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2012年上海市普通高等学校春季招生考试


2012 年上海市普通高等学校春季招生考试


后二位 号 码 校验码







考生注意: 1. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码. 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分. 考试时间 120 分钟

.

一 . 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 已知集合 A ? ?1, 2, k? , b ? ?2, 5? ,若 A 函数 y ? x ? 1 的定义域为__________. 抛物线 y2 ? 8 x 的焦点坐标为__________. 若复数 z 满足 iz ? 1 ? i (i 为虚数单位) ,则 z ? __________.
π? ? 函数 f ( x ) ? sin ? 2 x ? ? 的最小正周期为__________. 4? ?

B ? ?1, 2, 3, 5? ,则 k ? __________.

方程 4 x ? 2 x ?1 ? 0 的解为__________. 若 (2 x ? 1)5 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x 5 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? __________.

( x ? 2)( x ? m) 为奇函数,则实数 m ? __________. x 4 函数 y ? log2 x ? ? x ? [2, 4]? 的最大值为__________. log2 x
若 f ( x) ?

10. 若复数 z 满足 z ? i ? 2 (i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内所对应的图形的面积为__________. 11. 某校要从 2 名男生和 4 名女生中选出 4 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中,男、 女生都有的概率为__________. 12. 若不等式 x 2 ? kx ? k ? 1 ? 0 对 x ? (1, 2) 恒成立,则实数 k 的取值范围是__________. 13. 已知等差数列 ?an ? 的首项及公差均为正数,令 bn ? an ? a2012?n (n ? N*,n ? 2012) . 当 bk 是数列 ?bn ? 的最大项时, k ? __________.

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a 1 2? a a ?a 14. 若矩阵 ? 1 1 ??? 1, 1 ? ,且 1 1 1 2 ? 0 ,则这样的 互不相 等的矩 阵共有 ? 满足: a11, a12, a 21, a 22 a2 1 a 2 2 ? a2 1 a 2 2?

__________个.

二 . 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应 编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 . 15. 已知椭圆 C1 :

x 2 y2 x 2 y2 ? ? 1 , C2 : ? ? 1 ,则 12 4 16 8
(B) C1 与 C2 长轴长相等. (D) C1 与 C2 焦距相等.

[答] (

)

(A) C1 与 C2 顶点相同. (C) C1 与 C2 短轴长相等.

16. 记函数 y ? f ( x) 的反函数为 y ? f ?1 ( x ) . 如果函数 y ? f ( x) 的图像过点 (1, 0) ,那么函数 y ? f ?1 ( x) ? 1 的 图像过点 (A) (0, 0) . (C) (1,1) . (B) (0, 2) . (D) (2, 0) . [答] ( ) [答] ( )

17. 已知空间三条直线 l、m、n. 若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则 (A) m 与 n 异面. (C) m 与 n 平行. (B) m 与 n 相交.

(D) m 与 n 异面、相交、平行均有可能.

18. 设 O 为△ABC 所在平面上一点. 若实数 x、 y、 z 满足 xOA ? yOB ? zOC ? 0 ( x2 ? y2 ? z2 ? 0) , 则 “ xyz ? 0 ” 是“点 O 在△ABC 的边所在直线上”的 (A) 充分不必要条件. (C) 充要条件. [ 答] ( )

(B) 必要不充分条件. (D) 既不充分也不必要条件.

三 . 解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤 .

19. (本题满分 12 分)本题共有两个小题,第 1 小题满分 6 分,第 分 6 分. 四棱柱 ABCD ? A1 B1C1D1 的底面边长为 1, 高为 2, M 为线段 AB 求:
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A1

D1 B1

C1

2 小题满 如图,正 的中点. (1) 三 棱

D

C

A

M

B

锥 C1 ? MBC 的体积; (2) 异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 千米(忽略内、外环线长短差异). (1) 当 9 列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,求内环线列车的最 小平均速度; (2) 新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时,外环线列车平均速度为 30 千米/小时. 现 内、 外环线共有 18 列列车全部投入运行, 要使内、 外环线乘客的最长候车时间之差不超过 1 分钟, 问:内、外环线应各投入几列列车运行?

