个

1.由数字 2,3,4,5 可组成________个三位数,_________个四位数,________个五位数. 2.用 1,2,3?,9 九个数字,可组成__________个四位数,_________个六位数. 3.商店里有 15 种上衣,18 种裤子,某人要买一件上衣或一条裤子,共有_______种不同的选法.要 买上衣、裤子各一件,共有_________种不同的选法. 4.大小不等的两个正方体玩具,分别在各面上标有数字 1,2,3,4,5,6,则向上的面标着的两个 数字之积不小于 20 的情形有_______种. 三、解答题 1.从 1,2,3,4,7,9 中任取不相同的两个数,分别作为对数的底数和真数,能得到多少个不同的 对数值? 2.在连结正八边形的三个顶点组成的三角形中,与正八边形有公共边的有多少个? 参考答案: 一、选择题:1.B 二、填空题:1. 三、解答题: 2.D 3.D 4.A ; 3.33;270 4. 5

2.

1.注意到 1 不能为底数,1 的对数为 0,以 2,3,4,7,9 中任取两个不同数为真数、底数,可有 个值,但 值共有 , (个). 个,所以共有 40 个. , , ,所以对数

2.与正八边形有两个公共边的有 8 个,有一个公共边的有


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