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知双曲线 C1 : x2 ?

y2 ?1. 4

(1) 求与双曲线 C1 有相同的焦点,且过点 P 4, 3 的双曲线 C2 的标准方程; (2) 直线 l : y ? x ? m 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A 、B 两点. 当 OA ? OB ? 3 时,求实数 m 的值.

?

?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知数列 ?an ? 、 ?bn ? 、 ?cn ? 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N* ) . (1) 设 cn ? 3n ? 6 , ?an ? 是公差为 3 的等差数列. 当 b1 ? 1 时,求 b2 、 b3 的值; (2) 设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n . 求正整数 k ,使得对一切 n ? N* ,均有 bn ? bk ; (3) 设 cn ? 2n ? n , an ?

1 ? (?1)n . 当 b1 ? 1 时,求数列 ?bn ? 的通项公式. 2
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23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 定义向量 OM ? (a, b) 的“相伴函数”为 f ( x ) ? a sin x ? b cos x ;函数 f ( x ) ? a sin x ? b cos x 的“相伴向 量”为 OM ? (a, b) (其中 O 为坐标原点). 记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S.
π? ? (1) 设 g( x ) ? 3sin ? x ? ? ? 4sin x ,求证: g( x) ? S ; 2 ? ?

(2) 已知 h( x ) ? cos( x ? α ) ? 2cos x ,且 h ( x ) ? S ,求其“相伴向量”的模; (3) 已知 M (a, b) (b ? 0) 为圆 C : ( x ? 2)2 ? y2 ? 1 上一点,向量 OM 的“相伴函数” f ( x ) 在 x ? x0 处取到 最大值. 当点 M 在圆 C 上运动时,求 tan2 x0 的取值范围.

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数 学 试 卷
参考答案及评分标准
说明 1. 本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答 中评分标准的精神进行评分. 2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一 题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应 给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分 . 3. 第 19 题至第 23 题中右端所注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数 . 4. 给分或扣分均以 1 分为单位. 答案及评分标准 一 . (第 1 至 14 题)每一题正确的给 4 分,否则一律得零分 . 1. 6. 11. 3.
x ?1.

2. 7.

[ ?1, ? ∞) .

3. 8.

(2, 0) .

4. 9.

1? i .
5.

5.

π.

1.

?2 .

10. 2 π .

14 . 15

12. (?∞, 2] .

13. 1006.

14. 8.

二 . (第 15 至 18 题)每一题正确的给 5 分,否则一律得零分 . 题 代 号 号 15 D 16 B 17 D 18 C

三 . (第 19 至 23 题) 19. (本题满分 12 分)本题共有两个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. (1)

1 1 1 S△MBC ? ?1? ? , 2 2 4
又 C1C 为三棱锥 C1 ? MBC 的高 · · · · · · · · · 3分 · · · · · · · · · 6分

1 1 1 1 ?VC1 ?MBC ? S△MBC ? C1C ? ? ? 2 ? . 3 3 4 6
(2)
CD // AB ,

??C1 MB 为异面直线 CD 与 MC1 所成的角(或其补角).

· · · · · · · · · 8分

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数学 2012 春 (答案)—第 1 页 (共 5 页)

联结 BC1 ,

AB ? 平面 BCC1 B1 ,? AB ? BC1 ,
A1

D1 B1

C1

1 在 Rt△MBC1 中, BC1 ? 4 ? 1 ? 5,MB ? . 2

? tan ?C1 MB ?

5 ?2 5, 1 2

· · · · · · 10 分

??C1MB ? arctan2 5 ,
A

D M
B

C

即异面直线 CD 与 MC1 所成角的大小为 arctan2 5 . · · · · · · 12 分

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. (1) 设内环线列车运行的平均速度为 v 千米/小时. 由题意可知, 解得 v ? 20 . 所以,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,列车的最小平均速度是 20 千米/小时. · · · · · · · · · 7分 (2) [解法一 ] 设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入 (18 ? x ) 列列车运行,内、外环线 乘客最长候车时间分别为 t1 、 t 2 分钟, 则 t1 ?

30 ? 60 ? 10 , 9v

· · · · · · · · · 4分

30 60 30 72 , ? 60 ? ? 60 ? , t2 ? 30(18 ? x) 18 ? x 25x x
72 60 ? ? 1, x 18 ? x

· · · · · · · · · 9分 · · · · · · · 11 分

于是有 t1 ? t2 ?

2 ? 150 ? 17316 ?114 ? 18180 ? x ? 150 x ? 1296 ? 0, 即? 2 解得 , ?x? 2 2 ? ? x ? 114 x ? 1296 ? 0,



x ? N* ,所以 x ? 10 .

所以,当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时 间之差不超过 1 分钟. · · · · · · · 14 分

[解法二 ] 设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入 (18 ? x ) 列列车运行,内、外环线 乘客最长候车时间分别为 t1 、 t 2 分钟, 则 t1 ?

30 60 30 72 ? 60 ? , ? 60 ? , t2 ? 30(18 ? x) 18 ? x 25x x
72 60 ? ? 1, x 18 ? x

· · · · · · · · · 9分 · · · · · · · 11 分

于是有 t1 ? t2 ?

数学 2012 春 (答案)—第 2 页 (共 5 页)

记 f ( x) ?

72 60 ? ( x ? 18,x ? N* ) ,则 f ( x ) 是单调递减函数, x x ? 18

又 f (9) ? 1.33 , f (10) ? ?0.30 , f (11) ? ?2.03 ,所以 x ? 10 . 所以,当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行时,内、外环线乘客最长候车时 间之差不超过 1 分钟. · · · · · · · 14 分

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1) 双曲线 C1 的焦点坐标为

?

5, 0 , ? 5, 0 ,

? ?

?

· · · · · · · · · 2分

? a 2 ? b 2 ? 5, ? x 2 y2 设双曲线 C2 的标准方程为 2 ? 2 ? 1 ,则 ?16 3 a b ? 2 ? 2 ? 1, ?a b
2 ? ? a ? 4, 解得 ? 2 ? ?b ? 1.

· · · · · · · · · 4分

?双曲线 C2 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 . 4

· · · · · · · · · 6分 · · · · · · · · · 8分

(2) 双曲线 C1 的渐近线方程为 y ? 2 x , y ? ?2 x . 设 A( x1 , 2 x1 ) , B( x2 , ? 2 x2 ) .
? 2 y2 ? x ? ? 0, 得 3x 2 ? 2mx ? m2 ? 0 , 4 ? ?y ? x ? m ?

由 Δ ? 16m2 ? 0 ,得 m ? 0 .

· · · · · · · 10 分 · · · · · · · 13 分 · · · · · · · 14 分

x1 x2 ? ?

m2 , OA ? OB ? x1 x2 ? (2 x1 )(?2 x2 ) ? ?3x1 x2 , 3

? m2 ? 3 ,即 m ? ? 3 .

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. (1)
an?1 ? an ? 3 , ?bn?1 ? bn ? n ? 2 . b1 ? 1 , ? b2 ? 4 , b3 ? 8 .

· · · · · · · · · 2分 · · · · · · · · · 4分

(2)

an?1 ? an ? 2n ? 7 ,

?bn?1 ? bn ?

n3 . 2n ? 7
.

· · · · · · · · · 6分

由 bn?1 ? bn ? 0 ,解得 n ? 4 ,即 b4 ? b5 ? b6 ?

数学 2012 春 (答案)—第 3 页 (共 5 页)

由 bn?1 ? bn ? 0 ,解得 n ? 3 ,即 b1 ? b2 ? b3 ? b4 .
?k ? 4 .

· · · · · · · · · 8分 · · · · · · · 10 分

(3)

an?1 ? an ? (?1)n?1 , ?bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n) , ?bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ? 1) (n ? 2,n ? N* ) (*)
由(*)得: b2 ? b1 ? 21 ? 1 , · · · · · · · 11 分

b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2) ,
…,

bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1 (2n?2 ? n ? 2) , bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ? 1) .
当 n ? 2k (k ? N* ) 时,以上各式相加得

bn ? b1 ? (2 ? 22 ? ? ?

? 2 n?2 ? 2 n?1 ) ? ?1 ? 2 ?

? (n ? 2) ? ( n ? 1)?

2 ? 2 n?1 (?2) n ? 1 ? (?2) 2

2 ? 2n n ? , 3 2 n 2?2 n 2n n 5 ?bn ? ? ?1 ? ? ? 3 2 3 2 3
当 n ? 2k ? 1(k ? N* ) 时,

· · · · · · · 14 分

bn ? bn?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? . 3 2 3 2 6
· · · · · · · 16 分

? 2n n 13 ? ? ? , n ? 2k ? 1, ? ? 3 2 6 bn ? ? n (k ? N* ). 2 n 5 ? ? ? , n ? 2k, ? ?3 2 3

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.
π? ? (1) [证明] g( x ) ? 3sin ? x ? ? ? 4sin x ? 4sin x ? 3cos x, 2? ?

· · · · · · · · · 2分 · · · · · · · · · 3分

其“相伴向量” OM ? (4, 3) ,? g( x) ? S.

数学 2012 春 (答案)—第 4 页 (共 5 页)

(2) h( x ) ? cos( x ? α) ? 2cos x
? (cos x cos α ? sin x sin α) ? 2cos x ? ? sin α sin x ? (cos α ? 2)cos x,

· · · · · · · · · 6分

?函数 h( x ) 的“相伴向量” OM ? (? sin α, cos α ? 2) ,

则 OM ? (? sin α )2 ? (cos α ? 2)2 ? 5 ? 4 cos α . (3) OM 的“相伴函数” f ( x) ? a sin x ? b cos x ? a2 ? b2 sin( x ? φ), 其中 cos φ ?
a a ?b
2 2

· · · · · · · · · 9分

, sin φ ?

b a ? b2
2

.

π π 当 x ? φ ? 2k π ? ,k ? Z 时, f ( x ) 取到最大值,故 x0 ? 2k π ? ? φ,k ? Z, · · · · · · · 11 分 2 2
π a ? ? ? tan x0 ? tan ? 2k π ? ? φ ? ? cot φ ? , 2 b ? ?

2 tan x0 ? tan 2 x0 ? ? 1 ? tan 2 x0

a b ? 2 , 2 b a ?a? ? 1? ? ? a b ?b? 2?

· · · · · · · 13 分

b ? 3 ? ? 3? b 0, 为直线 OM 的斜率,由几何意义知, ? ?? , 0 ? ? ?. ? ? a ? a ? 3 ? ? 3 ? ?
令m?

· · · · · · · 15 分

? 3 ? ? 2 3? b ,m ? ?? , 0 ? 0, ,则 tan2 x0 ? ? ?. ? ? 1 a ? ? ? 3 ? ? 3 ? m? m

当?

2 3 单调递减,?0 ? tan2 x0 ? 3 ; ? m ? 0 时,函数 tan 2 x0 ? 1 3 m? m 2 3 时,函数 tan 2 x0 ? 单调递减,?? 3 ? tan2 x0 ? 0 . 1 3 m? m

当0?m?

综上所述, tan 2 x0 ? ? ? ? 3, 0

? ? 0,

3? ?.

· · · · · · · 18 分

数学 2012 春 (答案)—第 5 页 (共 5 页)


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